Упругая нестабильность

Упругая неустойчивость жесткой балки, опирающейся на угловую пружину.

Упругая неустойчивость — это форма нестабильности, возникающая в упругих системах, например, потеря устойчивости балок и пластин, подвергающихся большим сжимающим нагрузкам.

Существует множество способов изучения такого рода нестабильности. Один из них – использование метода нарастающих деформаций , основанного на наложении малого возмущения на равновесное решение.

Системы с одной степенью свободы

В качестве простого примера рассмотрим жесткую балку длиной L , шарнирно закрепленную на одном конце и свободную на другом, угловая пружина к шарнирному концу которой прикреплена . Балка нагружена на свободном конце силой F , действующей в сжимающем осевом направлении балки, см. рисунок справа.

Моментное состояние равновесия

Предполагая угловое отклонение по часовой стрелке $\theta$, момент силы, действующий по часовой стрелке, становится $M_{F}=FL\sin \theta$. Уравнение моментного равновесия имеет вид

$FL\sin \theta =k_{\theta }\theta$

где $k_{\theta }$ — жесткость угловой пружины (Нм/радиан). Предполагая $\theta$ достаточно мал, реализуя разложение Тейлора синусоидальной получаем функции и сохраняя два первых члена,

$FL{\Bigg (}\theta -{\frac {1}{6}}\theta ^{3}{\Bigg )}\approx k_{\theta }\theta$

которое имеет три решения, тривиальное $\theta =0$, и

$\theta \approx \pm {\sqrt {6{\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}{FL}}{\Bigg )}}}$

которое является мнимым (т.е. не физическим) для $FL<k_{\theta }$ а реально иначе. Это означает, что при малых сжимающих силах единственное состояние равновесия определяется выражением $\theta =0$, а если сила превышает значение $k_{\theta }/L$ внезапно становится возможным другой вид деформации.

Энергетический метод

Тот же результат можно получить, рассматривая энергетические соотношения. Энергия, запасенная в угловой пружине, равна

$E_{\mathrm {spring} }=\int k_{\theta }\theta \mathrm {d} \theta ={\frac {1}{2}}k_{\theta }\theta ^{2}$

а работа, совершаемая этой силой, представляет собой просто силу, умноженную на вертикальное смещение конца балки, которое равно $L(1-\cos \theta )$. Таким образом,

$E_{\mathrm {force} }=\int {F\mathrm {d} x=FL(1-\cos \theta )}$

Условие энергетического равновесия $E_{\mathrm {spring} }=E_{\mathrm {force} }$ теперь дает $F=k_{\theta }/L$ как и раньше (кроме тривиального $\theta =0$).

Стабильность решений

Любое решение $\theta$ устойчив тогда и только тогда , когда небольшое изменение угла деформации $\Delta \theta$ приводит к моменту реакции, пытающемуся восстановить первоначальный угол деформации. Чистый момент по часовой стрелке, действующий на балку, равен

$M(\theta )=FL\sin \theta -k_{\theta }\theta$

Бесконечно малое изменение угла деформации по часовой стрелке. $\theta$ результат через мгновение

$M(\theta +\Delta \theta )=M+\Delta M=FL(\sin \theta +\Delta \theta \cos \theta )-k_{\theta }(\theta +\Delta \theta )$

который можно переписать как

$\Delta M=\Delta \theta (FL\cos \theta -k_{\theta })$

с $FL\sin \theta =k_{\theta }\theta$ из-за моментного состояния равновесия. Теперь решение $\theta$ стабильна тогда и только тогда, когда изменяется по часовой стрелке $\Delta \theta >0$ приводит к отрицательному изменению момента $\Delta M<0$ и наоборот. Таким образом, условие устойчивости становится

${\frac {\Delta M}{\Delta \theta }}={\frac {\mathrm {d} M}{\mathrm {d} \theta }}=FL\cos \theta -k_{\theta }<0$

Решение $\theta =0$ стабильна только для $FL<k_{\theta }$, что и ожидается. Расширяя косинус в уравнении, получаем приближенное условие устойчивости:

$|\theta |>{\sqrt {2{\Bigg (}1-{\frac {k_{\theta }}{FL}}{\Bigg )}}}$

для $FL>k_{\theta }$, чему удовлетворяют два других решения. Следовательно, эти решения устойчивы.

Системы с несколькими степенями свободы

Упругая неустойчивость, 2 степени свободы.

Прикрепив к исходной системе еще одну жесткую балку с помощью угловой пружины, можно получить систему с двумя степенями свободы. Предположим для простоты, что длины балок и угловых пружин равны. Условия равновесия становятся

$FL(\sin \theta _{1}+\sin \theta _{2})=k_{\theta }\theta _{1}$

$FL\sin \theta _{2}=k_{\theta }(\theta _{2}-\theta _{1})$

где $\theta _{1}$ и $\theta _{2}$ - углы двух лучей. Линеаризация, предполагая, что эти углы малы, дает

${\begin{pmatrix}FL-k_{\theta }&FL\\k_{\theta }&FL-k_{\theta }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\theta _{1}\\\theta _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

Нетривиальные решения системы получаются путем нахождения корней определителя матрицы , системы т.е.

${\frac {FL}{k_{\theta }}}={\frac {3}{2}}\mp {\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx \left\{{\begin{matrix}0.382\\2.618\end{matrix}}\right.$

Таким образом, для системы с двумя степенями свободы существуют два критических значения приложенной силы F . Они соответствуют двум различным режимам деформации, которые можно вычислить из нулевого пространства системной матрицы. Разделив уравнения на $\theta _{1}$ урожайность

${\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}{\Big |}_{\theta _{1}\neq 0}={\frac {k_{\theta }}{FL}}-1\approx \left\{{\begin{matrix}1.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 0.382\\-0.618&{\text{for }}FL/k_{\theta }\approx 2.618\end{matrix}}\right.$

Для более низкой критической силы соотношение положительное, и два луча отклоняются в одном направлении, тогда как для более высокой силы они образуют форму «банана». Эти два состояния деформации представляют потери устойчивости формы формы системы.

См. также

• коробление
• Кавитация (эластомеры)
• Стабильность Друкера

Дальнейшее чтение

• Теория упругой устойчивости , С. Тимошенко и Дж. Гир.