Разложение тригонометрических функций в бесконечный ряд Мин Аньту

Рис. 1: Модель Мин Аньту

Рис. 3: Мин Анту независимо открыл каталонские числа.

Разложение тригонометрических функций в бесконечный ряд Мин Аньту . Мин Анту , придворный математик династии Цин, в бесконечный ряд проделал обширную работу по разложению тригонометрических функций в своем шедевре «Гэюань Милю Цзефа» («Быстрый метод разрезания круга и определение точного соотношения круга») . Мин Аньту построил геометрические модели, основанные на большой дуге круга и n-м разрезе большой дуги. На рис. 1 AE — большая хорда дуги ABCDE , а AB , BC , CD , DE — ее n-ные равные отрезки. Если хорда AE = y , хорда AB = BC = CD = DE = x , задача заключалась в том, чтобы найти хорду y как разложение хорды x в бесконечный ряд . Случаи n = 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 и 10000 он изучил очень подробно в 3 и 4 томах «Геюань Милю Цзефа» .

Историческая справка

В 1701 году французский миссионер-иезуит Пьер Жарту (1669-1720) приехал в Китай и привез с собой три разложения тригонометрических функций в бесконечные ряды Исаака Ньютона и Дж. Грегори:

$\pi =3\left(1+{\frac {1}{4\cdot 3!}}+{\frac {3^{2}}{4^{2}\cdot 5!}}+{\frac {3^{2}\cdot 5^{2}}{4^{3}\cdot 7!}}+\cdots \right)$

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots$

$\operatorname {vers} x={\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots .$

Эти бесконечные ряды вызвали большой интерес среди китайских математиков, поскольку вычисление π с помощью этих «быстрых методов» включало только умножение, сложение или вычитание, что было намного быстрее, чем классический π-алгоритм Лю Хуэя , который предполагает извлечение квадратных корней. Однако Жарту не предложил метода вывода этих бесконечных рядов. Мин Аньту подозревал, что европейцы не хотят делиться своими секретами, и поэтому принялся за работу. Он работал время от времени в течение тридцати лет и завершил рукопись под названием «Геюань Милю Цзефа» . Он создал геометрические модели получения тригонометрических бесконечных рядов и не только нашел метод вывода трех вышеуказанных бесконечных рядов, но и открыл еще шесть бесконечных рядов. В процессе он обнаружил и применил каталонские числа .

Двухчленный аккорд

Рис. 2: Геометрическая модель двухсегментной хорды Мин Аньту.

На рисунке 2 представлена ​​модель двухсегментного аккорда Мин Анту. Дуга BCD — это часть окружности единичного ( r = 1 ) радиуса. AD — главная хорда, дуга BCD разделена пополам в точке C , проведем линии BC, CD, пусть BC = CD = x и пусть радиус AC = 1.

Видимо, $BD=2x-GH$

Пусть EJ = EF, FK = FJ; продлим BE прямо до L и пусть EL = BE; сделайте BF = BE, чтобы F было строковым с AE. Продолжил BF до M, пусть BF = MF; соединяем LM, LM, очевидно, проходит точку C. Перевернутый треугольник BLM по оси BM в треугольник BMN, такой, что C совпадает с G, а точка L совпадает с точкой N. Перевернутый треугольник NGB по оси BN в треугольник; видимо БИ = BC.

$AB:BC:CI=1:x:x^{2}$

BM делит CG пополам и пусть BM = BC; присоединиться к GM, CM; нарисуйте CO = CM, чтобы перехватить BM в точке O; сделать МП = МО; сделать NQ = NR, R — пересечение BN и AC. ∠EBC = 1/2 ∠CAE = 1/2 ∠EAB; $\therefore$ ∠EBM = ∠EAB; таким образом мы получаем ряд подобных треугольников: ABE, BEF, FJK, BLM, CMO, MOP, CGH и треугольник CMO = треугольник EFJ;

$AB:BE:EF:FJ:JK=1:p:p^{2}:p^{3}:p^{4}$

$1:BE=BE:EF;$ а именно $EF=BE^{2}$

$1:BE^{2}=x:GH$

Так $GH=x\cdot BE^{2}=xp^{2}$,

и $BD=2x-xp^{2}$

Потому что воздушные змеи ABEC и BLIN похожи.

$EF=LC=CM=MG=NG=IN$

$LM+MN=CM+MN+IN=CI+OP=JK+CI$

$\therefore AB:(BE+EC)=BL:(LM+MN)$ и $AB:BL=BL:(CI+JK)$

Позволять $BL=q$

$AB:BL:(CI+JK)=1:q:q^{2}$

$JK=p^{4}$

$CI=y^{2}$

$CI+JK=q^{2}=BL^{2}=(2BE)^{2}=(2p)^{2}=4p^{2}$

Таким образом $q^{2}=4p^{2}$ или $p={\frac {q}{2}}$

Дальше: $CI+JK=x^{2}+p^{4}=q^{2}$.

$x^{2}+{\frac {q^{4}}{16}}=q^{2},$

затем

$x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}$

Возведите приведенное выше уравнение в квадрат с обеих сторон и разделите на 16:

${\frac {(x^{2})^{2}}{16}}={\frac {(q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}})^{2}}{16}}=\sum _{j=0}^{2}(-1)^{j}{2 \choose j}{\frac {q^{2(2+j)}}{16^{j}}}$

${\frac {x^{4}}{16}}={\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {q^{6}}{128}}+{\frac {q^{8}}{4096}}{16}$

И так далее

${\frac {x^{2n}}{16^{n-1}}}=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{n \choose j}{\frac {q^{2(n+j)}}{16^{n+j-1}}}$.

Сложите следующие два уравнения, чтобы исключить $q^{4}$ предметы:

$x^{2}=q^{2}-{\frac {q^{4}}{16}}$

${\frac {x^{4}}{16}}={{\frac {q^{4}}{16}}-{\frac {2q^{6}}{16^{2}}}+{\frac {q^{8}}{4096}}}{16}$

$x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}=q^{2}-{\frac {q^{6}}{128}}+{\frac {q^{8}}{4096}}$

$x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2x^{6}}{16^{2}}}=q^{2}-{\frac {5q^{8}}{4096}}+{\frac {3q^{10}}{32768}}-{\frac {q^{12}}{524288}},$(после устранения $q^{6}$ элемент).

......................................

${\begin{aligned}&x^{2}+{\frac {x^{4}}{16}}+{\frac {2x^{6}}{16^{2}}}+{\frac {5x^{8}}{16^{3}}}+{\frac {14x^{10}}{16^{4}}}+{\frac {42x^{12}}{16^{5}}}\\[10pt]{}&+{\frac {132x^{14}}{16^{6}}}+{\frac {429x^{16}}{16^{7}}}+{\frac {1430x^{18}}{16^{8}}}+{\frac {4862x^{20}}{16^{9}}}\\[10pt]&{}+{\frac {16796x^{22}}{16^{10}}}+{\frac {58786x^{24}}{16^{11}}}+{\frac {208012x^{26}}{16^{12}}}\\[10pt]&{}+{\frac {742900x^{28}}{16^{13}}}+{\frac {2674440x^{30}}{16^{14}}}+{\frac {9694845x^{32}}{16^{15}}}\\[10pt]&{}+{\frac {35357670x^{34}}{16^{16}}}+{\frac {129644790x^{36}}{16^{17}}}\\[10pt]&{}+{\frac {477638700x^{38}}{16^{18}}}+{\frac {1767263190x^{40}}{16^{19}}}+{\frac {6564120420x^{42}}{16^{20}}}\\[10pt]&=q^{2}+{\frac {62985}{8796093022208}}q^{24}\end{aligned}}$

Коэффициенты разложения числителей: 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132 ...... (см. нижнюю строку исходного рисунка рисунка II Мин Анту, чтение справа налево) — каталонские числа ; Мин Анту открыл каталонское число.

Таким образом:

$q^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}$

в котором $C_{n}={\frac {1}{n+1}}{2n \choose n}$ это каталонский номер . Мин Аньту первым применил рекурсивные отношения в китайской математике.

$C_{n}=\sum _{k}(-1)^{k}{nk \choose k+1}C_{nk}$

$\because BC:CG:GH=AB:BE:EF=1:p:p^{2}=x:px:p^{2}x$

$\therefore GH:=p^{2}x=({\frac {q}{2}})^{2}x={\frac {q^{2}x}{4}}$

заменен на $BD=2x-GH$

Наконец он получил

$BD=2x-{\frac {x}{4}}q^{2}$

$=2x-\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}{\frac {x^{2n+1}}{4^{2n-1}}}$

На рисунке 1 Угол BAE = α, угол BAC = 2α × x = BC = синa × q = BL = 2BE = 4sin (α /2) × БД = 2sin (2а) Мин Анту получил $BD=2x-x\cdot BE^{2}$

То есть

$\sin(2\alpha )=2\sin \alpha -\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}{\frac {(\sin \alpha )^{2n+1}}{4^{n-1}}}$

$=2\sin(\alpha )-{\frac {2\sin(\alpha )^{3}}{1+\cos(\alpha )}}$

$q^{2}=BL^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}{\frac {x^{2n}}{4^{2n-2}}}$

Т.е. $\sin({\frac {\alpha }{2}})^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }C_{n}{\frac {(sin\alpha )^{2n}}{4^{2n}}}$

Трехчленный аккорд

Рис. 3. Геометрическая модель Мин Аньту для трехсегментной хорды.

Как показано на рис. 3, BE — это целая хорда дуги, BC = CE = DE = an — три дуги равных частей. Радиусы AB = AC = AD = AE = 1. Проведите линии BC, CD, DE, BD, EC; пусть BG=EH = BC, Bδ = Eα = BD, тогда треугольник Cαβ = Dδγ; а треугольник Cαβ подобен треугольнику BδD.

Как таковой:

$AB:BC=BC:CG=CG:GF$, $BC:FG=BD:\delta \gamma$

$2BD=BE+\delta \alpha$

$2BD-\delta \gamma =BE+BC$

$\therefore 2\times BD-\delta \gamma -BC=BE$

В конце концов он получил

$BE=3\times a-a^{3}$

Четырехчленный аккорд

Модель 4-сегментного аккорда Ming Antu

Позволять $y_{4}$ обозначает длину основной хорды, и пусть длина четырех равных отрезков хорды =x,

$y_{4}=4\times a-{\frac {10\times a^{3}}{4}}+{\frac {14\times a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {12\times a^{7}}{4^{5}}}$+......

$4a-10\times a^{3}/4+\sum _{n=1}^{\infty }(16C_{n}-2C_{n+1})\times {\frac {a^{2n+1}}{4^{2n-1}}}$.

Значение тригонометрии:

$\sin(4\times \alpha )=4\times \sin(\alpha )-10\times \sin ^{3}\alpha$ $+\sum _{n=1}^{\infty }(16\times C_{n}-2C_{n+1})\times {\frac {\sin ^{2n+3}(\alpha )}{4^{n}}}$.

Пятисегментный аккорд

Модель 5-сегментного аккорда Ming Antu

$y_{5}=5a-5a^{3}+a^{5}$

то есть

$\sin(5\alpha )=5\sin(\alpha )-20\sin ^{3}(\alpha )+16\sin ^{5}(\alpha )$。

Десять сегментный аккорд

Диаграмма 10-сегментных аккордов Мин Анту

С этого момента Мин Аньту прекратил строить геометрическую модель, он выполнил свои вычисления. чистым алгебраическим манипулированием бесконечными рядами.

По-видимому, десять сегментов можно рассматривать как составные 5 сегментов, причем каждый сегмент, в свою очередь, состоит из двух подсегментов.

$\therefore y_{10}=y_{5}(y_{2})$

$y_{10}(a)=5\times y_{2}-5\times (y_{2})^{3}+(y_{2})^{5}$,

Он вычислил третью и пятую степень бесконечного ряда. $y_{2}$ в приведенном выше уравнении и получили:

$y_{10}(a)=10\times a-{\frac {165\times a^{3}}{4}}+{\frac {3003\times a^{5}}{4^{3}}}-{\frac {21450\times a^{7}}{4^{5}}}$+......

Сто-сегментный аккорд

Диаграмма аккордов Ming Antu 100 сегментов

Факсимиле расчета Мин Аньту 100-сегментного аккорда

Хорду дуги из ста сегментов можно рассматривать как составную часть из 10 сегментов и 10 подсегментов, таким образом замена $a=y_{10}$ в $y_{10}$, после манипуляций с бесконечными рядами он получил:

$y_{100}=y_{10}(a=y_{10})$

${\begin{aligned}y_{100}(a)=&100\times a-166650\times {\frac {a^{3}}{4}}+333000030\times {\frac {a^{5}}{4\times 16}}\\&-316350028500\times {\frac {a^{7}}{4\times 16^{2}}}+17488840755750\times {\frac {a^{9}}{4\times 16^{3}}}+\ldots \end{aligned}}$

Тысячечленный аккорд

$y_{1000}=y_{100}(y_{10})$

$y_{1000}(a)=1000\times a-1666666500\times {\frac {a^{3}}{4}}+33333000000300\times {\frac {a^{5}}{4\times 16}}-3174492064314285000{\frac {a^{7}}{4\times 16^{2}}}+$......

Десятитысячный аккорд

$y_{10000}=10000\times a-{\frac {166666665000\times a^{3}}{4}}+{\frac {33333330000000300\times a^{5}}{4^{3}}}+$............

Когда количество сегментов приближается к бесконечности

Получив бесконечный ряд для n=2, 3, 5, 10, 100, 1000 и 10000 сегментов, Мин Анту приступил к рассмотрению случая, когда n приближается к бесконечности.

y100, y1000 и y10000 можно переписать как:

$y100=100a-{\frac {(100a)^{3}}{24.002400240024002400}}+{\frac {(100a)^{5}}{24.024021859697730358\times 80}}+$..........

$y1000:=1000a-{\frac {(1000a)^{3}}{24.000024000024000024}}+{\frac {(1000a)^{5}}{24.000240002184019680\times 80}}+$..............

$y10000:=10000a-{\frac {(10000a)^{3}}{24.000000240000002400}}+{\frac {(10000a)^{5}}{24.000002400000218400\times 80}}+$..................

Он отметил, что когда n приближается к бесконечности, знаменатели 24,000000240000002400, 24,000002400000218400×80 приближаются к 24 и 24×80 соответственно, а когда n -> бесконечность, na (100a, 1000a, 1000a) становится длиной дуги; следовательно

$chord=arc-{\frac {arc^{3}}{4\times 3!}}+{\frac {arc^{5}}{4^{2}\times 5!}}-{\frac {arc^{7}}{4^{3}\times 7!}}+$.....

$=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\times arc^{2\times n-1}}{(4^{n-1}\times (2\times n-1)!)}}$

Затем Мин Аньту выполнил обращение бесконечной серии и выразил дугу через ее хорду.

$arc:=chord+{\frac {chord^{3}}{24}}+{\frac {3\times chord^{5}}{640}}+{\frac {5\times chord^{7}}{7168}}+$............

Ссылки

• Луо Современный китайский перевод книги Мин Анту «Геюань Милв Цзифа» , переведенный и аннотированный Ло Цзяньцзинь, Inner Монголия Education Press, 1998 г. Китайский перевод книги Мин Анту, с подробными аннотациями с современными математическими символами). ISBN   7-5311-3584-1
• Ёсио Миками. Развитие математики в Китае и Японии, Лейпциг, 1912 г.