Черная брана AdS

Черная антидеситтеровская брана — это решение уравнений Эйнштейна при наличии отрицательной космологической постоянной , обладающее плоским горизонтом событий . Это отличается от решения анти-деситтеровской черной дыры , которое имеет сферический горизонт событий. Отрицательная космологическая константа подразумевает, что пространство-время будет асимптотически относиться к антидеситтеровскому пространству-времени на пространственной бесконечности.

Развитие математики

Уравнение Эйнштейна имеет вид

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=0,$

где $R_{\mu \nu }$ – тензор кривизны Риччи , R – скаляр Риччи , $\Lambda$ космологическая постоянная и $g_{\mu \nu }$ — это метрика, для которой мы решаем.

Мы будем работать в d измерениях пространства-времени с координатами $(t,r,x_{1},...,x_{d-2})$ где $r\geq 0$ и $-\infty <t,x_{1},...,x_{d-2}<\infty$. Линейный элемент для стационарного пространства-времени, инварианта обращения времени, инварианта инверсии пространства, инварианта вращения.

и трансляционно инвариантен в $x_{i}$ направления даны,

$ds^{2}=L^{2}\left({\frac {dr^{2}}{r^{2}h(r)}}+r^{2}(-dt^{2}f(r)+d{\vec {x}}^{2})\right)$.

Замена космологической постоянной масштабом длины L

$\Lambda =-{\frac {1}{2L^{2}}}(d-1)(d-2)$,

мы находим это,

$f(r)=a\left(1-{\frac {b}{r^{d-1}}}\right)$

$h(r)=1-{\frac {b}{r^{d-1}}}$

с $a$ и $b$ константы интегрирования, является решением уравнения Эйнштейна.

Константа интегрирования $a$ связано с остаточной симметрией, связанной с изменением масштаба временной координаты. Если мы потребуем, чтобы элемент строки принял форму,

$ds^{2}=L^{2}\left({\frac {dr^{2}}{r^{2}}}+r^{2}(-dt^{2}+d{\vec {x}})\right)$, когда r стремится к бесконечности, мы должны положить $a=1$.

Суть $r=0$ представляет особенность кривизны, а точка $r^{d-1}=b$ является координатной особенностью, когда $b>0$. Чтобы это увидеть, переключимся на систему координат $(v,r,x_{1},...,x_{d-2})$ где $v=t+r^{*}(r)$ и $r^{*}(r)$ определяется дифференциальным уравнением,

${\frac {dr^{*}}{dr}}={\frac {1}{r^{2}h(r)}}$.

Линейный элемент в этой системе координат задается формулой:

$ds^{2}=L^{2}(-r^{2}h(r)dv^{2}+2dvdr+r^{2}d{\vec {x}}^{2})$,

что регулярно в $r^{d-1}=b$. Поверхность $r^{d-1}=b$ это горизонт событий.