Минимальная энтропия

Минимальная энтропия в теории информации — это наименьшая из энтропий семейства Реньи , соответствующая наиболее консервативному способу измерения непредсказуемости набора результатов, как отрицательный логарифм вероятности наиболее вероятного результата. Все различные энтропии Реньи равны для равномерного распределения, но измеряют непредсказуемость неоднородного распределения по-разному. Минимальная энтропия никогда не превышает обычную энтропию или энтропию Шеннона (которая измеряет среднюю непредсказуемость результатов), а она, в свою очередь, никогда не превышает энтропию Хартли или максимальную энтропию , определяемую как логарифм числа результатов с ненулевой вероятностью. .

Как и в случае с классической энтропией Шеннона и ее квантовым обобщением, энтропией фон Неймана , можно определить условную версию мин-энтропии. Условная квантовая мин-энтропия — это одноразовый или консервативный аналог условной квантовой энтропии .

Чтобы интерпретировать условную информационную меру, предположим, что Алиса и Боб должны были иметь двучастное квантовое состояние. $\rho _{AB}$. Алиса имеет доступ к системе $A$ и Боб в систему $B$. Условная энтропия измеряет среднюю неопределенность Боба относительно состояния Алисы после выборки из его собственной системы. Минимальную энтропию можно интерпретировать как расстояние состояния от максимально запутанного состояния.

Эта концепция полезна в квантовой криптографии в контексте усиления конфиденциальности (см., например, ).

Определение

Если $P=(p_{1},...,p_{n})$ является классическим конечным распределением вероятностей, его минимальная энтропия может быть определена как

$$H_{\rm {min}}({\boldsymbol {P}})=\log {\frac {1}{P_{\rm {max}}}},\qquad P_{\rm {max}}\equiv \max _{i}p_{i}.$$

Один из способов оправдать название величины — сравнить ее с более стандартным определением энтропии, которое гласит: $H({\boldsymbol {P}})=\sum _{i}p_{i}\log(1/p_{i})$и, таким образом, может быть кратко записано как математическое ожидание $\log(1/p_{i})$ над раздачей. Если вместо того, чтобы брать математическое ожидание этой величины, мы возьмем ее минимальное значение, мы получим в точности приведенное выше определение $H_{\rm {min}}({\boldsymbol {P}})$.

Определение

Естественный способ определить «минимальную энтропию» для квантовых состояний — использовать простое наблюдение о том, что квантовые состояния приводят к распределениям вероятностей при измерении в некотором базисе. Однако существует дополнительная трудность: одно квантовое состояние может привести к бесконечному множеству возможных распределений вероятностей, в зависимости от того, как оно измеряется. Тогда естественный путь, учитывая квантовое состояние $\rho$, чтобы еще определить $H_{\rm {min}}(\rho )$ как $\log(1/P_{\rm {max}})$, но на этот раз определяя $P_{\rm {max}}$ как максимально возможную вероятность, которую можно получить, измеряя $\rho$, максимизируя все возможные проективные измерения.

Формально это даст определение

$$H_{\rm {min}}(\rho )=\max _{\Pi }\log {\frac {1}{\max _{i}\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho )}}=-\max _{\Pi }\log \max _{i}\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho ),$$

где мы максимизируем набор всех проективных измерений $\Pi =(\Pi _{i})_{i}$, $\Pi _{i}$ представляют результаты измерений в формализме POVM , и $\operatorname {tr} (\Pi _{i}\rho )$ следовательно, вероятность наблюдения $i$-й результат, когда измерение $\Pi$.

Более краткий метод записи двойной максимизации состоит в том, чтобы заметить, что любой элемент любой POVM является эрмитовым оператором, таким что $0\leq \Pi \leq I$, и, таким образом, мы можем эквивалентно напрямую максимизировать их, чтобы получить

$$H_{\rm {min}}(\rho )=-\max _{0\leq \Pi \leq I}\log \operatorname {tr} (\Pi \rho ).$$

Фактически, эту максимизацию можно выполнить явно, и максимум получается, когда $\Pi$ - это проекция на (любое из) наибольшее собственное значение(я) $\rho$. Таким образом, мы получаем еще одно выражение для минимальной энтропии:

$$H_{\rm {min}}(\rho )=-\log \|\rho \|_{\rm {op}},$$

помня, что операторная норма эрмитова положительно-полуопределенного оператора равна его наибольшему собственному значению.

Условные энтропии

Позволять $\rho _{AB}$ быть двудольным оператором плотности в пространстве ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$. Минимальная энтропия $A$ обусловлено $B$ определяется как

$H_{\min }(A|B)_{\rho }\equiv -\inf _{\sigma _{B}}D_{\max }(\rho _{AB}\|I_{A}\otimes \sigma _{B})$

где нижняя грань распространяется на все операторы плотности $\sigma _{B}$ на пространстве ${\mathcal {H}}_{B}$. Мера $D_{\max }$ максимальная относительная энтропия, определяемая как

$D_{\max }(\rho \|\sigma )=\inf _{\lambda }\{\lambda :\rho \leq 2^{\lambda }\sigma \}$

Гладкая минимальная энтропия определяется через минимальную энтропию.

$H_{\min }^{\epsilon }(A|B)_{\rho }=\sup _{\rho '}H_{\min }(A|B)_{\rho '}$

где sup и inf варьируются по операторам плотности $\rho '_{AB}$ которые $\epsilon$-близко к $\rho _{AB}$. Эта мера $\epsilon$-близость определяется через очищенное расстояние

$P(\rho ,\sigma )={\sqrt {1-F(\rho ,\sigma )^{2}}}$

где $F(\rho ,\sigma )$ это мера верности .

Эти величины можно рассматривать как обобщения энтропии фон Неймана . Действительно, энтропию фон Неймана можно выразить как

$S(A|B)_{\rho }=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}H_{\min }^{\epsilon }(A^{n}|B^{n})_{\rho ^{\otimes n}}~.$

Это называется полностью квантовой асимптотической теоремой о равнораспределении. Сглаженная энтропия имеет много общих свойств с энтропией фон Неймана. Например, гладкая минимальная энтропия удовлетворяет неравенству обработки данных:

$H_{\min }^{\epsilon }(A|B)_{\rho }\geq H_{\min }^{\epsilon }(A|BC)_{\rho }~.$

сглаженной

В дальнейшем мы будем опускать индекс $\rho$ от минимальной энтропии, когда из контекста очевидно, в каком состоянии она оценивается.

Мин-энтропия как неопределенность

Предположим, у агента был доступ к квантовой системе. $B$ чье государство $\rho _{B}^{x}$ зависит от некоторой классической переменной $X$. Далее, предположим, что каждый из его элементов $x$ распределяется по некоторому распределению $P_{X}(x)$. Это можно описать следующим состоянием системы: $XB$.

$\rho _{XB}=\sum _{x}P_{X}(x)|x\rangle \langle x|\otimes \rho _{B}^{x},$

где $\{|x\rangle \}$ образуют ортонормированный базис. Нам хотелось бы знать, что агент может узнать о классической переменной $x$. Позволять $p_{g}(X|B)$ быть вероятностью того, что агент угадает $X$ при использовании оптимальной стратегии измерения

$p_{g}(X|B)=\sum _{x}P_{X}(x)tr(E_{x}\rho _{B}^{x}),$

где $E_{x}$ — это POVM, который максимизирует это выражение. Это можно показать что этот оптимум может быть выражен через минимальную энтропию как

$p_{g}(X|B)=2^{-H_{\min }(X|B)}~.$

Если государство $\rho _{XB}$ является состоянием продукта, т.е. $\rho _{XB}=\sigma _{X}\otimes \tau _{B}$ для некоторых операторов плотности $\sigma _{X}$ и $\tau _{B}$, то корреляция между системами отсутствует $X$ и $B$. В этом случае оказывается, что $2^{-H_{\min }(X|B)}=\max _{x}P_{X}(x)~.$

Минимальная энтропия как перекрытие с

Максимально запутанное состояние $|\phi ^{+}\rangle$ по двухпартийной системе ${\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$ определяется как

$|\phi ^{+}\rangle _{AB}={\frac {1}{\sqrt {d}}}\sum _{x_{A},x_{B}}|x_{A}\rangle |x_{B}\rangle$

где $\{|x_{A}\rangle \}$ и $\{|x_{B}\rangle \}$ образуют ортонормированный базис пространств $A$ и $B$ соответственно.Для двудольного квантового состояния $\rho _{AB}$, мы определяем максимальное перекрытие с максимально запутанным состоянием как

$q_{c}(A|B)=d_{A}\max _{\mathcal {E}}F\left((I_{A}\otimes {\mathcal {E}})\rho _{AB},|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|\right)^{2}$

где максимум относится ко всем операциям CPTP ${\mathcal {E}}$ и $d_{A}$ это размерность подсистемы $A$. Это мера того, насколько коррелирует состояние $\rho _{AB}$ является. Можно показать, что $q_{c}(A|B)=2^{-H_{\min }(A|B)}$. Если информация, содержащаяся в $A$ является классическим, это сводится к приведенному выше выражению для вероятности угадывания.

минимальной

Доказательство взято из статьи Кенига, Шаффнера и Реннера в 2008 году. Он включает в себя механизм полуопределенных программ . Предположим, нам дан некоторый двудольный оператор плотности $\rho _{AB}$. Из определения минимальной энтропии имеем

$H_{\min }(A|B)=-\inf _{\sigma _{B}}\inf _{\lambda }\{\lambda |\rho _{AB}\leq 2^{\lambda }(I_{A}\otimes \sigma _{B})\}~.$

Это можно переписать как

$-\log \inf _{\sigma _{B}}\operatorname {Tr} (\sigma _{B})$

при соблюдении условий

$\sigma _{B}\geq 0$

$I_{A}\otimes \sigma _{B}\geq \rho _{AB}~.$

Заметим, что нижняя грань берется по компактам и, следовательно, может быть заменена минимумом. Тогда это можно кратко выразить в виде полуопределенной программы. Рассмотрим основную проблему

${\text{min:}}\operatorname {Tr} (\sigma _{B})$

${\text{subject to: }}I_{A}\otimes \sigma _{B}\geq \rho _{AB}$

$\sigma _{B}\geq 0~.$

Эта основная проблема также может быть полностью задана матрицами $(\rho _{AB},I_{B},\operatorname {Tr} ^{*})$ где $\operatorname {Tr} ^{*}$ является сопряженным к частичному следу по $A$. Действие $\operatorname {Tr} ^{*}$ об операторах $B$ можно записать как

$\operatorname {Tr} ^{*}(X)=I_{A}\otimes X~.$

Мы можем выразить двойственную задачу как максимизацию операторов $E_{AB}$ на пространстве $AB$ как

${\text{max:}}\operatorname {Tr} (\rho _{AB}E_{AB})$

${\text{subject to: }}\operatorname {Tr} _{A}(E_{AB})=I_{B}$

$E_{AB}\geq 0~.$

Используя изоморфизм Чоя–Ямиолковского , мы можем определить канал ${\mathcal {E}}$ такой, что

$d_{A}I_{A}\otimes {\mathcal {E}}^{\dagger }(|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|)=E_{AB}$

где состояние колокола определяется в пространстве $AA'$. Это означает, что мы можем выразить целевую функцию двойственной задачи как

$\langle \rho _{AB},E_{AB}\rangle =d_{A}\langle \rho _{AB},I_{A}\otimes {\mathcal {E}}^{\dagger }(|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|)\rangle$

$=d_{A}\langle I_{A}\otimes {\mathcal {E}}(\rho _{AB}),|\phi ^{+}\rangle \langle \phi ^{+}|)\rangle$

по желанию.

Обратите внимание, что в случае, если система $A$ является частично классическим состоянием, как указано выше, тогда искомая величина сводится к

$\max P_{X}(x)\langle x|{\mathcal {E}}(\rho _{B}^{x})|x\rangle ~.$

Мы можем интерпретировать ${\mathcal {E}}$ в качестве стратегии угадывания, а затем это сводится к приведенной выше интерпретации, когда противник хочет найти строку $x$ предоставлен доступ к квантовой информации через систему $B$.

См. также

• энтропия фон Неймана
• Обобщенная относительная энтропия
• максимальная энтропия