Обычная модальная логика

В логике нормальная L модальная логика — это набор L модальных формул такой, что содержит :

• Все пропозициональные тавтологии ;
• Все экземпляры схемы Крипке : $\Box (A\to B)\to (\Box A\to \Box B)$

и он закрыт под:

• отделения Правило : $A\to B,A\in L$ подразумевает $B\in L$;
• Правило необходимости: $A\in L$ подразумевает $\Box A\in L$.

называется K. Наименьшая логика, удовлетворяющая вышеуказанным условиям , Большинство модальных логик, обычно используемых в настоящее время (с точки зрения наличия философских мотивов), например, К.И. Льюиса S4 и S5 , являются нормальными (и, следовательно, являются расширениями K ). Однако ряд деонтических и эпистемических логик , например, ненормальны, часто потому, что они отказываются от схемы Крипке.

Любая нормальная модальная логика является регулярной и, следовательно, классической .

Общая нормальная модальная логика

В следующей таблице перечислены несколько распространенных нормальных модальных систем. Обозначения относятся к таблице семантики Крипке § Общие модальные схемы аксиом . Условия фреймов для некоторых систем были упрощены: логика верна и полна по отношению к классам фреймов, приведенным в таблице, но они могут соответствовать более широкому классу фреймов.

Имя	Аксиомы	Состояние рамы
К	—	все кадры
Т	Т	рефлексивный
К4	4	переходный
С4	Т, 4	Предварительный заказ
С5	Т, 5 или Д, Б, 4	отношение эквивалентности
С4.3	Т, 4, Ч	общий предзаказ
С4.1	Т, 4, М	Предварительный заказ, $\forall w\,\exists u\,(w\,R\,u\land \forall v\,(u\,R\,v\Rightarrow u=v))$
С4.2	Т, 4, Г	направленный предзаказ
ГЛ , K4W	ГЛ или 4, ГЛ	конечный строгий частичный порядок
Грз, С4Грз	Грз или Т, 4, Грз	конечный частичный порядок
Д	Д	сериал
Д45	Д, 4, 5	транзитивный, серийный и евклидов

Ссылки

• Александр Чагров и Михаил Захарьящев, Модальная логика , вып. 35 Oxford Logic Guides, Oxford University Press, 1997.