Четвертая, пятая и шестая производные положения.

В физике четвертая , пятая и шестая производные положения определяются как производные вектора положения по времени , причем первая, вторая и третья производные представляют собой скорость , ускорение и рывок соответственно. Производные более высокого порядка встречаются реже, чем первые три; ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} таким образом, их имена не стандартизированы, хотя концепция минимальной траектории привязки использовалась в робототехнике и реализована в MATLAB . ^{[ 3 ]}

Четвертая производная называется snap , поэтому пятая и шестая производные «иногда несколько шутливы». ^{[ 4 ]} под названием «треск и поп» , вдохновленный Rice Krispies талисманами Snap, Crackle и Pop . ^{[ 5 ]} Четвертую производную еще называют прыжком . ^{[ 4 ]}

Четвертая производная (щелчок/отскок)

Щелчок, ^{[ 6 ]} или подпрыгнуть, ^{[ 2 ]} четвертая производная вектора положения по времени или скорость изменения рывка — по времени. ^{[ 4 ]} Эквивалентно, это вторая производная ускорения или третья производная скорости , и определяется любым из следующих эквивалентных выражений: ${\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}.$ В гражданском строительстве проектирование железнодорожных путей и дорог предполагает минимизацию защелкивания, особенно вокруг изгибов с разными радиусами кривизны . Когда привязка постоянна, рывок изменяется линейно, обеспечивая плавное увеличение радиального ускорения , а когда, что предпочтительно, привязка равна нулю, изменение радиального ускорения является линейным. Минимизация или устранение привязки обычно выполняется с использованием математической функции клотоиды . Минимизация оснастки повышает производительность станков и американских горок. ^{[ 1 ]}

Следующие уравнения используются для постоянной привязки: ${\begin{aligned}{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},\end{aligned}}$

где

${\vec {s}}$ это постоянная привязка,
${\vec {\jmath }}_{0}$ это первоначальный рывок,
${\vec {\jmath }}$ это последний придурок,
${\vec {a}}_{0}$ - начальное ускорение,
${\vec {a}}$ конечное ускорение,
${\vec {v}}_{0}$ - начальная скорость,
${\vec {v}}$ конечная скорость,
${\vec {r}}_{0}$ это исходное положение,
${\vec {r}}$ это конечная позиция,
$t$ время между начальным и конечным состояниями.

Обозначения ${\vec {s}}$ (используется Виссером ^{[ 4 ]}) не следует путать с вектором смещения, обычно обозначаемым аналогичным образом.

Размеры привязки — это расстояние в четвертой степени времени (LT ⁻⁴). Соответствующая единица СИ — метр в секунду в четвертой степени, м/с. ⁴, m⋅s ⁻⁴.

Пятая производная

Пятую производную вектора положения по времени иногда называют потрескиванием. ^{[ 5 ]} Это скорость изменения привязки по отношению ко времени. ^{[ 5 ]}^{[ 4 ]} Треск определяется любым из следующих эквивалентных выражений: ${\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}$

Следующие уравнения используются для постоянного потрескивания: ${\begin{aligned}{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t\\[1ex]{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}\\[1ex]{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}\\[1ex]{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}\\[1ex]{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}\end{aligned}}$

где

${\vec {c}}$ : постоянный треск,
${\vec {s}}_{0}$ : начальная привязка,
${\vec {s}}$ : последний снимок,
${\vec {\jmath }}_{0}$ : начальный рывок,
${\vec {\jmath }}$ : последний рывок,
${\vec {a}}_{0}$ : начальное ускорение,
${\vec {a}}$ : окончательное ускорение,
${\vec {v}}_{0}$ : начальная скорость,
${\vec {v}}$ : конечная скорость,
${\vec {r}}_{0}$ : исходное положение,
${\vec {r}}$ : конечная позиция,
$t$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры кракле LT. ⁻⁵. Соответствующая единица измерения СИ — м/с. ⁵.

Шестая производная

Шестую производную вектора положения по времени иногда называют поп. ^{[ 5 ]} Это скорость изменения потрескивания во времени. ^{[ 5 ]}^{[ 4 ]} Pop определяется любым из следующих эквивалентных выражений:

${\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}$

Следующие уравнения используются для постоянного пульса: ${\begin{aligned}{\vec {c}}&={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t\\{\vec {s}}&={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}\\{\vec {\jmath }}&={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}\\{\vec {a}}&={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}\\{\vec {v}}&={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}\\{\vec {r}}&={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}\end{aligned}}$

где

${\vec {p}}$ : постоянный хлопок,
${\vec {c}}_{0}$ : начальный треск,
${\vec {c}}$ : финальный треск,
${\vec {s}}_{0}$ : начальная привязка,
${\vec {s}}$ : последний снимок,
${\vec {\jmath }}_{0}$ : начальный рывок,
${\vec {\jmath }}$ : последний рывок,
${\vec {a}}_{0}$ : начальное ускорение,
${\vec {a}}$ : окончательное ускорение,
${\vec {v}}_{0}$ : начальная скорость,
${\vec {v}}$ : конечная скорость,
${\vec {r}}_{0}$ : исходное положение,
${\vec {r}}$ : конечная позиция,
$t$ : время между начальным и конечным состояниями.

Размеры поп-музыки: LT. ⁻⁶. Соответствующая единица измерения СИ — м/с. ⁶.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Игер, Дэвид; Пендрилл, Энн-Мари; Рейстад, Нина (13 октября 2016 г.). «Помимо скорости и ускорения: рывок, щелчок и высшие производные» . Европейский журнал физики . 37 (6): 065008. Бибкод : 2016EJPh...37f5008E . дои : 10.1088/0143-0807/37/6/065008 . hdl : 10453/56556 . ISSN 0143-0807 . S2CID 19486813 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Грагерт, Стефани; Гиббс, Филип (ноябрь 1998 г.). «Какой термин используется для обозначения третьей производной положения?» . Usenet Часто задаваемые вопросы по физике и теории относительности . Математический факультет Калифорнийского университета, Риверсайд . Проверено 24 октября 2015 г.
^ «Документация MATLAB: minsnappolytraj» .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Виссер, Мэтт (31 марта 2004 г.). «Рывок, щелчок и космологическое уравнение состояния». Классическая и квантовая гравитация . 21 (11): 2603–2616. arXiv : gr-qc/0309109 . Бибкод : 2004CQGra..21.2603V . дои : 10.1088/0264-9381/21/11/006 . ISSN 0264-9381 . S2CID 250859930 . Snap [четвертая производная по времени] также иногда называют прыжком. Пятую и шестую производные по времени иногда в шутку называют треском и треском.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Томпсон, Питер М. (5 мая 2011 г.). «Щелчок, треск и хлоп» (PDF) . Информация АИАА . Хоторн, Калифорния: Системные технологии. п. 1. Архивировано из оригинала 26 июня 2018 года . Проверено 3 марта 2017 г. Общие названия первых трех производных — скорость, ускорение и рывок. Не столь распространенные названия следующих трех производных — Snap, Crackle и Pop. {{cite web}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )
^ Меллингер, Дэниел; Кумар, Виджай (2011). «Формирование и управление траекторией минимальной привязки для квадрокоптеров». 2011 Международная конференция IEEE по робототехнике и автоматизации . стр. 2520–2525. дои : 10.1109/ICRA.2011.5980409 . ISBN 978-1-61284-386-5 . S2CID 18169351 .

Внешние ссылки

Словарное определение прыжка в Викисловаре

[epr-1] Jump up to: ^а ^б Игер, Дэвид; Пендрилл, Энн-Мари; Рейстад, Нина (13 октября 2016 г.). «Помимо скорости и ускорения: рывок, щелчок и высшие производные» . Европейский журнал физики . 37 (6): 065008. Бибкод : 2016EJPh...37f5008E . дои : 10.1088/0143-0807/37/6/065008 . hdl : 10453/56556 . ISSN 0143-0807 . S2CID 19486813 .

[PhysicsFAQ-2] Jump up to: ^а ^б ^с Грагерт, Стефани; Гиббс, Филип (ноябрь 1998 г.). «Какой термин используется для обозначения третьей производной положения?» . Usenet Часто задаваемые вопросы по физике и теории относительности . Математический факультет Калифорнийского университета, Риверсайд . Проверено 24 октября 2015 г.

[3] «Документация MATLAB: minsnappolytraj» .

[Visser2004-4] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Виссер, Мэтт (31 марта 2004 г.). «Рывок, щелчок и космологическое уравнение состояния». Классическая и квантовая гравитация . 21 (11): 2603–2616. arXiv : gr-qc/0309109 . Бибкод : 2004CQGra..21.2603V . дои : 10.1088/0264-9381/21/11/006 . ISSN 0264-9381 . S2CID 250859930 . Snap [четвертая производная по времени] также иногда называют прыжком. Пятую и шестую производные по времени иногда в шутку называют треском и треском.

[Thompson-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Томпсон, Питер М. (5 мая 2011 г.). «Щелчок, треск и хлоп» (PDF) . Информация АИАА . Хоторн, Калифорния: Системные технологии. п. 1. Архивировано из оригинала 26 июня 2018 года . Проверено 3 марта 2017 г. Общие названия первых трех производных — скорость, ускорение и рывок. Не столь распространенные названия следующих трех производных — Snap, Crackle и Pop. {{cite web}}: CS1 maint: неподходящий URL ( ссылка )

[6] Меллингер, Дэниел; Кумар, Виджай (2011). «Формирование и управление траекторией минимальной привязки для квадрокоптеров». 2011 Международная конференция IEEE по робототехнике и автоматизации . стр. 2520–2525. дои : 10.1109/ICRA.2011.5980409 . ISBN 978-1-61284-386-5 . S2CID 18169351 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]