Принудительная функция

В математике коэрцитивная функция — это функция, которая «быстро растет» в крайних точках пространства, в котором она определена. В зависимости от контекста используются разные точные определения этой идеи.

Коэрцитивные векторные поля

Векторное поле f : R ^н → Р ^н называется принудительным, если $${\frac {f(x)\cdot x}{\|x\|}}\to +\infty {\text{ as }}\|x\|\to +\infty ,$$ где " $\cdot$" обозначает обычное скалярное произведение и $\|x\|$ обозначает обычную евклидову норму вектора x .

Коэрцитивное векторное поле является, в частности, коэрцитивным по норме, поскольку $\|f(x)\|\geq (f(x)\cdot x)/\|x\|$ для $x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}$, по неравенству Коши–Шварца . Однако коэрцитивное по норме отображение f : R ^н → Р ^н не обязательно является коэрцитивным векторным полем. Например, вращение f : R ² → Р ² , f ( x ) = (− x ₂ , x ₁ ) на 90° является коэрцитивным по норме отображением, которое не может быть коэрцитивным векторным полем, поскольку $f(x)\cdot x=0$ для каждого $x\in \mathbb {R} ^{2}$.

Принудительные операторы и формы

Самосопряженный оператор $A:H\to H,$ где $H$ является действительным гильбертовым пространством , называется коэрцитивным , если существует константа $c>0$ такой, что $$\langle Ax,x\rangle \geq c\|x\|^{2}$$ для всех $x$ в $H.$

Билинейная форма $a:H\times H\to \mathbb {R}$ называется принудительным, если существует константа $c>0$ такой, что $$a(x,x)\geq c\|x\|^{2}$$ для всех $x$ в $H.$

следует Из теоремы о представлении Рисса , что любая симметричная (определяемая как $a(x,y)=a(y,x)$ для всех $x,y$ в $H$), непрерывный ( $|a(x,y)|\leq k\|x\|\,\|y\|$ для всех $x,y$ в $H$ и некоторая константа $k>0$) и принудительная билинейная форма $a$ имеет представительство $$a(x,y)=\langle Ax,y\rangle$$

для некоторого самосопряженного оператора $A:H\to H,$ который затем оказывается принудительным оператором. Также, учитывая принудительный самосопряженный оператор $A,$ билинейная форма $a$ определенное выше, является принудительным.

Если $A:H\to H$ является коэрцитивным оператором, то это коэрцитивное отображение (в смысле коэрцитивности векторного поля, когда необходимо заменить скалярное произведение более общим скалярным произведением). Действительно, $\langle Ax,x\rangle \geq C\|x\|$ для большого $\|x\|$ (если $\|x\|$ ограничено, то из него легко следует); затем замена $x$ к $x\|x\|^{-2}$ мы поняли это $A$ является принудительным оператором. Можно также показать, что обратное верно, если $A$ является самосопряженным. Определения коэрцитивности векторных полей, операторов и билинейных форм тесно связаны и совместимы.

Нормо-принудительные отображения

Отображение $f:X\to X'$ между двумя нормированными векторными пространствами $(X,\|\cdot \|)$ и $(X',\|\cdot \|')$ называется нормо-принудительным тогда и только тогда, когда $$\|f(x)\|'\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .$$

В более общем смысле функция $f:X\to X'$ между двумя топологическими пространствами $X$ и $X'$ называется коэрцитивным, если для любого компактного подмножества $K'$ из $X'$ существует компактное подмножество $K$ из $X$ такой, что $$f(X\setminus K)\subseteq X'\setminus K'.$$

Композиция за биективного собственного отображения, которым следует коэрцитивное отображение, является коэрцитивной.

(Расширенные) принудительные функции

(Расширенная функция) $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ называется принудительным, если $$f(x)\to +\infty {\mbox{ as }}\|x\|\to +\infty .$$ Реально ценная принудительная функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ является, в частности, нормопринудительным. Однако нормопринудительная функция $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ не обязательно является принудительным. Например, функция идентичности на $\mathbb {R}$ является нормо-принудительным, но не принудительным.

См. также

• Радиально неограниченные функции

Ссылки

• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. xiv+434. ISBN  0-387-00444-0 .
• Баширов, Агамирза Э (2003). Частично наблюдаемые линейные системы в условиях зависимых шумов . Базель; Бостон: Биркхойзер Верлаг. ISBN  0-8176-6999-Х .
• Гилбарг, Д.; Трудингер, Н. (2001). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка, 2-е изд . Берлин; Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  3-540-41160-7 .

Эта статья включает в себя материал из Coercive Function на PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .