закон де Муавра

Тождество, связывающее комплексные числа и тригонометрические функции, см. в формуле Муавра .

Закон де Муавра — это модель выживания , применяемая в актуарной науке , названная в честь Авраама де Муавра . Это простой закон смертности, основанный на линейной функции выживания .

Определение

Закон Муавра имеет единственный параметр $\omega$ называется предельным возрастом . Под руководством де Муавра Согласно закону, новорожденный имеет вероятность прожить не менее x лет, определяемую функция выживания

$S(x)=1-{\frac {x}{\omega }},\qquad 0\leq x<\omega .$

В актуарных обозначениях (x) обозначает статус или жизнь, которая дожила до возраста x , а T ( x ) — это будущая продолжительность жизни (x) ( T ( x ) — случайная величина). Условная вероятность того, что (x) доживет до возраста x+t, равна Pr[T(0) ≥ x+t | Т(0) ≥ х] = S(x+t)/S(x), который обозначается ${}_{t}p_{x}$. Согласно закону Муавра, условная вероятность того, что человек в возрасте x лет проживет по крайней мере, еще t лет

${}_{t}p_{x}={\frac {S(x+t)}{S(x)}}={\frac {\omega -(x+t)}{\omega -x}},\qquad 0\leq t<\omega -x,$

и случайная величина будущего срока службы T ( x ), следовательно, следует равномерному распределению на $(0,\,\omega -x)$.

Актуарное обозначение условной вероятности отказа: ${}_{t}q_{x}$ = Pr[0 ≤ T(x) ≤ t|T(0) ≥ x] . Согласно закону де Муавра, вероятность того, что (x) не доживет до возраста x+t, равна

${}_{t}q_{x}={\frac {S(x)-S(x+t)}{S(x)}}={\frac {t}{\omega -x}}.$

Сила смертности ( уровень опасности или уровень отказов ) равна $\mu (x)=-S'(x)/S(x)=f(x)/S(x),$ где f(x) — функция плотности вероятности. Согласно закону Муавра, сила смертности для жизни в возрасте x равна

$\mu (x+t)={\frac {1}{\omega -(x+t)}},\qquad 0\leq t<\omega -x,$

который имеет свойство возрастать с возрастом.

Закон Де Муавра применяется как простой аналитический закон смертности, а линейное предположение также применяется в качестве модели для интерполяции дискретных моделей выживания, таких как таблицы смертности .

История

Иллюстрация Муавра его кусочно-линейной аппроксимации

Закон Муавра впервые появился в его «Аннуитетах на жизнь» 1725 года , самом раннем известном образце актуарного учебника. Несмотря на нынешнее название, сам де Муавр не считал свой закон (он называл его «гипотезой») истинным описанием закономерностей человеческой смертности. Вместо этого он ввел его как полезное приближение при расчете стоимости аннуитетов. В своем тексте де Муавр отметил, что «... хотя понятие равномерного декремента жизни... [не совсем] согласуется с таблицами , тем не менее, это понятие может быть успешно использовано при построении таблицы значений аннуитетов». на Века не уступающего Двенадцати ...». Более того, хотя его текст содержал алгебраическое доказательство, применимое ко всей ожидаемой будущей продолжительности жизни, де Муавр также предоставил алгебраическое доказательство, применимое только к ограниченному числу лет. Именно этот последний результат был использован в его последующих численных примерах. Эти примеры показали, что де Муавр использовал свою гипотезу кусочно, предположив, что общую картину человеческой смертности можно аппроксимировать несколькими отрезками прямых линий (см. иллюстрацию справа). Он писал, что «поскольку декременты жизни можно без какой-либо разумной ошибки считать равными для любого короткого промежутка времени, отсюда следует, что если весь объем жизни разделить на несколько более коротких интервалов..., то значения аннуитетов за Жизнь... может быть легко рассчитана... в соответствии с любой таблицей наблюдений и для любой процентной ставки ». В обеих цитатах де Муавр ссылался на «таблицы» актуарных таблиц смертности .

Современные авторы непоследовательны в своей трактовке роли Муавра в истории законов смертности. С одной стороны, Дик Лондон описывает закон де Муавра как «первое непрерывное распределение вероятностей » для использования в качестве модели человеческого выживания. предложенное Роберт Баттен придерживается аналогичной точки зрения, добавляя, что «гипотеза [де Муавра] ... конечно, была признана нереалистичной». Напротив, обзоры аналитических моделей человеческого выживания, проведенные Шпигельманом, и Бенджамин вообще не упоминайте о Муавре (в обоих случаях обзоры начинаются с работ Бенджамина Гомпертца ). В своем эссе по истории актуарной науки Стивен Хаберман упоминает Муавра, но в разделе «Математика страхования жизни», а не в разделе «Таблицы жизни и модели выживания». Своего рода золотую середину занял К. У. Джордан в своей книге « Непредвиденные обстоятельства жизни », куда он включил де Муавра в раздел «Некоторые известные законы смертности», но добавил, что «де Муавр признавал, что это было очень грубое приближение [чьей целью было ] практический вариант упрощения расчета стоимости пожизненной ренты, что в те дни было трудной задачей».

Еще одним свидетельством того, что сам де Муавр не считал свою «гипотезу» истинным отражением человеческой смертности, является тот факт, что он предложил две различные гипотезы в « Аннуитетах на жизнь» . Когда де Муавр обратил внимание на вопрос об оценке аннуитетов, выплачиваемых за более чем одну жизнь, де Муавр счел удобным отказаться от своего предположения о равном количестве смертей (в год) в пользу предположения о равных вероятностях смерти в каждом году. возраста (т.е. то, что сейчас называют предположением о «постоянной силе смертности »). Хотя предположение о постоянной силе сегодня также признано простым аналитическим законом смертности, оно никогда не было известно как «второй закон де Муавра» или какое-либо другое подобное название.

Внешние ссылки

• Издание 1725 года «Аннуитеты на жизнь»