Основа спиральности

В Стандартной модели с использованием квантовой теории поля принято использовать базис спиральности для упрощения расчетов ( сечений например, ). В этом базисе спин квантовается вдоль оси в направлении движения частицы.

Спиноры

двухкомпонентной спиральности Собственные состояния $\xi _{\lambda }$ удовлетворить

$\sigma \cdot {\hat {p}}\xi _{\lambda }\left({\hat {p}}\right)=\lambda \xi _{\lambda }\left({\hat {p}}\right)\,$

где

$\sigma \,$ – матрицы Паули ,

${\hat {p}}\,$ - направление импульса фермиона,

$\lambda =\pm 1\,$ в зависимости от того, направлено ли вращение в том же направлении, что и ${\hat {p}}\,$ или напротив.

Если говорить подробнее о состоянии, $\xi _{\lambda }\,$ мы будем использовать общую форму фермионов четырехимпульса :

$p^{\mu }=\left(E,\left|{\vec {p}}\right|\sin {\theta }\cos {\phi },\left|{\vec {p}}\right|\sin {\theta }\sin {\phi },\left|{\vec {p}}\right|\cos {\theta }\right)\,$

Тогда можно сказать, что два собственных состояния спиральности

$\xi _{+1}({\vec {p}})={\frac {1}{\sqrt {2\left|{\vec {p}}\right|\left(\left|{\vec {p}}\right|+p_{z}\right)}}}{\begin{pmatrix}\left|{\vec {p}}\right|+p_{z}\\p_{x}+ip_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}\\e^{i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}\,$

и

$\xi _{-1}({\vec {p}})={\frac {1}{\sqrt {2|{\vec {p}}|(|{\vec {p}}|+p_{z})}}}{\begin{pmatrix}-p_{x}+ip_{y}\\\left|{\vec {p}}\right|+p_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-e^{-i\phi }\sin {\frac {\theta }{2}}\\\cos {\frac {\theta }{2}}\end{pmatrix}}\,$

Их можно упростить, определив ось z так, чтобы направление импульса было либо параллельным, либо антипараллельным, или, скорее:

${\hat {z}}=\pm {\hat {p}}\,$.

В этой ситуации собственные состояния спиральности имеют место, когда импульс частицы равен ${\hat {p}}=+{\hat {z}}\,$

$\xi _{+1}({\hat {z}})={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\,$ и $\xi _{-1}({\hat {z}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$

тогда, когда импульс ${\hat {p}}=-{\hat {z}}\,$

$\xi _{+1}(-{\hat {z}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\,$ и $\xi _{-1}(-{\hat {z}})={\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\,$

Волновая функция фермиона (спин 1/2)

Фермионная 4-компонентная волновая функция, $\psi \,$ можно разложить на состояния с определенным четырехимпульсом:

$\psi (x)=\int {{\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}{\sqrt {2E}}}}\sum _{\lambda \pm 1}{\left({\hat {a}}_{p}^{\lambda }u_{\lambda }(p)e^{-ip\cdot x}+{\hat {b}}_{p}^{\lambda }v_{\lambda }(p)e^{ip\cdot x}\right)}}\,$

где

${\hat {a}}_{p}^{\lambda }\,$ и ${\hat {b}}_{p}^{\lambda }\,$ — операторы рождения и уничтожения , а

$u_{\lambda }(p)\,$ и $v_{\lambda }(p)\,$ импульсном пространстве являются спинорами Дирака в для фермиона и антифермиона соответственно.

Говоря более явно, спиноры Дирака в базисе спиральности фермиона равны

$u_{\lambda }(p)={\begin{pmatrix}u_{-1}\\u_{+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {E-\lambda \left|{\vec {p}}\right|}}\chi _{\lambda }({\hat {p}})\\{\sqrt {E+\lambda \left|{\vec {p}}\right|}}\chi _{\lambda }({\hat {p}})\end{pmatrix}}\,$

а для антифермиона

$v_{\lambda }(p)={\begin{pmatrix}v_{+1}\\v_{-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\lambda {\sqrt {E+\lambda \left|{\vec {p}}\right|}}\chi _{-\lambda }({\hat {p}})\\\lambda {\sqrt {E-\lambda \left|{\vec {p}}\right|}}\chi _{-\lambda }({\hat {p}})\end{pmatrix}}$

Матрицы Дирака

Чтобы использовать эти состояния спиральности, можно использовать представление Вейля (киральное) для матриц Дирака .

Волновые функции спина 1

Расширение плоской волны

$\psi (x)=\int {{\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}{\sqrt {2E}}}}\sum _{\lambda =0}^{3}\left({\hat {a}}_{p,\lambda }\epsilon _{\lambda }(p)e^{-ip\cdot x}+{\hat {a}}_{p,\lambda }^{\dagger }\epsilon _{\lambda }^{*}(p)e^{ip\cdot x}\right)}\,$.

Для векторного бозона с массой m и четырехимпульсом $q^{\mu }=(E,q_{x},q_{y},q_{z})$векторы поляризации , квантованные относительно направления импульса, можно определить как

${\begin{aligned}\epsilon ^{\mu }(q,x)&={\frac {1}{\left|{\vec {q}}\right|q_{\text{T}}}}\left(0,q_{x}q_{z},q_{y}q_{z},-q_{\text{T}}^{2}\right)\\\epsilon ^{\mu }(q,y)&={\frac {1}{q_{\text{T}}}}\left(0,-q_{y},q_{x},0\right)\\\epsilon ^{\mu }(q,z)&={\frac {E}{m\left|{\vec {q}}\right|}}\left({\frac {\left|{\vec {q}}\right|^{2}}{E}},q_{x},q_{y},q_{z}\right)\end{aligned}}$

где

$q_{\text{T}}={\sqrt {q_{x}^{2}+q_{y}^{2}}}\,$ поперечный импульс, а

$E={\sqrt {|{\vec {q}}|^{2}+m^{2}}}\,$ — энергия бозона.