Константа Пруэ–Тюэ–Морса

В математике константа Пруэ -Туэ-Морса , названная в честь Эжена Пруэ , Акселя Туэ и Марстона Морса , представляет собой число, обозначаемое τ которого , двоичное разложение 0,01101001100101101001011001101001... задается уравнением Пруэ-Туэ-Морса. последовательность . То есть,

$\tau =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t_{n}}{2^{n+1}}}=0.412454033640\ldots$

где t _n - это n ^й элемент последовательности Пруэ-Туэ-Морса.

Другие представления

Константу Пруэ-Туэ-Морса также можно выразить без использования t _n как бесконечное произведение:

$\tau ={\frac {1}{4}}\left[2-\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2^{2^{n}}}}\right)\right]$

Эта формула получается подстановкой x = 1/2 в порождающий ряд по t _n

$F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{t_{n}}x^{n}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-x^{2^{n}})$

0 ; Разложение константы в непрерывную дробь равно [ 2, 2, 2, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 44, 1, 4, 1, 2, 4, 1, …] (последовательность A014572 в OEIS )

Ян Бюжо и Мартин Кеффелек показали, что бесконечно много частных частных этой цепной дроби равны 4 или 5, а бесконечное число частных частных больше или равно 50.

трансцендентность

константы Пруэ-Туэ-Морса была показана Трансцендентность Куртом Малером в 1929 году.

Он также показал, что число

$\sum _{i=0}^{\infty }t_{n}\,\alpha ^{n}$

также трансцендентно для любого алгебраического числа α, где 0 < | α | < 1.

Янн Бюге доказал, что константа Пруэ–Туэ–Морса имеет меру иррациональности, равную 2.

Появления

Константа Пруэ-Туэ-Морса появляется в вероятности . Если язык L из {0, 1} выбирается случайным образом путем подбрасывания честной монеты , чтобы решить, находится ли каждое слово w в L , вероятность того, что он содержит хотя бы одно слово для каждой возможной длины, равна

$p=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{2^{2^{n}}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{t_{n}}}{2^{n+1}}}=2-4\tau =0.35018386544\ldots$

См. также

• Постоянная Эйлера-Машерони
• Слово Фибоначчи
• Последовательность Голея – Рудина – Шапиро
• Константа судебного пристава-Лорети

Ссылки

• Аллуш, Жан-Поль; Шалит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-82332-6 . Збл   1086.11015 . .
• Пифей Фогг, Н. (2002). Берта, Валери ; Ференци, Себастьян; Модуит, Кристиан; Сигел, Энн (ред.). Замены в динамике, арифметике и комбинаторике . Конспект лекций по математике. Том. 1794. Берлин: Springer-Verlag . ISBN  3-540-44141-7 . Збл   1014.11015 .

Внешние ссылки

• Последовательность OEIS A010060 (последовательность Туэ-Морса)
• Вездесущая последовательность Пруэ-Туэ-Морса , Джона-Поля Аллуша и Джеффри Шаллита (без даты, 2004 г. или ранее) предоставляет множество приложений и некоторую историю.
• Запись PlanetMath