Квазиморфизм

В теории групп , если группа $G$ , квазиморфизм (или квазиморфизм ) — это функция $f:G\to \mathbb {R}$ которая аддитивна с точностью до ограниченной ошибки, т. е. существует константа $D\geq 0$ такой, что $|f(gh)-f(g)-f(h)|\leq D$ для всех $g,h\in G$ . Наименее положительное значение $D$ называется дефектом для которого выполняется это неравенство , $f$ , записанный как $D(f)$ . Для группы $G$ , квазиморфизмы образуют подпространство функционального пространства $\mathbb {R} ^{G}$ .

Примеры [ править ]

Групповые гомоморфизмы и ограниченные функции из $G$ к $\mathbb {R}$ являются квазиморфизмами. Сумма гомоморфизма группы и ограниченной функции также является квазиморфизмом, и функции этого вида иногда называют «тривиальными» квазиморфизмами. ^[1]
Позволять $G=F_{S}$ быть свободной группой над множеством $S$ . Для сокращенного слова $w$ в $S$ , сначала определим большую считающую функцию $C_{w}:F_{S}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$ , который возвращается для $g\in G$ количество копий $w$ в редуцированном представителе $g$ . Аналогично определим малую считающую функцию $c_{w}:F_{S}\to \mathbb {Z} _{\geq 0}$ , возвращая максимальное количество непересекающихся копий в уменьшенном представителе $g$ . Например, $C_{aa}(aaaa)=3$ и $c_{aa}(aaaa)=2$ . Тогда квазиморфизм с большим счетом (соответственно квазиморфизм с малым счетом ) является функцией вида $H_{w}(g)=C_{w}(g)-C_{w^{-1}}(g)$ (соответственно $h_{w}(g)=c_{w}(g)-c_{w^{-1}}(g))$ .
Число вращения ${\text{rot}}:{\text{Homeo}}^{+}(S^{1})\to \mathbb {R}$ является квазиморфизмом, где ${\text{Homeo}}^{+}(S^{1})$ сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы окружности . обозначает

Однородный [ править ]

Квазиморфизм однороден , если $f(g^{n})=nf(g)$ для всех $g\in G,n\in \mathbb {Z}$ . Оказывается, изучение квазиморфизмов можно свести к изучению однородных квазиморфизмов, поскольку всякий квазиморфизм $f:G\to \mathbb {R}$ находится на ограниченном расстоянии от единственного однородного квазиморфизма ${\overline {f}}:G\to \mathbb {R}$ , предоставленный:

{\overline {f}}(g)=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(g^{n})}{n}}

.

Однородный квазиморфизм $f:G\to \mathbb {R}$ имеет следующие свойства:

Оно постоянно на классах сопряженности , т.е. $f(g^{-1}hg)=f(h)$ для всех $g,h\in G$ ,
Если $G$ абелева то , $f$ является групповым гомоморфизмом. Из сделанного выше замечания следует, что в этом случае все квазиморфизмы «тривиальны».

Целочисленное значение [ править ]

Аналогично можно определить квазиморфизмы и в случае функции $f:G\to \mathbb {Z}$ . В этом случае приведенное выше обсуждение однородных квазиморфизмов больше не имеет места, поскольку предел $\lim _{n\to \infty }f(g^{n})/n$ не существует в $\mathbb {Z}$ в общем.

Например, для $\alpha \in \mathbb {R}$ , карта $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n\mapsto \lfloor \alpha n\rfloor$ является квазиморфизмом. Существует конструкция действительных чисел как частного квазиморфизмов. $\mathbb {Z} \to \mathbb {Z}$ с помощью соответствующего отношения эквивалентности, см. Построение действительных чисел из целых чисел (действительные числа Евдокса) .

Примечания [ править ]

^ Фригер (2017), с. 12.

Ссылки [ править ]

Калегари, Дэнни (2009), scl , MSJ Memoirs, vol. 20, Математическое общество Японии, Токио, стр. 17–25, doi : 10.1142/e018 , ISBN. 978-4-931469-53-2
Фриджерио, Роберто (2017), Ограниченные когомологии дискретных групп , Математические обзоры и монографии, том. 227, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, стр. 12–15, arXiv : 1610.08339 , doi : 10.1090/surv/227 , ISBN 978-1-4704-4146-3 , S2CID 53640921

Дальнейшее чтение [ править ]

Что такое квазиморфизм? Д. Кочик

[1] Фригер (2017), с. 12.

[1]