Нормальная поверхность

В математике нормальная поверхность — это поверхность внутри триангулированного трёхмерного многообразия , которая пересекает каждый тетраэдр по нескольким компонентам, называемым нормальными дисками. Каждый нормальный диск представляет собой либо треугольник , отсекающий вершину тетраэдра, либо четырехугольник , разделяющий пары вершин. В данном тетраэдре не может быть двух четырехугольников, разделяющих разные пары вершин, поскольку такие четырехугольники пересекались бы по прямой, в результате чего поверхность была бы самопересекающейся.

Нормальная поверхность пересекает тетраэдр в треугольниках (возможно, во многих) (см. выше слева) и четырехугольниках (см. выше справа).

Двойственно, нормальную поверхность можно рассматривать как поверхность, которая пересекает каждую ручку заданной структуры ручки на 3-многообразии заданным образом, аналогично описанному выше.

Понятие нормальной поверхности можно обобщить на произвольные многогранники. Существуют также родственные понятия почти нормальных поверхностей и вращающихся нормальных поверхностей .

В почти нормальной поверхности один тетраэдр в триангуляции имеет единственный исключительный кусок. Это либо восьмиугольник , разделяющий пары вершин, либо кольцо , соединяющее два треугольника и/или четырехугольника трубкой.

Пример восьмиугольника и кольцевого пространства на почти нормальной поверхности.

Понятие нормальных поверхностей принадлежит Хельмуту Кнезеру , который использовал его в доказательстве теоремы о простом разложении трехмерных многообразий. Позже Вольфганг Хакен расширил и уточнил это понятие, создав теорию нормальных поверхностей , которая составляет основу многих алгоритмов теории трехмерных многообразий. Идея почти нормальных поверхностей принадлежит Хайаму Рубинштейну . Идея вращающейся нормальной поверхности принадлежит Биллу Тёрстону .

Regina — это программное обеспечение, которое перечисляет нормальные и почти нормальные поверхности в триангулированных трехмерных многообразиях, реализуя, помимо других функций, алгоритм распознавания трех сфер Рубинштейна.

Ссылки

• Хэтчер, Заметки по базовой топологии с тремя многообразиями , доступны в Интернете.
• Гордон, изд. Кент, Теория нормальных поверхностей , [1]
• Гемпель, 3-многообразия , Американское математическое общество, ISBN   0-8218-3695-1
• Жако, Лекции по топологии трех многообразий , Американское математическое общество, ISBN   0-8218-1693-4
• Р.Х. Бинг, Геометрическая топология трехмерных многообразий , (1983) Публикации коллоквиума Американского математического общества, том 40, Провиденс, Р.И., ISBN   0-8218-1040-5 .

Дальнейшее чтение

• Хасс, Джоэл (июль 2012 г.), Что такое почти нормальная поверхность? , arXiv : 1208.0568 , Bibcode : 2012arXiv1208.0568H
• Тиллманн, Стефан (2008), Нормальные поверхности в топологически конечных 3-многообразиях , arXiv : math/0406271 , Bibcode : 2004math......6271T