Конформная алгебра Ли

Конформная алгебра Ли в некотором смысле является обобщением алгебры Ли , поскольку она также является «алгеброй Ли», хотя и в другой псевдотензорной категории. Конформные алгебры Ли очень тесно связаны с вершинными алгебрами и имеют множество приложений в других областях алгебры и интегрируемых систем.

Определение и связь с алгебрами Ли

Алгебра Ли определяется как векторное пространство с кососимметричным билинейным умножением, которое удовлетворяет тождеству Якоби . В более общем смысле алгебра Ли — это объект, $L$ в категории векторных пространств (читай: $\mathbb {C}$-модули) с морфизмом

$[\cdot ,\cdot ]:L\otimes L\rightarrow L$

кососимметричный и удовлетворяющий тождеству Якоби. Таким образом, конформная алгебра Ли — это объект $R$ в категории $\mathbb {C} [\partial ]$-модули с морфизмом

$[\cdot _{\lambda }\cdot ]:R\otimes R\rightarrow \mathbb {C} [\lambda ]\otimes R$

называемая лямбда-скобкой, которая удовлетворяет модифицированным версиям билинейности, кососимметрии и тождеству Якоби:

$[\partial a_{\lambda }b]=-\lambda [a_{\lambda }b],[a_{\lambda }\partial b]=(\lambda +\partial )[a_{\lambda }b],$

$[a_{\lambda }b]=-[b_{-\lambda -\partial }a],\,$

$[a_{\lambda }[b_{\mu }c]]-[b_{\mu }[a_{\lambda }c]]=[[a_{\lambda }b]_{\lambda +\mu }c].\,$

Можно видеть, что, убрав из скобок все лямбды, мю и частичные выражения, мы просто получаем определение алгебры Ли.

Примеры конформных алгебр Ли

Простым и очень важным примером конформной алгебры Ли является конформная алгебра Вирасоро. Над $\mathbb {C} [\partial ]$ он генерируется одним элементом $L$ с лямбда-скобкой, заданной

$[L_{\lambda }L]=(2\lambda +\partial )L.\,$

Фактически, Вакимото показал, что любая конформная алгебра Ли с лямбда-скобкой, удовлетворяющая тождеству Якоби на одном генераторе, на самом деле является конформной алгеброй Вирасоро.

Классификация

Показано, что любое конечно порожденное (как $\mathbb {C} [\partial ]$-модуль) простая конформная алгебра Ли изоморфна либо конформной алгебре Вирасоро, либо конформной алгебре токов, либо их полупрямому произведению.

Существуют также частичные классификации бесконечных подалгебр алгебры. ${\mathfrak {gc}}_{n}$ и ${\mathfrak {cend}}_{n}$.

Ссылки

• Виктор Кац , «Вершинные алгебры для начинающих». Серия университетских лекций, 10. Американское математическое общество, 1998. viii+141 стр. ISBN   978-0-8218-0643-2