Теорема Майерсона – Саттертуэйта

Теорема Майерсона-Саттертуэйта является важным результатом в проектировании механизмов и экономике асимметричной информации и названа в честь Роджера Майерсона и Марка Саттертуэйта . Неофициально результат говорит о том, что не существует эффективного способа для двух сторон торговать товаром, если каждая из них имеет секретные и вероятностно различающиеся оценки этого товара, без риска вынудить одну сторону торговать с убытком.

Теорема Майерсона-Саттертуэйта — один из наиболее замечательных и универсально применимых отрицательных результатов в экономике — своего рода негативное зеркало фундаментальных теорем экономики благосостояния . Однако он гораздо менее известен, чем эти результаты или более ранний результат Эрроу о невозможности удовлетворительных избирательных систем .

Обозначения

Есть два агента: Салли (продавец) и Боб (покупатель). У Салли есть предмет, который ценен и для нее, и для Боба. Каждый агент оценивает предмет по-своему: Боб оценивает его как $v_{B}$ и Салли как $v_{S}$. Каждый агент знает свою собственную оценку с уверенностью, но знает оценку другого агента только вероятностно:

• Для Салли значение Боба представлено плотности вероятности . функцией $f_{B}$ что положительно в диапазоне $[{\underline {B}},{\overline {B}}]$. Соответствующая кумулятивная функция распределения равна $F_{B}$.
• Для Боба значение Салли представлено функцией плотности вероятности. $f_{S}$ что положительно в диапазоне $[{\underline {S}},{\overline {S}}]$. Соответствующая кумулятивная функция распределения равна $F_{S}$.

Механизм прямых переговоров — это механизм, который просит каждого агента сообщить свою оценку предмета, а затем решает, будет ли этот предмет продан и по какой цене. Формально она представлена ​​двумя функциями:

• Функция вероятности сделки , $t(v'_{B},v'_{S})$, определяет вероятность того, что товар будет передан от продавца к покупателю (в детерминированном механизме эта вероятность равна либо 0, либо 1, но формализм допускает и случайные механизмы).
• Функция цены , $p(v'_{B},v'_{S})$, определяет цену, которую Боб должен заплатить Салли. Обратите внимание, что сообщаемые значения отмечены значком $v'$ поскольку они не соответствуют реальным значениям.

Заметим, что благодаря принципу откровения предположение о прямом механизме не теряет общности.

Каждый агент знает свою ценность и знает механизм. Следовательно, каждый агент может рассчитать ожидаемую прибыль от сделки. Поскольку нас интересуют механизмы, которые правдивы в равновесии, мы предполагаем, что каждый агент предполагает, что другой агент правдив. Следовательно:

• Для Салли ожидаемая выгода — это ожидаемый платеж минус ожидаемые потери от передачи объекта:

$U_{S}(v_{S},v'_{S})=\int _{u_{B}={\underline {B}}}^{\overline {B}}p(v'_{S},u_{B})f_{B}(u_{B})\,du_{B}-v_{S}\int _{u_{B}={\underline {B}}}^{\overline {B}}t(v'_{S},u_{B})f_{B}(u_{B})\,du_{B}$

• Для Боба ожидаемая выгода — это ожидаемая выгода от получения объекта за вычетом ожидаемой оплаты:

$U_{B}(v_{B},v'_{B})=v_{B}\int _{u_{S}={\underline {S}}}^{\overline {S}}t(u_{S},v'_{B})f_{S}(u_{S})\,du_{S}-\int _{u_{S}={\underline {S}}}^{\overline {S}}p(u_{S},v'_{B})f_{S}(u_{S})\,du_{S}$

Требования

Майерсон и Саттертуэйт изучают следующие требования, которым должен удовлетворять идеальный механизм (см. также Двойной аукцион#требования ):

1. индивидуальная рациональность (ИР): ожидаемая ценность как Боба, так и Салли должна быть неотрицательной (чтобы у них был первоначальный стимул к участию). Формально: $U_{S}(v_{S},v_{S})\geq 0$ и $U_{B}(v_{B},v_{B})\geq 0$.

2. Слабый сбалансированный бюджет (СББ). Аукционисту не нужно привозить деньги из дома, чтобы субсидировать торговлю.

3. в равновесии Нэша Совместимость стимулов (NEIC): если для каждого агента другой агент сообщает истинную ценность, то лучшим ответом будет сообщить и истинную ценность. Другими словами, никто не должен хотеть лгать. Формально: $\forall v'_{s}:U_{S}(v_{S},v_{S})\geq U_{S}(v_{S},v'_{S})$ и $\forall v'_{B}:U_{B}(v_{B},v_{B})\geq U_{B}(v_{B},v'_{B})$.

4. ex-post Парето-эффективность (PE): в конечном итоге предмет должен быть передан тому агенту, который ценит его больше всего. Формально: $t(v_{B},v_{S})=1$ если $v_{B}>v_{S}$ и $t(v_{B},v_{S})=0$ если $v_{B}<v_{S}$.

Заявление

Если верны следующие два предположения:

• Интервалы $[{\underline {B}},{\overline {B}}]$ и $[{\underline {S}},{\overline {S}}]$ имеют непустое пересечение.
• Плотности вероятности оценок строго положительны на этих интервалах.

тогда не существует механизма, который удовлетворял бы четырем свойствам, упомянутым выше (IR, WBB, NEIC и PE).

Расширения

Были изучены различные варианты установки Майерсона-Саттертуэйта.

1. Майерсон и Саттертуэйт считали единого покупателя и одного продавца. Когда покупателей и продавцов много, неэффективность асимптотически исчезает. Однако это верно только в отношении частных благ; в случае с общественными благами неэффективность усугубляется, когда число агентов становится большим.

2. Майерсон и Саттертуэйт рассмотрели асимметричную начальную ситуацию в том смысле, что вначале одна сторона имеет 100% блага, а другая сторона имеет 0% блага. Было показано, что эффективность ex post может быть достигнута, если изначально обе стороны владеют 50% продаваемого товара.

3. Последний результат был распространен на условия, в которых стороны могут осуществлять ненаблюдаемые инвестиции ex ante с целью повышения своей собственной оценки. Тем не менее, эффективность ex post не может быть достигнута, если ненаблюдаемые инвестиции продавца увеличивают оценку покупателя, даже если только покупатель располагает частной информацией о своей оценке.

4. Можно показать, что другой результат невозможности, когда только одна сторона имеет конфиденциальную информацию о своей оценке, справедлив, когда внешние выплаты по опциону не заданы экзогенно.

См. также

• Двойной аукцион