Передняя кинематика

Шарнирно-сочлененная с шестью степенями свободы роботизированная рука использует переднюю кинематику для позиционирования захвата.

Уравнения прямой кинематики определяют траекторию конечного рабочего органа робота PUMA, достающего детали.

В робота кинематике прямая кинематика относится к использованию кинематических уравнений робота для вычисления положения рабочего органа на основе заданных значений параметров сустава .

Уравнения кинематики робота используются в робототехнике , компьютерных играх , анимации . Обратный процесс, который вычисляет параметры соединения, обеспечивающие заданное положение рабочего органа, известен как обратная кинематика .

Кинематика вперед и назад

Уравнения кинематики

Уравнения кинематики для последовательной цепи робота получены с использованием жесткого преобразования [Z] для характеристики относительного движения, разрешенного в каждом сочленении , и отдельного жесткого преобразования [X] для определения размеров каждого звена. В результате получается последовательность жестких преобразований, чередующихся суставных и звеньевых преобразований от основания цепи к ее концевому звену, которая приравнивается к заданному положению конечного звена,

$[T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}],\!$

где [T] — преобразование, определяющее конечную ссылку. Эти уравнения называются уравнениями кинематики последовательной цепи.

Преобразования ссылок

В 1955 году Жак Денавит и Ричард Хартенберг представили соглашение об определении совместных матриц [Z] и матриц связей [X] для стандартизации системы координат для пространственных связей. Это соглашение позиционирует шарнирную раму так, чтобы она представляла собой перемещение винта вдоль оси Z.

$[Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),$

и он позиционирует рамку связи так, что она представляет собой перемещение винта вдоль оси X,

$[X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).$

Используя эти обозначения, каждое звено преобразования проходит по последовательной цепочке роботов и может быть описано преобразованием координат ,

${}^{i-1}T_{i}=[Z_{i}][X_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}),$

где θ _i , d _i , α _i,i+1 и a _i,i+1 известны как параметры Денавита-Хартенберга .

Еще раз о уравнениях кинематики

Уравнения кинематики последовательной цепи из n звеньев с параметрами соединения θ _i имеют вид

$[T]={}^{0}T_{n}=\prod _{i=1}^{n}{}^{i-1}T_{i}(\theta _{i}),$

где ${}^{i-1}T_{i}(\theta _{i})$ — матрица преобразования из кадра ссылки $i$ связать $i-1$. В робототехнике они традиционно описываются параметрами Денавита-Хартенберга .

Матрица Денавита-Хартенберга

Матрицы, связанные с этими операциями:

$\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i})={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Сходным образом,

$\operatorname {Trans} _{X_{i}}(a_{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&a_{i,i+1}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},\quad \operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1})={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}.$

Использование соглашения Денавита-Хартенберга дает матрицу преобразования ссылок: [ ^я-1 Т _я ] как

$\operatorname {} ^{i-1}T_{i}={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&\sin \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\cos \theta _{i}\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}\cos \alpha _{i,i+1}&-\cos \theta _{i}\sin \alpha _{i,i+1}&a_{i,i+1}\sin \theta _{i}\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},$

известная как матрица Денавита-Хартенберга .

Компьютерная анимация

Прямые кинематические уравнения можно использовать как метод трехмерной компьютерной графики для анимации моделей.

Основная концепция прямой кинематической анимации заключается в том, что положения определенных частей модели в определенное время рассчитываются на основе положения и ориентации объекта вместе с любой информацией о суставах шарнирно-сочлененной модели. Так, например, если анимируемый объект представляет собой руку, плечо которой остается в фиксированном месте, положение кончика большого пальца будет рассчитываться на основе углов плеча , локтя , запястья , большого пальца и суставов суставов . Три из этих суставов (плечо, запястье и основание большого пальца) имеют более одной степени свободы , и все это необходимо учитывать. Если бы модель представляла собой целую человеческую фигуру, то расположение плеча также пришлось бы рассчитывать на основе других свойств модели.

Этим способом расчета можно отличить прямую кинематическую анимацию от обратной кинематической анимации - в обратной кинематике ориентация сочлененных частей рассчитывается исходя из желаемого положения определенных точек на модели. Ее также отличает от других систем анимации тот факт, что движение модели определяется непосредственно аниматором — не принимаются во внимание какие-либо физические законы , которые могут действовать на модель, такие как гравитация или столкновение с другими моделями.

См. также

• Обратная кинематика
• Кинематическая цепь
• Управление роботом
• Механические системы
• Кинематика робота
• Кинематический синтез