Испытание на сдвиг

Эта статья об интегральном неравенстве. Об алгебраическом неравенстве с тремя переменными см. неравенство Шура .

В математическом анализе тест Шура , названный в честь немецкого математика Иссая Шура , является границей $L^{2}\to L^{2}$ операторная норма интегрального оператора в терминах его ядра Шварца (см. теорему о ядре Шварца ).

Вот одна из версий. Позволять $X,\,Y$ быть двумя измеримыми пространствами (например, $\mathbb {R} ^{n}$). Позволять $\,T$ — интегральный оператор с неотрицательным ядром Шварца $\,K(x,y)$, $x\in X$, $y\in Y$:

$Tf(x)=\int _{Y}K(x,y)f(y)\,dy.$

Если существуют действительные функции $\,p(x)>0$ и $\,q(y)>0$ и цифры $\,\alpha ,\beta >0$ такой, что

$(1)\qquad \int _{Y}K(x,y)q(y)\,dy\leq \alpha p(x)$

для всех почти $\,x$ и

$(2)\qquad \int _{X}p(x)K(x,y)\,dx\leq \beta q(y)$

почти для всех $\,y$, затем $\,T$ продолжается до непрерывного оператора $T:L^{2}\to L^{2}$ с операторной нормой

$\Vert T\Vert _{L^{2}\to L^{2}}\leq {\sqrt {\alpha \beta }}.$

Такие функции $\,p(x)$, $\,q(y)$ называются тестовыми функциями Шура.

В оригинальной версии $\,T$ представляет собой матрицу и $\,\alpha =\beta =1$.

Общее использование и неравенство Янга

Обычно тест Шура используется для того, чтобы взять $\,p(x)=q(y)=1.$ Тогда мы получаем:

$\Vert T\Vert _{L^{2}\to L^{2}}^{2}\leq \sup _{x\in X}\int _{Y}|K(x,y)|\,dy\cdot \sup _{y\in Y}\int _{X}|K(x,y)|\,dx.$

Это неравенство справедливо независимо от того, является ли ядро ​​Шварца $\,K(x,y)$ является неотрицательным или нет.

Аналогичное заявление о $L^{p}\to L^{q}$ операторные нормы известны как неравенство Юнга для интегральных операторов :

если

$\sup _{x}{\Big (}\int _{Y}|K(x,y)|^{r}\,dy{\Big )}^{1/r}+\sup _{y}{\Big (}\int _{X}|K(x,y)|^{r}\,dx{\Big )}^{1/r}\leq C,$

где $r$ удовлетворяет ${\frac {1}{r}}=1-{\Big (}{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}{\Big )}$, для некоторых $1\leq p\leq q\leq \infty$, то оператор $Tf(x)=\int _{Y}K(x,y)f(y)\,dy$ продолжается до непрерывного оператора $T:L^{p}(Y)\to L^{q}(X)$, с $\Vert T\Vert _{L^{p}\to L^{q}}\leq C.$

Доказательство

Используя неравенство Коши–Шварца и неравенство (1), получаем:

${\begin{aligned}|Tf(x)|^{2}=\left|\int _{Y}K(x,y)f(y)\,dy\right|^{2}&\leq \left(\int _{Y}K(x,y)q(y)\,dy\right)\left(\int _{Y}{\frac {K(x,y)f(y)^{2}}{q(y)}}dy\right)\\&\leq \alpha p(x)\int _{Y}{\frac {K(x,y)f(y)^{2}}{q(y)}}\,dy.\end{aligned}}$

Интегрируя приведенное выше соотношение в $x$, используя теорему Фубини и применяя неравенство (2), получаем:

$\Vert Tf\Vert _{L^{2}}^{2}\leq \alpha \int _{Y}\left(\int _{X}p(x)K(x,y)\,dx\right){\frac {f(y)^{2}}{q(y)}}\,dy\leq \alpha \beta \int _{Y}f(y)^{2}dy=\alpha \beta \Vert f\Vert _{L^{2}}^{2}.$

Отсюда следует, что $\Vert Tf\Vert _{L^{2}}\leq {\sqrt {\alpha \beta }}\Vert f\Vert _{L^{2}}$ для любого $f\in L^{2}(Y)$.

См. также

• Неравенство Харди – Литтлвуда – Соболева.