Структура регулярности

Мартина Хайрера Теория структур регулярности обеспечивает основу для изучения большого класса докритических параболических стохастических уравнений в частных производных, возникающих из квантовой теории поля . ^[1] Структура охватывает уравнение Кардара–Паризи–Чжана , $\Phi _{3}^{4}$ уравнение и параболическая модель Андерсона, все из которых требуют перенормировки , чтобы иметь четкое представление о решении.

Хайрер получил Премию за прорыв в математике 2021 года за введение структур регулярности. ^[2]

Определение

Структура регулярности представляет собой тройку ${\mathcal {T}}=(A,T,G)$ состоящий из:

подмножество $A$ (набор индексов) из $\mathbb {R}$ ограниченный снизу и не имеющий точек накопления ;
пространство модели: градуированное векторное пространство $T=\oplus _{\alpha \in A}T_{\alpha }$ , где каждый $T_{\alpha }$ — банахово пространство ; и
структурная группа: группа $G$ непрерывных линейных операторов $\Gamma \colon T\to T$ такой, что для каждого $\alpha \in A$ и каждый $\tau \in T_{\alpha }$ , у нас есть $(\Gamma -1)\tau \in \oplus _{\beta <\alpha }T_{\beta }$ .

Еще одним ключевым понятием в теории регулярности является понятие модели регулярности, которая представляет собой конкретный способ ассоциирования с любым объектом. $\tau \in T$ и $x_{0}\in \mathbb {R} ^{d}$ «полином Тейлора», основанный на $x_{0}$ и представлен $\tau$ , при условии соблюдения некоторых требований согласованности.Точнее модель , ${\mathcal {T}}=(A,T,G)$ на $\mathbb {R} ^{d}$ , с $d\geq 1$ состоит из двух карт

\Pi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathrm {Lin} (T;{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{d}))

,

\Gamma \colon \mathbb {R} ^{d}\times \mathbb {R} ^{d}\to G

.

Таким образом, $\Pi$ назначается каждой точке $x$ линейная карта $\Pi _{x}$ , которое представляет собой линейное отображение из $T$ в пространство распределений на $\mathbb {R} ^{d}$ ; $\Gamma$ присваивается любым двум точкам $x$ и $y$ ограниченный оператор $\Gamma _{xy}$ , который выполняет роль преобразования расширения, основанного на $y$ в один, основанный на $x$ . Эти карты $\Pi$ и $\Gamma$ необходимы для удовлетворения алгебраических условий

\Gamma _{xy}\Gamma _{yz}=\Gamma _{xz}

,

\Pi _{x}\Gamma _{xy}=\Pi _{y}

,

и аналитические условия, которые при любом $r>|\inf A|$ , любой компакт $K\subset \mathbb {R} ^{d}$ и любой $\gamma >0$ , существует константа $C>0$ такие, что границы

|(\Pi _{x}\tau )\varphi _{x}^{\lambda }|\leq C\lambda ^{|\tau |}\|\tau \|_{T_{\alpha }}

,

\|\Gamma _{xy}\tau \|_{T_{\beta }}\leq C|x-y|^{\alpha -\beta }\|\tau \|_{T_{\alpha }}

,

держаться единообразно для всех $r$ -раз непрерывно дифференцируемые тестовые функции $\varphi \colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ с блоком ${\mathcal {C}}^{r}$ норма, поддерживаемая в единичном шаре относительно начала координат в $\mathbb {R} ^{d}$ , по всем пунктам $x,y\in K$ , все $0<\lambda \leq 1$ , и все $\tau \in T_{\alpha }$ с $\beta <\alpha \leq \gamma$ . Здесь $\varphi _{x}^{\lambda }\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ обозначает сдвинутую и масштабированную версию $\varphi$ данный