Обобщенная относительная энтропия

Обобщенная относительная энтропия ( $\epsilon$ -относительная энтропия) — мера несходства между двумя квантовыми состояниями . Это «одноразовый» аналог квантовой относительной энтропии , имеющий многие свойства последней величины.

При изучении квантовой теории информации мы обычно предполагаем, что задачи обработки информации повторяются несколько раз независимо. Поэтому соответствующие понятия теории информации определяются в асимптотическом пределе. Квинтэссенция меры энтропии, энтропия фон Неймана , является одним из таких понятий. Напротив, изучение однократной теории квантовой информации связано с обработкой информации, когда задача выполняется только один раз. В этом сценарии возникают новые энтропийные меры, поскольку традиционные представления перестают давать точную характеристику потребностей в ресурсах. $\epsilon$ -Относительная энтропия — одна из таких особенно интересных мер.

В асимптотическом сценарии относительная энтропия выступает в качестве исходной величины для других мер, помимо того, что сама является важной мерой. Сходным образом, $\epsilon$ -Относительная энтропия действует как исходная величина для других мер в однократном сценарии.

Определение

Мотивировать определение $\epsilon$ -относительная энтропия $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )$ Рассмотрим задачу обработки информации при проверке гипотез . При проверке гипотез мы хотим разработать стратегию, позволяющую различать два оператора плотности. $\rho$ и $\sigma$ . Стратегия — это POVM с элементами $Q$ и $I-Q$ . Вероятность того, что стратегия выдаст правильное предположение на входных данных. $\rho$ дается $\operatorname {Tr} (\rho Q)$ и вероятность того, что он выдаст неправильное предположение, определяется выражением $\operatorname {Tr} (\sigma Q)$ . $\epsilon$ -относительная энтропия отражает минимальную вероятность ошибки, когда состояние $\sigma$ , учитывая, что вероятность успеха для $\rho$ по крайней мере $\epsilon$ .

Для $\epsilon \in (0,1)$ , $\epsilon$ -относительная энтропия между двумя квантовыми состояниями $\rho$ и $\sigma$ определяется как

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )=-\log {\frac {1}{\epsilon }}\min\{\langle Q,\sigma \rangle |0\leq Q\leq I{\text{ and }}\langle Q,\rho \rangle \geq \epsilon \}~.

Из определения ясно, что $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq 0$ . Это неравенство является насыщенным тогда и только тогда, когда $\rho =\sigma$ , как показано ниже .

Связь с расстоянием следа

Предположим, что расстояние следа между двумя операторами плотности $\rho$ и $\sigma$ является

||\rho -\sigma ||_{1}=\delta ~.

Для $0<\epsilon <1$ , он утверждает, что

а)

\log {\frac {\epsilon }{\epsilon -(1-\epsilon )\delta }}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\quad \leq \quad \log {\frac {\epsilon }{\epsilon -\delta }}~.

В частности, отсюда следует следующий аналог неравенства Пинскера ^[1]

б)

{\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}||\rho -\sigma ||_{1}\quad \leq \quad D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )~.

Кроме того, из этого предложения следует, что для любого $\epsilon \in (0,1)$ , $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )=0$ тогда и только тогда, когда $\rho =\sigma$ , наследуя это свойство от расстояния следа. Этот результат и его доказательство можно найти у Dupuis et al. ^[2]

Доказательство неравенства а)

Верхняя граница : расстояние трассировки можно записать как

||\rho -\sigma ||_{1}=\max _{0\leq Q\leq 1}\operatorname {Tr} (Q(\rho -\sigma ))~.

Этот максимум достигается, когда $Q$ — ортогональный проектор на положительное собственное пространство $\rho -\sigma$ . Для любого POVM элемента $Q$ у нас есть

\operatorname {Tr} (Q(\rho -\sigma ))\leq \delta

так что если $\operatorname {Tr} (Q\rho )\geq \epsilon$ , у нас есть

\operatorname {Tr} (Q\sigma )~\geq ~\operatorname {Tr} (Q\rho )-\delta ~\geq ~\epsilon -\delta ~.

Из определения $\epsilon$ -относительная энтропия, получаем

2^{-D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )}\geq {\frac {\epsilon -\delta }{\epsilon }}~.

Нижняя граница : Пусть $Q$ — ортогональная проекция на положительное собственное пространство $\rho -\sigma$ , и пусть ${\bar {Q}}$ быть следующей выпуклой комбинацией $I$ и $Q$ :

{\bar {Q}}=(\epsilon -\mu )I+(1-\epsilon +\mu )Q

где $\mu ={\frac {(1-\epsilon )\operatorname {Tr} (Q\rho )}{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~.$

Это означает

\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )

и таким образом

\operatorname {Tr} ({\bar {Q}}\rho )~=~(\epsilon -\mu )+(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )~=~\epsilon ~.

Более того,

\operatorname {Tr} ({\bar {Q}}\sigma )~=~\epsilon -\mu +(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\sigma )~.

С использованием $\mu =(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )$ , наш выбор $Q$ и, наконец, определение $\mu$ , мы можем переписать это как

\operatorname {Tr} ({\bar {Q}}\sigma )~=~\epsilon -(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\rho )+(1-\epsilon +\mu )\operatorname {Tr} (Q\sigma )

~=~\epsilon -{\frac {(1-\epsilon )\delta }{1-\operatorname {Tr} (Q\rho )}}~\leq ~\epsilon -(1-\epsilon )\delta ~.

Следовательно

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq \log {\frac {\epsilon }{\epsilon -(1-\epsilon )\delta }}~.

Доказательство неравенства б)

Чтобы вывести это неравенство типа Пинскера , заметим, что

\log {\frac {\epsilon }{\epsilon -(1-\epsilon )\delta }}~=~-\log \left(1-{\frac {(1-\epsilon )\delta }{\epsilon }}\right)~\geq ~\delta {\frac {1-\epsilon }{\epsilon }}~.

Альтернативное доказательство неравенства обработки данных

Фундаментальным свойством энтропии фон Неймана является сильная субаддитивность . Позволять $S(\sigma )$ обозначают энтропию фон Неймана квантового состояния $\sigma$ , и пусть $\rho _{ABC}$ быть квантовым состоянием в гильбертовом пространстве тензорного произведения ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}\otimes {\mathcal {H}}_{C}$ . Сильная субаддитивность утверждает, что

S(\rho _{ABC})+S(\rho _{B})\leq S(\rho _{AB})+S(\rho _{BC})

где $\rho _{AB},\rho _{BC},\rho _{B}$ относятся к приведенным матрицам плотности на пространствах, указанных нижними индексами.Переписанное в терминах взаимной информации , это неравенство имеет интуитивную интерпретацию; он утверждает, что информационное содержание в системе не может увеличиваться за счет воздействия на эту систему локальной квантовой операции . В этой форме оно более известно как неравенство обработки данных и эквивалентно монотонности относительной энтропии при квантовых операциях: ^[3]

S(\rho ||\sigma )-S({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))\geq 0

для каждой карты CPTP ${\mathcal {E}}$ , где $S(\omega ||\tau )$ обозначает относительную энтропию квантовых состояний $\omega ,\tau$ .

Легко видеть, что $\epsilon$ -Относительная энтропия также подчиняется монотонности при выполнении квантовых операций: ^[4]

D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )\geq D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )||{\mathcal {E}}(\sigma ))

,

для любой CPTP-карты ${\mathcal {E}}$ .Чтобы увидеть это, предположим, что у нас есть POVM. $(R,I-R)$ различать ${\mathcal {E}}(\rho )$ и ${\mathcal {E}}(\sigma )$ такой, что $\langle R,{\mathcal {E}}(\rho )\rangle =\langle {\mathcal {E}}^{\dagger }(R),\rho \rangle \geq \epsilon$ . Строим новый ПОВМ $({\mathcal {E}}^{\dagger }(R),I-{\mathcal {E}}^{\dagger }(R))$ различать $\rho$ и $\sigma$ . Поскольку сопряженное к любому отображению CPTP также положительное и единичное, это допустимая POVM. Обратите внимание, что $\langle R,{\mathcal {E}}(\sigma )\rangle =\langle {\mathcal {E}}^{\dagger }(R),\sigma \rangle \geq \langle Q,\sigma \rangle$ , где $(Q,I-Q)$ это POVM, который достигает $D^{\epsilon }(\rho ||\sigma )$ .Это не только интересно само по себе, но и дает нам следующий альтернативный метод доказательства неравенства обработки данных. ^[2]

По квантовому аналогу леммы Штейна ^[5]

\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}D^{\epsilon }(\rho ^{\otimes n}||\sigma ^{\otimes n})=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {-1}{n}}\log \min {\frac {1}{\epsilon }}\operatorname {Tr} (\sigma ^{\otimes n}Q)

=D(\rho ||\sigma )-\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\left(\log {\frac {1}{\epsilon }}\right)

=D(\rho ||\sigma )~,

где минимум берется за $0\leq Q\leq 1$ такой, что $\operatorname {Tr} (Q\rho ^{\otimes n})\geq \epsilon ~.$

Применение неравенства обработки данных к состояниям $\rho ^{\otimes n}$ и $\sigma ^{\otimes n}$ с картой CPTP ${\mathcal {E}}^{\otimes n}$ , мы получаем

D^{\epsilon }(\rho ^{\otimes n}||\sigma ^{\otimes n})~\geq ~D^{\epsilon }({\mathcal {E}}(\rho )^{\otimes n}||{\mathcal {E}}(\sigma )^{\otimes n})~.

Деление на $n$ с обеих сторон и приняв предел как $n\rightarrow \infty$ , мы получаем желаемый результат.

См. также

Ссылки

^ Уотрус, Дж. Теория квантовой информации, осень 2013 г. Гл. 5, стр. 194 https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/CS766/DraftChapters/5.QuantumEntropy.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Jump up to: ^а ^б Дюпюи, Ф.; Кремер, Л.; Фаист, П.; Ренес, Ж.М.; Реннер, Р. (2013). «Обобщенная энтропия». XVII Международный конгресс по математической физике . МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. стр. 134–153. arXiv : 1211.3141 . дои : 10.1142/9789814449243_0008 . ISBN 978-981-4449-23-6 . S2CID 118576547 .
^ Рускай, Мэри Бет (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор условий равенства». Журнал математической физики . 43 (9). Издательство AIP: 4358–4375. arXiv : Quant-ph/0205064 . Бибкод : 2002JMP....43.4358R . дои : 10.1063/1.1497701 . ISSN 0022-2488 . S2CID 3051292 .
^ Ван, Лигонг; Реннер, Ренато (15 мая 2012 г.). «Однократная классическая квантовая емкость и проверка гипотез». Письма о физических отзывах . 108 (20): 200501. arXiv : 1007.5456 . Бибкод : 2012PhRvL.108t0501W . doi : 10.1103/physrevlett.108.200501 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 23003132 . S2CID 3190155 .
^ Денез Петц (2008). «8». Квантовая теория информации и квантовая статистика . Теоретическая и математическая физика. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. Бибкод : 2008qitq.book.....P . дои : 10.1007/978-3-540-74636-2 . ISBN 978-3-540-74634-8 .

[1] Уотрус, Дж. Теория квантовой информации, осень 2013 г. Гл. 5, стр. 194 https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/CS766/DraftChapters/5.QuantumEntropy.pdf ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[Dupuis-2] Jump up to: ^а ^б Дюпюи, Ф.; Кремер, Л.; Фаист, П.; Ренес, Ж.М.; Реннер, Р. (2013). «Обобщенная энтропия». XVII Международный конгресс по математической физике . МИРОВАЯ НАУЧНАЯ. стр. 134–153. arXiv : 1211.3141 . дои : 10.1142/9789814449243_0008 . ISBN 978-981-4449-23-6 . S2CID 118576547 .

[3] Рускай, Мэри Бет (2002). «Неравенства для квантовой энтропии: обзор условий равенства». Журнал математической физики . 43 (9). Издательство AIP: 4358–4375. arXiv : Quant-ph/0205064 . Бибкод : 2002JMP....43.4358R . дои : 10.1063/1.1497701 . ISSN 0022-2488 . S2CID 3051292 .

[4] Ван, Лигонг; Реннер, Ренато (15 мая 2012 г.). «Однократная классическая квантовая емкость и проверка гипотез». Письма о физических отзывах . 108 (20): 200501. arXiv : 1007.5456 . Бибкод : 2012PhRvL.108t0501W . doi : 10.1103/physrevlett.108.200501 . ISSN 0031-9007 . ПМИД 23003132 . S2CID 3190155 .

[5] Денез Петц (2008). «8». Квантовая теория информации и квантовая статистика . Теоретическая и математическая физика. Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. Бибкод : 2008qitq.book.....P . дои : 10.1007/978-3-540-74636-2 . ISBN 978-3-540-74634-8 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]