Неравенство Безиковича

В математике неравенство Безиковича — это геометрическое неравенство, связывающее объём множества и расстояния между определёнными подмножествами его границы. Неравенство было впервые сформулировано Абрамом Безиковичем .

Рассмотрим n-мерный куб $[0,1]^{n}$ с римановой метрикой $g$. Позволять

$d_{i}=dist_{g}(\{x_{i}=0\},\{x_{i}=1\})$

обозначают расстояние между противоположными гранями куба. Неравенство Безиковича утверждает, что

$\prod _{i}d_{i}\geq Vol([0,1]^{n},g)$

Неравенство можно обобщить следующим образом. Дано n-мерное риманово многообразие M со связным краем и гладким отображением. $f:M\rightarrow [0,1]^{n}$, такой, что ограничение f на границу M является отображением степени 1 на $\partial [0,1]^{n}$, определять

$d_{i}=dist_{M}(f^{-1}(\{x_{i}=0\}),f^{-1}(\{x_{i}=1\}))$

Затем $\prod _{i}d_{i}\geq Vol(M)$.

Неравенство Безиковича использовалось для доказательства систолических неравенств. на поверхностях.

Ссылки

• Бураго Дмитрий и Бураго Юрий и Иванов Сергей. (2001). Курс метрической геометрии. Аспирантура по математике 33 .
• Бураго Ю. и Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. Основы математических наук, 285. Серия Спрингера в советской математике. Шпрингер Верлаг, Берлин, 1988 г.
• Миша Громов. Метрические структуры для римановых и неримановых пространств . На основе французского оригинала 1981 года. С приложениями М. Каца, П. Пансу и С. Семмеса. Перевод с французского Шона Майкла Бейтса. Progress in Mathematics, 152. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс, 1999. xx+585 стр. ISBN   0-8176-3898-9 .
• Бураго Д. и Иванов С. (2002). Об асимптотическом объеме финслеровых торов, минимальных поверхностях в нормированных пространствах и симплектическом объеме заполнения. Анналы математики, 156 (3), вторая серия, 891–914. дои: 10.2307/3597285