Контур Поххаммера

Контур Поххаммера обвивается по часовой стрелке вокруг одной точки, затем по часовой стрелке вокруг другой точки, затем против часовой стрелки вокруг первой точки, затем против часовой стрелки вокруг второй точки. Точное положение, кривизна и т. д. в этом случае не существенны; последовательность обмоток вокруг двух особых точек такова.

В математике контур Похгаммера , введенный Камилем Джорданом ( 1887 ). и Лео Поххаммер ( 1890 ) — контур на комплексной плоскости с двумя удаленными точками, используемый для интегрирования контуров . Если A и B — петли вокруг двух точек, обе начинаются в некоторой фиксированной точке P , то контур Поххаммера — это коммутатор ABA. ⁻¹ Б ⁻¹ , где верхний индекс -1 обозначает путь, пройденный в противоположном направлении. Если взять две точки за 0 и 1, а фиксированная базовая точка P находится на реальной оси между ними, примером может служить путь, который начинается с P , окружает точку 1 в направлении против часовой стрелки и возвращается в P , затем окружает 0. против часовой стрелки и возвращается в P , после этого обходит 1, а затем 0 по часовой стрелке, прежде чем вернуться в P . Класс контура является фактическим коммутатором , если он рассматривается в фундаментальной группе с базовой точкой P дополнения в комплексной плоскости (или сфере Римана ) из двух закольцованных точек. Когда дело доходит до принятия контурных интегралов, перемещение базовой точки от P к другому выбору Q не влияет на результат, поскольку произойдет сокращение интегралов от P к Q и ​​обратно.

Гомологи нулю, но не гомотопны нулю

Внутри дважды проколотой плоскости эта кривая гомологична нулю, но не гомотопна нулю. Число его витков относительно любой точки равно 0, несмотря на то, что в пределах дважды проколотой плоскости его нельзя сжать в одну точку.

Цикл Похгаммера гомологичен нулю: это граница зеленой области минус граница красной.

Приложения

функция Бета- задается Эйлера интегралом

$\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt$

при условии, что действительные части α и β положительны, что можно преобразовать в интеграл по контуру Похгаммера C как

$\displaystyle (1-e^{2\pi i\alpha })(1-e^{2\pi i\beta })\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.$

Контурный интеграл сходится для всех значений α и β и, таким образом, дает аналитическое продолжение бета-функции. Подобный метод можно применить к интегралу Эйлера для гипергеометрической функции, чтобы получить ее аналитическое продолжение.

Ссылки

• Джордан, К. (1887), Курс анализа, Том III , Готье-Вилларс
• Поххаммер, Л. (1890), «К теории интегралов Эйлера» , Mathematical Annals , 35 (4): 495–526, doi : 10.1007/bf02122658
• Уиттакер, ET ; Уотсон, Дж.Н. (1963), Курс современного анализа , издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-58807-2