Квазидетерминантный

В математике квазидетерминант является заменой определителя для матриц с некоммутативными элементами. Пример квазидетерминантов 2 × 2 выглядит следующим образом:

$\left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|_{11}=a_{11}-a_{12}{a_{22}}^{-1}a_{21}\qquad \left|{\begin{array}{cc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}}\right|_{12}=a_{12}-a_{11}{a_{21}}^{-1}a_{22}.$

В общем, есть н ² квазидетерминанты, определенные для матрицы размера n × n (по одному на каждую позицию в матрице), но наличие перевернутых членов выше должно заставить читателя задуматься: они не всегда определены, и даже когда они определены, они не сводятся к детерминанты, когда записи коммутируют. Скорее,

$\left|A\right|_{ij}=(-1)^{i+j}{\frac {\det A}{\det A^{ij}}},$

где $A^{ij}$ означает удаление i -й строки и j- столбца из A. го

The $2\times 2$ между 1926 и 1928 годами. приведенные выше примеры были представлены Ричардсоном и Хейтинг, но в то время они были маргинализированы, поскольку не были полиномами в записях $A$. Эти примеры были заново открыты и получили новую жизнь в 1991 году Израилем Гельфандом и Владимиром Ретахом . Там они развивают квазидетерминантные версии многих знакомых детерминантных свойств. Например, если $B$ построен из $A$ путем изменения масштаба $i$-й ряд (слева) по $\left.\rho \right.$, затем $\left|B\right|_{ij}=\rho \left|A\right|_{ij}$. Аналогично, если $B$ построен из $A$ добавив (левое) кратное $k$-ю строку на другую строку, затем $\left|B\right|_{ij}=\left|A\right|_{ij}\,\,(\forall j;\forall k\neq i)$. У них даже развивается квазидетерминантный вариант правила Крамера .

Определение

(определение изображения)

Позволять $A$ быть $n\times n$ матрица над a (не обязательно коммутативная) кольцо $R$ и исправить $1\leq i,j\leq n$. Позволять $a_{ij}$обозначим ( $i,j$)-вход $A$, позволять $r_{i}^{j}$ обозначают $i$-й ряд $A$ с колонной $j$ удалил, и пусть $c_{j}^{i}$ обозначают $j$-й столбец $A$ со строкой $i$ удален. ( $i,j$)-квазидетерминант $A$ определяется, если подматрица $A^{ij}$ является обратимым в течение $R$. В этом случае,

$\left|A\right|_{ij}=a_{ij}-r_{i}^{j}\,{\bigl (}A^{ij}{\bigr )}^{-1}\,c_{j}^{i}.$

Напомним формулу (для коммутативных колец), связывающую $A^{-1}$ к определителю, а именно $(A^{-1})_{ji}=(-1)^{i+j}{\frac {\det A^{ij}}{\det A}}$. Приведенное выше определение является обобщением в том смысле, что (даже для некоммутативных колец) имеет место

${\bigl (}A^{-1}{\bigr )}_{\!ji}=\left|A\right|_{ij}^{\,-1}$

всякий раз, когда обе стороны имеют смысл.

Личности

Одним из важнейших свойств квазидетерминанта является то, что Гельфанд и Ретах назвать «принципом наследственности». Это позволяет взять квазидетерминант в стадий (и не имеет коммутативного аналога). Для иллюстрации предположим

$\left({\begin{array}{cc}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{array}}\right)$

представляет собой блочное матричное разложение $n\times n$ матрица $A$ с $A_{11}$ а $k\times k$ матрица. Если ( $i,j$)-вход $A$ лежит внутри $A_{11}$, там сказано, что

$\left|A\right|_{ij}=\left|A_{11}-A_{12}\,{A_{22}}^{-1}\,A_{21}\right|_{ij}.$

То есть квазидетерминант квазидетерминанта является квазидетерминантом. Если выразиться менее кратко: В отличие от детерминантов, квазидетерминанты обрабатывают матрицы с элементами блочной матрицы не иначе, чем обычные матрицы (чего детерминанты не могут делать, поскольку блочные матрицы обычно не коммутируют друг с другом). То есть, хотя точная форма вышеупомянутой идентичности весьма удивительна, существование некоторой такой идентичности не столь удивительно. Другие личности из газет Это (i) так называемые «гомологические отношения», утверждающие, что два квазидетерминанта в общей строке или столбце тесно связаны друг с другом, и (ii) формула Сильвестра .

(i) Два квазидетерминанта, имеющие общую строку или столбец, удовлетворяют

$\left|A\right|_{ij}|A^{il}|_{kj}^{\,-1}=-\left|A\right|_{il}|A^{ij}|_{kl}^{\,-1}$

или

$|A^{kj}|_{il}^{\,-1}\left|A\right|_{ij}=-|A^{ij}|_{kl}^{\,-1}\left|A\right|_{kj},$

соответственно, для всех вариантов $i\neq k$, $j\neq l$ так что определены квазидетерминанты.

(ii) Как и принцип наследственности, тождество Сильвестра — это способ рекурсивного вычисления квазидетерминанта. Для упрощения обозначений мы приведем особый случай. Позволять $A_{0}$ быть верхним левым $k\times k$ подматрица $n\times n$ матрица $A$ и зафиксируем координату ( $i,j$) в $A_{0}$. Позволять $B=(b_{pq})$ быть $(n-k)\times (n-k)$ матрица, с $b_{pq}$ определяется как ( $p,q$)-квазидетерминант $(k+1)\times (k+1)$ матрица, образованная путем присоединения к $A_{0}$ первый $k$ столбцы строки $p$, первый $k$ строки столбца $q$, и запись $a$_$pq$. Тогда у человека есть

$\left|B\right|_{ij}=\left|A\right|_{ij}.$

Со времени появления первых статей Гельфанда и Ретаха на эту тему появилось гораздо больше тождеств, большинство из которых являются аналогами классических детерминантных тождеств. Важным источником является статья Кроба и Леклера 1995 года. Чтобы выделить один из них, мы рассмотрим тождества расширения строк/столбцов. Исправить строку $i$ расширяться вдоль. Напомним детерминантную формулу $\det A=\sum _{l}(-1)^{i+l}a_{il}\cdot \det A^{il}$. Ну, бывает, что квазидетерминанты удовлетворяют

$\left|A\right|_{ij}=a_{ij}-\sum _{l\neq j}a_{il}\cdot |A^{ij}|_{kl}^{\,-1}|A^{il}|_{kj}$

(разложение по столбцу $j$), и

$\left|A\right|_{ij}=a_{ij}-\sum _{k\neq i}|A^{kj}|_{il}|A^{ij}|_{kl}^{\,-1}\cdot a_{kj}$

(разложение по строке $i$).

Связь с другими детерминантами

Квазидетерминант, конечно, не единственный существующий аналог детерминанта для некоммутативных условий - возможно, наиболее известными примерами являются детерминант Дьедонне и квантовый детерминант. Однако они каким-то образом связаны с квазидетерминантом. Например,

${\det }_{q}A={\bigl |}A{\bigr |}_{11}\,\left|A^{11}\right|_{22}\,\left|A^{12,12}\right|_{33}\,\cdots \,|a_{nn}|_{nn},$

при этом множители в правой части коммутируют друг с другом. Другие известные примеры, такие как березины , определители Мура и Студи, определители Капелли и определители типа Картье-Фоаты, также выражаются через квазидетерминанты. Известно, что Гельфанд определял (некоммутативный) определитель как «хороший», если его можно выразить как произведение квазиминоров.

Приложения

Перефразируя их обзорную статью 2005 года с Сергеем Гельфандом и Робертом Уилсоном. , Исраэль Гельфанд и Владимир Ретах выступают за принятие квазидетерминантов в качестве «основного организующего инструмента в некоммутативной алгебре, придавая им ту же роль, которую детерминанты играют в коммутативной алгебре». Квазидетерминант существенно использовался в таких областях математики, как интегрируемые системы, теория представлений, алгебраическая комбинаторика, теория некоммутативных симметрических функций , теория полиномов над телами , и некоммутативная геометрия.

В некоторых из приведенных выше приложений используются квазиплюкеровские координаты, которые параметризуют некоммутативные грассманианы и флаги почти так же, как координаты Плюкера - грассманианы и флаги над коммутативными полями. Более подробную информацию об этом можно найти в обзорной статье.

См. также

• Основная теорема Мак-Магона