Возмущенная угловая корреляция

Ядерный зонд в решетке.

Схема PAC-спектроскопии

Возмущенная угловая корреляция γ-γ , PAC сокращенно или PAC-спектроскопия , представляет собой метод ядерной физики твердого тела, с помощью которого магнитные и электрические поля в кристаллических структурах можно измерить . При этом градиенты электрического поля и ларморовская частота определяются в магнитных полях, а также динамические эффекты. С помощью этого очень чувствительного метода, для которого требуется всего около 10–1000 миллиардов атомов радиоактивного изотопа свойства материала в локальной структуре на одно измерение, можно исследовать , фазовые переходы, магнетизм и диффузию. Метод PAC связан с ядерным магнитным резонансом и эффектом Мессбауэра , но не показывает затухания сигнала при очень высоких температурах. только дифференциально-временная возмущенная угловая корреляция ( TDPAC Сегодня используется ).

История и развитие

Измерение совпадений в упрощенном виде.

PAC возвращается к теоретической работе Дональда Р. Гамильтона. с 1940 г. Первый успешный эксперимент провели Брейди и Дойч. в 1947 году. По сути, в этих первых экспериментах PAC исследовались спин и четность ядерных спинов. Однако уже давно было признано, что электрические и магнитные поля взаимодействуют с ядерным моментом. создание основы для новой формы исследования материалов: ядерной спектроскопии твердого тела.

Шаг за шагом теория развивалась. После Абрагама и Паунда опубликовали свою работу по теории PAC в 1953 году, включая дополнительные ядерные поля, впоследствии было проведено множество исследований с PAC. В 1960-е и 1970-е годы интерес к экспериментам ПАК резко возрос, сосредоточившись в основном на магнитных и электрических полях в кристаллах, в которые вводились пробные ядра. В середине 1960-х годов была открыта ионная имплантация, открывшая новые возможности для подготовки проб. Быстрое развитие электроники в 1970-х годах привело к значительным улучшениям в обработке сигналов. С 1980-х годов по настоящее время PAC стал важным методом изучения и характеристики материалов. например, для изучения полупроводниковых материалов, интерметаллических соединений, поверхностей и интерфейсов, а также появился ряд приложений в биохимии.

В то время как примерно до 2008 года в приборах PAC использовалась традиционная высокочастотная электроника 1970-х годов, в 2008 году Кристиан Херден и Йенс Рёдер и др. разработала первый полностью цифровой прибор PAC, который позволяет проводить обширный анализ данных и параллельно использовать несколько датчиков. Последовали реплики и дальнейшие разработки.

Принцип измерения

Схема распада ¹¹¹ В ¹¹¹ Кд.

PAC использует радиоактивные зонды, которые имеют промежуточное состояние со временем затухания от 2 нс до прибл. 10 мкс, см. пример ¹¹¹ На картинке справа. После электронного захвата (EC) индий превращается в кадмий. Сразу после этого, ¹¹¹ Ядро кадмия находится преимущественно в возбужденном ядерном спине 7/2+ и лишь в очень малой степени в ядерном спине 11/2-, последний в дальнейшем рассматриваться не должен. Возбужденное состояние 7/2+ переходит в промежуточное состояние 5/2+ путем испускания γ-кванта с энергией 171 кэВ. Промежуточное состояние имеет время жизни 84,5 нс и является чувствительным состоянием для PAC. Это состояние, в свою очередь, распадается на основное состояние 1/2+ с испусканием γ-кванта с энергией 245 кэВ. Теперь PAC обнаруживает оба γ-кванта и оценивает первый как сигнал запуска, второй как сигнал остановки.

Одиночные спектры под углом 90° и 180°, демонстрирующие эффект возмущения.

Теперь измеряется время между началом и остановкой каждого события. Это называется совпадением, когда найдена пара старта и стопа. Поскольку промежуточное состояние распадается по законам радиоактивного распада, после построения графика зависимости частоты от времени получается экспоненциальная кривая времени жизни этого промежуточного состояния. Из-за несферически-симметричного излучения второго γ-кванта, так называемой анизотропии, которая является внутренним свойством ядра при этом переходе, оно приходит с окружающими электрическими и/или магнитными полями в периодический беспорядок ( сверхтонкое взаимодействие ). Иллюстрация отдельных спектров справа показывает влияние этого возмущения в виде волновой картины на экспоненциальное затухание двух детекторов: одной пары под углом 90° и одной под углом 180° друг к другу. Формы сигналов для обеих пар детекторов смещены друг от друга. Очень просто можно представить неподвижного наблюдателя, смотрящего на маяк, интенсивность света которого периодически становится светлее и темнее. Соответственно, детекторная установка, обычно четыре детектора в плоском расположении под углом 90° или шесть детекторов в октаэдрическом расположении, «видит» вращение ядра на порядок от МГц до ГГц.

Внизу: сложный PAC-спектр, вверху: его преобразование Фурье.

В зависимости от количества детекторов n количество отдельных спектров (z) получается после z=n²-n, для n=4, следовательно, 12, а для n=6, следовательно, 30. Чтобы получить спектр PAC, 90° и Одиночные спектры 180° рассчитываются таким образом, что экспоненциальные функции компенсируют друг друга и, кроме того, различные свойства детектора сокращаются. Чистая функция возмущения остается, как показано на примере сложного спектра PAC. Его преобразование Фурье дает частоты перехода в виде пиков.

$R(t)$, коэффициент скорости счета, получается из отдельных спектров с использованием:

$R(t)=2{\frac {W(180^{\circ },t)-W(90^{\circ },t)}{W(180^{\circ },t)+2W(90^{\circ },t)}}$

В зависимости от спина промежуточного состояния проявляется различное количество частот перехода. Для спина 5/2 можно наблюдать 3 частоты перехода с соотношением ω ₁ +ω ₂ =ω ₃ . Как правило, для каждого связанного участка в элементарной ячейке можно наблюдать разную комбинацию трех частот.

PAC-спектр монокристалла ZnO с подгонкой.

PAC — это статистический метод: каждый радиоактивный атом-зонд находится в своем собственном окружении. В кристаллах из-за высокой регулярности расположения атомов или ионов окружения одинаковы или очень похожи, так что зонды в одинаковых узлах решетки испытывают одно и то же сверхтонкое поле или магнитное поле, которое затем становится измеримым в спектре ПАК. С другой стороны, для зондов в самых разных средах, например, в аморфных материалах, обычно наблюдается широкое частотное распределение или его отсутствие, а спектр PAC выглядит плоским, без частотной характеристики. В монокристаллах в зависимости от ориентации кристалла по отношению к детекторам определенные частоты переходов могут уменьшаться или исчезать, как это видно на примере спектра ПКК оксида цинка (ZnO).

Инструментальная установка

Инструментальная установка детекторов вокруг зонда.

Энергетический спектр ¹⁴⁹ Б-г с энергетическими окнами для старта и стопа.

В типичном спектрометре PAC вокруг образца радиоактивного источника размещается установка из четырех детекторов с плоской решеткой под углом 90 ° и 180 ° или из шести детекторов с октаэдрической решеткой. В качестве детекторов используются сцинтилляционные кристаллы BaF ₂ или NaI. Сегодня для современных инструментов в основном _{LaBr 3} :Ce или CeBr ₃ используются . Фотоумножители преобразуют слабые вспышки света в электрические сигналы, генерируемые в сцинтилляторе гамма-излучением. В классических приборах эти сигналы усиливаются и обрабатываются в логических схемах И/ИЛИ в сочетании с временными окнами различных комбинаций детекторов (для 4 детекторов: 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42). , 43) назначены и посчитаны. В современных цифровых спектрометрах используются карты дигитайзера, которые напрямую используют сигнал, преобразуют его в значения энергии и времени и сохраняют их на жестких дисках. Затем программное обеспечение ищет совпадения. В то время как в классических приборах «окна», ограничивающие соответствующие γ-энергии, должны быть установлены перед обработкой, для цифрового PAC в этом нет необходимости во время записи измерения. Анализ проводится только на втором этапе. В случае датчиков со сложными каскадами это позволяет выполнять оптимизацию данных или оценивать несколько каскадов параллельно, а также одновременно измерять разные датчики. Итоговые объемы данных могут составлять от 60 до 300 ГБ на одно измерение.

Образцы материалов

Материалами для исследования (образцами) являются в принципе все материалы, которые могут быть твердыми и жидкими. В зависимости от вопроса и цели расследования возникают определенные рамочные условия. Для наблюдения четких частот возмущений необходимо, согласно статистическому методу, чтобы определенная часть атомов-зондов находилась в одинаковой среде и, например, испытывала один и тот же градиент электрического поля. Кроме того, в течение временного окна между началом и остановкой, или примерно 5 периодов полураспада промежуточного состояния, направление градиента электрического поля не должно меняться. Поэтому в жидкостях невозможно измерить частоту интерференции из-за частых столкновений, если только зонд не находится в комплексе с большими молекулами, например, с белками. Образцы с белками или пептидами обычно замораживают для улучшения измерений.

Наиболее изученными материалами с PAC являются твердые тела, такие как полупроводники, металлы, изоляторы и различные типы функциональных материалов. Для исследований они обычно кристаллические. Аморфные материалы не имеют высокоупорядоченной структуры. Однако они имеют непосредственную близость, что можно увидеть в спектроскопии PAC как широкое распределение частот. Наноматериалы имеют кристаллическое ядро ​​и оболочку, имеющую достаточно аморфную структуру. Это называется моделью ядро-оболочка. Чем меньше становится наночастица, тем больше становится объемная доля этой аморфной части. В измерениях PAC это проявляется в уменьшении кристаллической частотной составляющей при уменьшении амплитуды (затухании).

Подготовка проб

Количество подходящих изотопов PAC, необходимых для измерения, составляет от 10 до 1000 миллиардов атомов (10 ¹⁰ -10 ¹² ). Нужное количество зависит от конкретных свойств изотопа. 10 миллиардов атомов — это очень небольшое количество вещества. Для сравнения, в одном моле содержится около 6,22х10 ²³ частицы. 10 ¹² атомы в одном кубическом сантиметре бериллия дают концентрацию около 8 нмоль/л (наномоль=10 ⁻⁹ мол). Каждый из радиоактивных образцов имеет активность 0,1–5 МБк, что соответствует пределу исключения для соответствующего изотопа.

Каким образом изотопы PAC вводятся в исследуемый образец, зависит от экспериментатора и технических возможностей. Обычными являются следующие методы:

Имплантация

Схема сепаратора изотопов On Line DEvice' ( ISOLDE ) в CERN . Протонный пучок протонных синхротронных ускорителей (ПСБ) создает путем деления в мишенях радиоактивные ядра. Они ионизируются в источниках ионов, ускоряются и благодаря разным массам разделяются магнитными распылителями либо GPS ( сепаратор общего назначения ), либо HRS ( сепаратор высокого разрешения ).

Во время имплантации генерируется пучок радиоактивных ионов, который направляется на материал образца. Благодаря кинетической энергии ионов (1-500 кэВ) они влетают в кристаллическую решетку и замедляются ударами. Они либо останавливаются в междоузлиях, либо выталкивают атом решетки с его места и заменяют его. Это приводит к нарушению кристаллической структуры. Эти расстройства можно исследовать с помощью PAC. Умеряя эти нарушения, можно излечиться. С другой стороны, если необходимо исследовать радиационные дефекты в кристалле и их заживление, измеряют невидимые образцы, которые затем поэтапно отжигают.

Имплантация обычно является методом выбора, поскольку с ее помощью можно получить очень четко определенные образцы.

Испарение

В вакууме зонд PAC можно напылить на образец. Радиоактивный зонд прикладывают к горячей пластине или нити, где он доводится до температуры испарения и конденсируется на противоположном материале образца. С помощью этого метода, например, исследуются поверхности. Кроме того, путем осаждения из паровой фазы других материалов можно создавать интерфейсы. Их можно изучить во время отпуска с ПАУ и наблюдать за их изменениями. Аналогичным образом зонд PAC можно перевести на напыление с использованием плазмы.

Диффузия

При диффузионном методе радиоактивный зонд обычно разбавляют растворителем, нанесенным на образец, сушат и диффундируют в материал путем его закалки. Раствор с радиоактивным зондом должен быть как можно более чистым, поскольку все другие вещества могут диффундировать в пробу и тем самым влиять на результаты измерений. Проба должна быть достаточно разбавлена ​​в образце. Поэтому процесс диффузии следует планировать так, чтобы было достигнуто равномерное распределение или достаточная глубина проникновения.

Добавлено во время синтеза

Зонды PAC также можно добавлять во время синтеза материалов пробы для достижения наиболее равномерного распределения в пробе. Этот метод особенно хорошо подходит, если, например, зонд PAC плохо диффундирует в материале и ожидается более высокая концентрация на границах зерен. Поскольку для PAC необходимы только очень маленькие образцы (около 5 мм), можно использовать микрореакторы. В идеале зонд добавляется в жидкую фазу золь-гель-процесса или в одну из последующих фаз-предшественников.

Нейтронная активация

При нейтронной активации зонд готовится непосредственно из материала образца путем преобразования очень небольшой части одного из элементов материала образца в желаемый зонд PAC или его родительский изотоп путем захвата нейтронов. Как и при имплантации, радиационное повреждение необходимо залечить. Этот метод ограничен образцами материалов, содержащими элементы, из которых могут быть изготовлены зонды PAC с нейтронным захватом. Более того, образцы могут быть намеренно загрязнены теми элементами, которые подлежат активации. Например, гафний прекрасно подходит для активации из-за его большого сечения захвата нейтронов.

Ядерная реакция

Редко используются прямые ядерные реакции, в которых ядра превращаются в зонды PAC путем бомбардировки элементарными частицами или протонами высоких энергий. Это вызывает серьезные радиационные повреждения, которые необходимо лечить. Этот метод используется с PAD, который относится к методам PAC.

Лаборатории

В настоящее время крупнейшая в мире лаборатория PAC расположена в ISOLDE в ЦЕРНе и имеет около 10 приборов PAC, основное финансирование которой получает от BMBF . Пучки радиоактивных ионов создаются на установке ISOLDE путем бомбардировки протонами из бустера материалов мишени (карбид урана, жидкое олово и т. д.) и испарения продуктов расщепления при высоких температурах (до 2000 °C), их последующей ионизации и последующего ускорения. . При последующем массовом разделении обычно можно получить пучки очень чистых изотопов, которые можно имплантировать в образцы PAC. Особый интерес для PAC представляют короткоживущие изомерные зонды, такие как: ^{111 м} компакт-диск, ^{199 м} Хг, ^{204 м} Pb и различные редкоземельные зонды.

Теория

Общий γ-γ-каскад со временем жизни $\tau _{N}$ промежуточного состояния.

Первый $\gamma$-квант ( $\gamma _{1},k_{1}$) будет излучаться изотропно. Обнаружение этого кванта в детекторе выбирает подмножество с заданной ориентацией из многих возможных направлений. Второй $\gamma$-квант ( $\gamma _{2},k_{2}$) имеет анизотропное излучение и демонстрирует эффект угловой корреляции. Цель состоит в том, чтобы измерить относительную вероятность $W(\Theta ){\textrm {d}}(\Omega )$ с обнаружением $\gamma _{2}$ под фиксированным углом $\Theta$ по отношению к $\gamma _{1}$. Вероятность задается угловой корреляцией ( теория возмущений ):

$W(\Theta )=\sum _{k}^{k_{max}}A_{kk}P_{k}cos(\Theta )$

Для $\gamma$- $\gamma$-каскад, $k$ обусловлено сохранением паритета :

$0<k<{\textrm {min}}(2I_{S},I_{i}+I'_{i})$

Где $I_{S}$ - спин промежуточного состояния и $I_{i}$ с $i=1;2$ многополярность двух переходов. Для чисто мультипольных переходов $I_{i}=I'_{i}$.

$A_{kk}$ – коэффициент анизотропии, зависящий от углового момента промежуточного состояния и мультиполярности перехода.

Радиоактивное ядро ​​встроено в материал образца и испускает два $\gamma$-кванты при распаде. За время жизни промежуточного состояния, т.е. время между $\gamma _{1}$ и $\gamma _{2}$, ядро ​​испытывает возмущение из-за сверхтонкого взаимодействия через электрическое и магнитное окружение. Это возмущение меняет угловую корреляцию на:

$W(\Theta )=\sum _{k}^{k_{max}}A_{kk}G_{kk}$

$G_{kk}$ является фактором возмущения. Благодаря электрическому и магнитному взаимодействию угловой момент промежуточного состояния $I_{i}$ испытывает крутящий момент вокруг своей оси симметрии. Квантово-механически это означает, что взаимодействие приводит к переходам между М-состояниями. Второй $\gamma$-квант ( $\gamma _{2}$) затем отправляется с промежуточного уровня. Это изменение численности населения является причиной ослабления корреляции.

Взаимодействие происходит между дипольным моментом магнитопровода ${\vec {\nu }}$ и промежуточное состояние $I_{S}$ или/и внешнее магнитное поле ${\vec {B}}$. Взаимодействие также имеет место между ядерным квадрупольным моментом и градиентом электрического поля вне ядра. $V_{zz}$.

Магнитно-дипольное взаимодействие

Для магнитно-дипольного взаимодействия частота прецессии ядерного спина вокруг оси магнитного поля ${\vec {B}}$ дается:

$\omega _{L}={\frac {g\cdot u_{N}\cdot B}{\hbar }}$

$\Delta E=\hbar \cdot \omega _{L}=-g\cdot u_{N}\cdot B$

$g$ - g-фактор Ланде и $u_{N}$ это ядерный магнетон .

С $N=M-M'$ следует:

$E_{magn}(M)-E_{magn}(M')=-(M-M')g\mu _{N}B_{z}=N\hbar \omega _{L}$

Из общей теории получаем:

$G_{k_{1}k_{2}}^{NN}={\sqrt {(2k_{1}+1)(2k_{2}+1)}}\cdot e^{-iN\omega _{L}t}\times \sum _{M}{\begin{pmatrix}I&I&k_{1}\\M'&-M&N\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&I&k_{2}\\M'&-M&N\\\end{pmatrix}}$

Для магнитного взаимодействия следует:

$G_{k_{1}k_{2}}^{NN}=e^{\left({-iN\omega _{L}t}\right)}$

Статическое электрическое квадрупольное взаимодействие

Энергию сверхтонкого электрического взаимодействия зарядового распределения остова и внеядерного статического электрического поля можно распространить до мультиполей. Монопольный член вызывает только сдвиг энергии, а дипольный член исчезает, так что первым соответствующим членом расширения является квадрупольный член:

$E_{Q}=\sum _{ij}Q_{ij}V_{ij}$ ij=1;2;3

Это можно записать как произведение квадрупольного момента $Q_{ij}$ и градиент электрического поля $V_{ij}$. Оба [тензора] имеют второй порядок. Эффект более высоких порядков слишком мал, чтобы его можно было измерить с помощью PAC.

Градиент электрического поля — это вторая производная электрического потенциала. $\Phi ({\vec {r}})$ в основе:

$V_{ij}={\frac {\partial ^{2}\Phi ({\vec {r}})}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\begin{pmatrix}V_{xx}&0&0\\0&V_{yy}&0\\0&0&V_{zz}\\\end{pmatrix}}$

$V_{ij}$ становится диагонализированным, что:

$|V_{zz}|\geq |V_{yy}|\geq |V_{xx}|$

Матрица свободна от следов в системе главных осей ( уравнение Лапласа )

$V_{xx}+V_{yy}+V_{zz}=0$

Обычно градиент электрического поля определяется с наибольшей долей $V_{zz}$ и $\eta$:

$\eta ={\frac {V_{yy}-V_{xx}}{V_{zz}}}$,         $0\leq \eta \leq 1$

В кубических кристаллах параметры оси элементарной ячейки x, y, z имеют одинаковую длину. Поэтому:

$V_{zz}=V_{yy}=V_{xx}$ и $\eta =0$

В осесимметричных системах $\eta =0$.

Для аксиально-симметричных градиентов электрического поля энергия подсостояний имеет значения:

$E_{Q}={\frac {eQV_{zz}}{4I(2I-1)}}\cdot (3m^{2}-I(I+1))$

Разность энергий между двумя подсостояниями, $M$ и $M'$, определяется:

$\Delta E_{Q}=E_{m}-E_{m'}={\frac {eQV_{zz}}{4I(2I-1)}}\cdot 3|M^{2}-M'^{2}|$

Квадрупольная частота $\omega _{Q}$ вводится.Для оценки важны формулы в цветных рамках:

$\omega _{Q}={\frac {eQV_{zz}}{4I(2I-1)\hbar }}={\frac {2\pi eQV_{zz}}{4I(2I-1)h}}={\frac {2\pi \nu _{Q}}{4I(2I-1)}}$

$\nu _{Q}={\frac {eQ}{h}}V_{zz}={\frac {4I(2I-1)\omega _{Q}}{2\pi }}$

В публикациях в основном перечисляются $\nu _{Q}$. $e$ как элементарный заряд и $h$ как постоянная Планка , хорошо известны или четко определены. Ядерный квадрупольный момент $Q$ определяется зачастую очень неточно (часто только с помощью 2-3 цифр).Потому что $\nu _{Q}$ можно определить гораздо точнее, чем $Q$, бесполезно указывать только $V_{zz}$ из-за распространения ошибок.Кроме того, $\nu _{Q}$ не зависит от спина! Это означает, что можно сравнивать измерения двух разных изотопов одного и того же элемента, например: ^{199 м} ртуть(5/2-), ^{197 м} Hg(5/2-) и ^{201 м} Hg(9/2-). Дальше, $\nu _{Q}$ может использоваться как метод отпечатков пальцев.

Тогда для разности энергий следует:

$\Delta E_{Q}=\hbar \omega _{Q}\cdot 3|m^{2}-m'^{2}|$

Если $\eta =0$, затем:

$\omega ^{n}=n\cdot \omega _{Q}^{0}$

с:

$\omega _{Q}^{0}={\textrm {min}}\left({\frac {\Delta E_{Q}}{\hbar }}\right)$

Для целочисленных вращений применяется:

$\omega _{Q}^{0}=3\cdot \omega _{Q}$ и $n=|M^{2}-M'^{2}|$

Для полуцелых вращений применяется:

$\omega _{Q}^{0}=6\cdot \omega _{Q}$ и $n={\frac {1}{2}}|M^{2}-M'^{2}|$

Коэффициент возмущения определяется как:

$G_{k_{1}k_{2}}^{NN}=\sum _{n}s_{nN}^{k_{1}k_{2}}\cos {(n\omega _{Q}^{0}t)}$

С коэффициентом вероятностей наблюдаемых частот:

$s_{nN}^{k_{1}k_{2}}={\sqrt {(2k_{1}+1)(2k_{2}+1)}}\cdot \sum _{M,M'}{\begin{pmatrix}I&I&k_{1}\\M'&-M&N\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&I&k_{2}\\M'&-M&N\\\end{pmatrix}}$

Что касается магнитно-дипольного взаимодействия, электрическое квадрупольное взаимодействие также вызывает точность угловой корреляции во времени, и это модулирует частоту квадрупольного взаимодействия. Эта частота представляет собой перекрытие различных частот перехода. $\omega _{n}$. Относительные амплитуды различных компонент зависят от ориентации градиента электрического поля относительно детекторов (оси симметрии) и параметра асимметрии $\eta$. Для зонда с разными зондовыми ядрами необходим параметр, позволяющий проводить прямое сравнение: Следовательно, константа квадрупольной связи $\nu _{Q}$ не зависит от ядерного спина ${\vec {I}}$ вводится.

Комбинированные взаимодействия

Если на радиоактивном ядре одновременно происходит магнитное и электрическое взаимодействие, как описано выше, возникают комбинированные взаимодействия. Это приводит к расщеплению соответственно наблюдаемых частот. Анализ может быть нетривиальным из-за большего количества частот, которые необходимо выделить. Тогда они зависят в каждом случае от направления электрического и магнитного полей друг к другу в кристалле. PAC — один из немногих способов определения этих направлений.

Динамические взаимодействия

Если сверхтонкое поле флуктуирует в течение жизни $\tau _{n}$ промежуточного уровня из-за перескоков зонда в другое положение решетки или из-за перескоков ближнего атома в другое положение решетки корреляция теряется. Для простого случая с неискаженной решеткой кубической симметрии при скорости скачка $\omega _{s}<0.2\cdot \nu _{Q}$ на эквивалентные места $N_{s}$, экспоненциальное затухание статики $G_{22}(t)$-условия соблюдены:

$G_{22}^{dyn}(t)=e^{-\lambda _{d}t}G_{22}(t)$            $\lambda _{d}=(N_{s}-1)\omega _{s}$

Здесь $\lambda _{d}$ — константа, которую необходимо определить, и ее не следует путать с константой распада $\lambda ={\frac {1}{\tau }}$. Для больших значений $\omega _{s}$, можно наблюдать только чистый экспоненциальный затух:

$G_{22}^{dyn}(t)=e^{-\lambda _{d}t}$

Граничный случай после Абрагама-Паунда: $\lambda _{d}$, если $\omega _{s}>3\cdot \nu _{Q}$, затем:

$\lambda _{d}\approx {\frac {2,5\nu _{Q}^{2}}{N_{s}\omega _{s}}}$

После эффектов

Схема распада ¹¹¹ После ¹¹¹ Cd, иллюстрирующий начальные вероятности занятия статического Cd ²⁺ и динамическое высокоионизованное состояние Cd ^х+ .

Ядра, которые трансмутируют заранее $\gamma$- $\gamma$-каскад обычно вызывает изменение заряда в ионных кристаллах (В ³⁺ ) на компакт-диск ²⁺ ). В результате решетка должна реагировать на эти изменения. Дефекты или соседние ионы также могут мигрировать. Аналогично, процесс высокоэнергетического перехода может вызвать эффект Оже , который может перевести ядро ​​в более высокие состояния ионизации. Тогда нормализация зарядового состояния зависит от проводимости материала. В металлах процесс протекает очень быстро. В полупроводниках и изоляторах это занимает значительно больше времени. Во всех этих процессах изменяется сверхтонкое поле. Если это изменение попадает в $\gamma$- $\gamma$-каскад, это может наблюдаться как последействие.

Количество ядер в состоянии (а) на изображении справа опустошается как за счет распада после состояния (б), так и после состояния (в):

$\mathrm {d} N_{a}=-N_{a}\left(\Gamma _{r}+{\frac {1}{\tau _{7/2}}}\right)\mathrm {d} t$

с: $\tau _{7/2}={\frac {120{\textrm {ps}}}{\ln {2}}}$

Отсюда следует экспоненциальный случай:

$N_{a}(t)=N_{a_{0}}\cdot e^{\left({-(\Gamma _{r}+{\frac {1}{\tau _{7/2}}})t}\right)}$

Для общего числа ядер в статическом состоянии (в) следует:

$N_{c}(t)=\Gamma _{r}\int \limits _{0}^{t}N_{a}(t)\mathrm {d} t=N_{0}{\frac {\Gamma _{r}\tau _{7/2}}{\Gamma _{r}\tau _{7/2}+1}}\left(1-e^{-(\Gamma _{r}+{\frac {1}{\tau _{7/2}}})t}\right)$

Начальные вероятности оккупации $\rho$ предназначены для статических и динамических сред:

$\rho _{stat}={\frac {\Gamma _{r}\tau _{7/2}}{\Gamma _{r}\tau _{7/2}+1}}$

$\rho _{dyn}={\frac {1}{\Gamma _{r}\tau _{7/2}+1}}$

Общая теория

Общий γ-γ-каскад со временем жизни $\tau _{N}$ промежуточного состояния.

В общей теории перехода $M_{i}\rightarrow M_{f}$ дано:

$W(M_{i}\rightarrow M_{f})=\left|\sum _{M}\langle M_{f}|{\mathcal {H}}_{2}|M\rangle \langle M|{\mathcal {H}}_{1}|M_{i}\rangle \right|^{2}$

$W({\vec {k}}_{1},{\vec {k}}_{2})=\sum _{M_{i},M_{f},\sigma _{1},\sigma _{2}}\left|\sum _{M}\langle M_{f}|{\mathcal {H}}_{2}|M\rangle \langle M|{\mathcal {H}}_{1}|M_{i}\rangle \right|^{2}$

$W({\vec {k}}_{1},{\vec {k}}_{2})=W(\Theta )=\sum _{k_{gerade}}^{k_{max}}A_{k}(1)A_{k}(2)P_{k}(\cos {\Theta })$

$0\leq k\leq$ Минимум $(2I,l_{1}+l_{1}',l_{2}+l_{2}')$

Углы детектора

$W(\Theta ,t)=\sum _{k=2,4}A_{kk}P_{k}(\cos {\Theta })$

$|M_{a}\rangle \rightarrow \Lambda (t)|M_{a}=\sum _{M_{b}}|M_{b}\rangle \langle M_{b}|\Lambda (t)|M_{a}\rangle$

$W({\vec {k}}_{1},{\vec {k}}_{2},t)=\sum _{M_{i},M_{f},\sigma _{1},\sigma _{2}}\left|\sum _{M_{a}}\langle M_{f}|{\mathcal {H}}_{2}\Lambda (t)|M_{a}\rangle \langle M_{a}|{\mathcal {H}}_{1}|M_{i}\rangle \right|^{2}=\langle \rho ({\vec {k}}_{2})\rangle _{t}$

$W({\vec {k}}_{1},{\vec {k}}_{2},t)=\sum _{k_{1},k_{2},N_{1},N_{2}}A_{k_{1}}(1)A_{k_{2}}(2){\frac {1}{\sqrt {(2k_{1}+1)(2k_{2}+1)}}}\times Y_{k_{1}}^{N_{1}}(\Theta _{1},\Phi _{1})\cdot Y_{k_{2}}^{N_{2}}(\Theta _{2},\Phi _{2})G_{k_{1}k_{2}}^{N_{1}N_{2}}(t)$

с:

$G_{k_{1}k_{2}}^{N_{1}N_{2}}=\sum _{M_{a},M_{b}}(-1)^{2I+M_{a}+M_{b}}{\sqrt {(2k_{1}+1)(2k_{2}+)}}\times \langle M_{b}|\Lambda (t)|M_{a}\rangle \langle M_{b}'|\Lambda (t)|M_{a}'\rangle ^{*}\times {\begin{pmatrix}I&I&k_{1}\\M_{a}'&-M_{a}&N_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I&I&k_{2}\\M_{b}'&-M_{b}&N_{2}\end{pmatrix}}$