Лидстонская серия

В математике ряд Лидстоуна , названный в честь Джорджа Джеймса Лидстона , представляет собой своего рода полиномиальное разложение, которое может выражать определенные типы целых функций .

Пусть ƒ ( z ) будет целой функцией экспоненциального типа меньше ( N + 1) π , как определено ниже. Тогда ƒ ( z ) можно разложить по полиномам An _: следующим образом

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[A_{n}(1-z)f^{(2n)}(0)+A_{n}(z)f^{(2n)}(1)\right]+\sum _{k=1}^{N}C_{k}\sin(k\pi z).$

Здесь An _— ( z ) — многочлен от z степени n , Ck _а константа, ƒ ^{( н )} ( a ) n я производная ƒ - в точке a .

Говорят, что функция имеет экспоненциальный тип меньше t , если функция

$h(\theta ;f)={\underset {r\to \infty }{\limsup }}\,{\frac {1}{r}}\log |f(re^{i\theta })|$

ограничено сверху t . Таким образом, константа N, используемая при суммировании выше, определяется выражением

$t=\sup _{\theta \in [0,2\pi )}h(\theta ;f)$

с

$N\pi \leq t<(N+1)\pi .$

Ссылки

• Ральф П. Боас-младший и К. Крейтон Бак, Полиномиальные разложения аналитических функций , (1964) Academic Press, Нью-Йорк. Каталог Библиотеки Конгресса 63-23263. Выпущено как том 19 книги «Современная теория функций» под ред. Л.В. Альфорса, серия «Результаты математики и ее пограничных областей» , Springer-Verlag. ISBN   3-540-03123-5