Моногенное поле

В математике моногенное поле — это поле алгебраических чисел K , для которого существует элемент a такой, что кольцо целых чисел является _OK подкольцом Z [ a ] кольца K, порожденным a . Тогда OK _[ является фактором кольца полиномов Z X ] и степени a составляют степенной интегральный базис .

В моногенном поле дискриминант поля K равен K дискриминанту минимального полинома α .

Примеры

Примеры моногенных полей включают:

• Квадратичные поля :

если $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ с $d$ целое число без квадратов , тогда $O_{K}=\mathbf {Z} [a]$ где $a=(1+{\sqrt {d}})/2$ если d ≡ 1 (mod 4) и $a={\sqrt {d}}$ если d ≡ 2 или 3 (по модулю 4).

• Циклотомные поля :

если $K=\mathbf {Q} (\zeta )$ с $\zeta$ корень из единства , то $O_{K}=\mathbf {Z} [\zeta ].$ Также максимальное вещественное подполе $\mathbf {Q} (\zeta )^{+}=\mathbf {Q} (\zeta +\zeta ^{-1})$ моногенен, с кольцом целых чисел $\mathbf {Z} [\zeta +\zeta ^{-1}]$.

Хотя все квадратичные поля моногенны, уже среди кубических полей есть много немоногенных. Первым найденным примером немоногенного числового поля является кубическое поле, порожденное корнем многочлена $X^{3}-X^{2}-2X-8$, благодаря Ричарду Дедекинду .

Ссылки

• Наркевич, Владислав (2004). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (3-е изд.). Спрингер-Верлаг . п. 64. ИСБН  3-540-21902-1 . Збл   1159.11039 .
• Гаал, Иштван (2002). Диофантовые уравнения и основы степенных интегралов . Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Verlag . ISBN  978-0-8176-4271-6 . Збл   1016.11059 .