Сложный вейвлет мексиканской шляпы

В прикладной математике комплексный вейвлет мексиканской шляпы с низким уровнем колебаний комплексный вейвлет представляет собой для непрерывного вейвлет-преобразования . Этот вейвлет сформулирован в терминах преобразования Фурье Гильберта как аналитического сигнала обычного вейвлета в мексиканской шляпе :

{\hat {\Psi }}(\omega )={\begin{cases}2{\sqrt {\frac {2}{3}}}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\omega ^{2}e^{-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}}&\omega \geq 0\\0&\omega \leq 0.\end{cases}}

Во времени этот вейвлет можно выразить через функцию ошибок :как:

\Psi (t)={\frac {2}{\sqrt {3}}}\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\left({\sqrt {\pi }}\left(1-t^{2}\right)e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}-\left({\sqrt {2}}it+{\sqrt {\pi }}\operatorname {erf} \left[{\frac {i}{\sqrt {2}}}t\right]\left(1-t^{2}\right)e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\right)\right).

Этот вейвлет имеет $O\left(|t|^{-3}\right)$ асимптотическое временное затухание в $|\Psi (t)|$ ,преобладает разрыв второй производной ${\hat {\Psi }}(\omega )$ в $\omega =0$ .