Ограниченная деформация

В математике функция ограниченной деформации — это функция, чьи производные по распределению ведут себя не совсем хорошо , чтобы квалифицироваться как функции ограниченной вариации , хотя симметричная часть матрицы производных действительно удовлетворяет этому условию. Рассматриваемые как деформации упругопластических тел , например , , функции ограниченной деформации играют важную роль в математическом исследовании материалов модель Франкфорта-Мариго развития хрупкой трещины .

Точнее, учитывая открытое подмножество Ω в R ^н , функция u : Ω → R ^н называется ограниченной деформацией , если симметризованный градиент ε ( u ) u ,

$\varepsilon (u)={\frac {\nabla u+\nabla u^{\top }}{2}}$

— ограниченная симметричная n n × матричная Радона мера . Совокупность всех функций ограниченной деформации обозначается BD(Ω; R ^н ), или просто БД, введенный по существу П.-М. Сюке в 1978 году. BD — строго большее пространство, чем пространство BV функций ограниченной вариации .

Можно показать, что если u имеет ограниченную деформацию, то меру ε ( u ) можно разложить на три части: одну, абсолютно непрерывную относительно меры Лебега , обозначаемую e ( u ) d x ; часть скачка, поддерживаемая на спрямляемом ( n − 1)-мерном множестве J _u точек, где u имеет два разных приближенных предела u ₊ и u ₋ , вместе с вектором нормали ν _u ; и « канторову часть », которая обращается в нуль на борелевских множествах конечного H ^{п -1} -мера (где H ^к обозначает k -мерную меру Хаусдорфа ).

Говорят, что функция u имеет специальную ограниченную деформацию, если канторова часть ε ( u ) равна нулю, так что меру можно записать в виде

$\varepsilon (u)=e(u)\,\mathrm {d} x+{\big (}u_{+}(x)-u_{-}(x){\big )}\odot \nu _{u}(x)H^{n-1}|J_{u},$

где Н  ^{п -1} | J обозначает H  ^{п -1} на прыжковом наборе J _u и $\odot$ обозначает симметризованное двоичное произведение :

$a\odot b={\frac {a\otimes b+b\otimes a}{2}}.$

Совокупность всех функций специальной ограниченной деформации обозначается SBD(Ω; R ^н ), или просто СБД.

Ссылки

• Сюке, П.-М. (1978). «Существование и регулярность решений уравнений совершенной пластичности». Доклады Академии наук, серия А. 286 : 1201–1204.
• Франкфорт, Джорджия и Мариго, Ж.-Ж. (1998). «Возврат к хрупкому разрушению как проблеме минимизации энергии» (PDF) . Дж. Мех. Физ. Твердые тела . 46 (8): 1319–1342. Бибкод : 1998JMPSo..46.1319F . дои : 10.1016/S0022-5096(98)00034-9 .
• Франкфорт, Джорджия и Мариго, Ж.-Ж. (1999). «Трещины в механике разрушения: семейство минимизаторов энергии с индексацией по времени». В П. Аргуле; М. Фремон и К.С. Нгуен (ред.). Симпозиум IUTAM по вариациям задач области и свободных границ в механике твердого тела . Механика твердого тела и ее приложения №66. Дордрехт: Kluwer Academic Publishers. стр. 197–202.