Поверхность канала

поверхность трубы: директриса представляет собой спираль с образующими сферами

поверхность трубы: директриса представляет собой спираль

В геометрии и топологии канал семейства или поверхность канала — это поверхность, образованная оболочкой сфер , центры которых лежат на пространственной кривой , ее директрисе . Если радиусы образующих сфер постоянны, поверхность канала называется поверхностью трубы . Простые примеры:

правый круговой цилиндр (поверхность трубы, направляющая — линия, ось цилиндра)
тор (поверхность трубы, директриса – окружность),
правый круговой конус (поверхность канала, директриса — линия (ось), радиусы сфер непостоянны),
поверхность вращения (поверхность канала, директриса – линия),

Поверхности канала играют важную роль в начертательной геометрии, поскольку в случае ортогональной проекции его контурную кривую можно нарисовать в виде огибающей окружностей.

В технической области поверхности каналов можно использовать для плавного сглаживания поверхностей .

Конверт карандаша неявных поверхностей

Учитывая пучок неявных поверхностей

\Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]

,

две соседние поверхности $\Phi _{c}$ и $\Phi _{c+\Delta c}$ пересекаются по кривой, удовлетворяющей уравнениям

f({\mathbf {x} },c)=0

и

f({\mathbf {x} },c+\Delta c)=0

.

Для лимита $\Delta c\to 0$ каждый получает $f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({\mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0$ . Последнее уравнение является причиной следующего определения.

Позволять $\Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_{1},c_{2}]$ быть однопараметрическим пучком правильных неявных $C^{2}$ поверхности ( $f$ будучи по крайней мере дважды непрерывно дифференцируемыми). Поверхность, определяемая двумя уравнениями
$f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\mathbf {x} },c)=0$

есть огибающая данного пучка поверхностей. ^{[ 1 ]}

Поверхность канала

Позволять $\Gamma :{\mathbf {x} }={\mathbf {c} }(u)=(a(u),b(u),c(u))^{\top }$ быть регулярной пространственной кривой и $r(t)$ а $C^{1}$ -функция с $r>0$ и $|{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|$ . Последнее условие означает, что кривизна кривой меньше, чем у соответствующей сферы. Огибающая 1-параметрического карандаша сфер

f({\mathbf {x} };u):={\big \|}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big \|}^{2}-r^{2}(u)=0

называется поверхностью канала и $\Gamma$ его директриса . Если радиусы постоянны, это называется поверхностью трубы .

Параметрическое представление поверхности канала

Состояние конверта

f_{u}({\mathbf {x} },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big )}^{\top }{\dot {\mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0

поверхности канала выше для любого значения $u$ уравнение плоскости, ортогональной касательной ${\dot {\mathbf {c} }}(u)$ директрисы. Следовательно, конверт представляет собой набор кругов. Это свойство является ключевым для параметрического представления поверхности канала. Центр окружности (для параметра $u$ ) имеет расстояние $d:={\frac {r{\dot {r}}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}<r$ (см. условие выше) от центра соответствующей сферы, а ее радиус равен ${\sqrt {r^{2}-d^{2}}}$ . Следовательно

${\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u)^{2}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )},$

где векторы ${\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}$ и касательный вектор ${\dot {\mathbf {c} }}/\|{\dot {\mathbf {c} }}\|$ образуют ортонормированный базис, является параметрическим представлением поверхности канала. ^{[ 2 ]}