Сложный многогранник

В полиэдральной комбинаторике (раздел математики) сложенный многогранник — это многогранник, образованный из симплекса путем многократного приклеивания другого симплекса к одной из его граней . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

Примеры

Каждый симплекс сам по себе является сложенным многогранником.

В трех измерениях каждый сложенный многогранник представляет собой многогранник с треугольными гранями, а некоторые дельтаэдры (многогранники с равносторонними треугольными гранями) представляют собой сложенные многогранники.

Квадрорасширенный тетраэдр слева представляет собой сложенный многогранник, а пятиугольная бипирамида справа — нет.

В сложенном многограннике каждому вновь добавленному симплексу разрешено касаться только одной из граней предыдущих. Так, например, квадродополненный тетраэдр, форма, образованная склеиванием пяти правильных тетраэдров вокруг общего отрезка, представляет собой сложенный многогранник (он имеет небольшой зазор между первым и последним тетраэдром). Однако похожая на вид пятиугольная бипирамида не является сложенным многогранником, поскольку, если она образована склейкой тетраэдров, последний тетраэдр будет склеен с двумя треугольными гранями предыдущих тетраэдров, а не только с одной.

Другие невыпуклые сложенные дельтаэдры включают:

Три тетраэдра	Четыре тетраэдра	Пять тетраэдров

Комбинаторная структура

Аполлоническая сеть , граф сложенного многогранника.

образованный Неориентированный граф, вершинами и ребрами сложенного многогранника в d, измерениях представляет собой ( d + 1)-дерево . Точнее, графы сложенных многогранников — это в точности ( d + 1)-деревья, в которых каждая d -вершинная клика (полный подграф) содержится не более чем в двух ( d + 1)-вершинных кликах. ^{[ 3 ]} Например, графы трехмерных сложенных многогранников — это в точности аполлоновы сети , графы, образованные из треугольника путем многократного разделения треугольной грани графа на три меньших треугольника.

Одна из причин важности сложенных многогранников заключается в том, что среди всех d -мерных симплициальных многогранников с заданным количеством вершин сложенные многогранники имеют наименьшее количество граней более высокой размерности. Для трехмерных симплициальных многогранников количество ребер и двумерных граней определяется по количеству вершин по формуле Эйлера , независимо от того, сложен ли многогранник, но это неверно в более высоких измерениях. Аналогично, симплициальные многогранники, которые максимизируют количество граней более высокой размерности для их количества вершин, являются циклическими многогранниками . ^{[ 2 ]}

Ссылки

^ Грюнбаум, Бранко (2001), «Выпуклый многогранник, который не является равногранным» (PDF) , Geombinatorics , 10 (4): 165–171, MR 1825338
^ Jump up to: ^а ^б Миллер, Эзра; Райнер, Виктор; Штурмфельс, Бернд , Геометрическая комбинаторика , математическая серия IAS / Парк-Сити, том. 13, Американское математическое общество, с. 621, ISBN 9780821886953 .
^ Кох, Этан; Перлз, Миша А. (1976), «Эффективность покрытия деревьев и k -деревьев», Труды Седьмой Юго-Восточной конференции по комбинаторике, теории графов и вычислениям (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 1976), Конгресс Numerantium , 17 , Виннипег, Манитоба, Канада: Utilitas Mathematica: 391–420, МР 0457265 . См., в частности, стр. 420.

[g-1] Грюнбаум, Бранко (2001), «Выпуклый многогранник, который не является равногранным» (PDF) , Geombinatorics , 10 (4): 165–171, MR 1825338

[gc-2] Jump up to: ^а ^б Миллер, Эзра; Райнер, Виктор; Штурмфельс, Бернд , Геометрическая комбинаторика , математическая серия IAS / Парк-Сити, том. 13, Американское математическое общество, с. 621, ISBN 9780821886953 .

[3] Кох, Этан; Перлз, Миша А. (1976), «Эффективность покрытия деревьев и k -деревьев», Труды Седьмой Юго-Восточной конференции по комбинаторике, теории графов и вычислениям (Университет штата Луизиана, Батон-Руж, Луизиана, 1976), Конгресс Numerantium , 17 , Виннипег, Манитоба, Канада: Utilitas Mathematica: 391–420, МР 0457265 . См., в частности, стр. 420.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]