Дополнительные деформации

В механике твердого тела анализ линейной устойчивости упругого раствора изучается методом приращения деформаций, наложенных на конечные деформации . Метод добавочной деформации можно использовать для решения статических, квазистатический и проблемы, зависящие от времени. Управляющими уравнениями движения являются уравнения классической механики , такие как сохранение массы и баланс линейного и углового момента , которые обеспечивают равновесную конфигурацию материала. Основная соответствующая математическая основа описана в основной Раймонда Огдена книге «Нелинейные упругие деформации». и в книге Био «Механика дополнительных деформаций » который представляет собой сборник его основных статей.

Нелинейная эластичность

Кинематика и механика

Схема добавочной деформации

Позволять ${\mathcal {E}}\in \mathbb {R} ^{3}$ быть трехмерным евклидовым пространством . Позволять ${\mathcal {B}}_{0},{\mathcal {B}}_{a}\in {\mathcal {E}}$ — это две области, занятые материалом в два разных момента времени. Позволять ${\bf {\chi }}$ деформация , которая превращает ткань из ${\mathcal {B}}_{0}$, т. е. материал/эталонная конфигурация, к загруженной конфигурации ${\mathcal {B}}_{a}$, то есть текущая конфигурация . Позволять $\chi$ быть $C^{1}$-диффеоморфизм от ${\mathcal {B}}_{0}$ к ${\mathcal {B}}_{a}$, с ${\bf {x}}={\bf {\chi }}({\bf {X}})$ текущий вектор положения, заданный как функция положения материала ${\bf {X}}$. Градиент деформации дается $${\bf {F}}={\rm {Grad}}\,{\bf {x}}={\frac {\partial {\bf {\chi }}({\bf {X)}}}{\partial {\bf {X}}}}.$$

Рассматривая гиперупругий материал с плотностью энергии упругой деформации $W({\bf {F}})$, тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа ${\bf {S}}$ дается ${\bf {S}}={\frac {\partial W}{\partial \,{\bf {F}}}}$.

Для квазистатической задачи без массовых сил уравнение равновесия имеет вид

${\begin{aligned}{\rm {Div}}\,{\bf {S}}&=0&&\qquad {\text{Equilibrium}},\\[3pt]\end{aligned}}$

где ${\rm {Div}}$ это расхождение относительно материальных координат.

Если материал несжимаем, т.е. объем каждой подобласти не меняется при деформации, множитель Лагранжа обычно вводится для обеспечения соблюдения внутреннего изохорного ограничения $\det {\bf {F}}=1$. Таким образом, выражение тензора напряжений Пиолы принимает вид

${\begin{aligned}{\bf {S}}&={\frac {\partial W}{\partial {\bf {F}}}}-p{\bf {F}}^{-1}&&\qquad {\text{Definition of the stress}}.\\\end{aligned}}$

Граничные условия

Позволять $\partial {\mathcal {B}}_{0}$ быть границей ${\mathcal {B}}_{0}$, эталонная конфигурация и $\partial {\mathcal {B}}_{a}$, граница ${\mathcal {B}}_{a}$, текущая конфигурация. Один определяет подмножество $\Gamma _{D}$ из $\partial {\mathcal {B}}_{0}$ к которым применяются условия Дирихле, а условия Неймана выполняются $\Gamma _{N}$, такой, что $\partial {\mathcal {B}}_{0}=\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$. Если ${\bf {u}}_{0}^{*}$ вектор смещения, который будет назначен на участке $\Gamma _{D}$ и ${\bf {t}}_{0}^{*}$ вектор тяги, который будет присвоен участку $\Gamma _{N}$граничные условия можно записать в смешанной форме, например

${\begin{aligned}{\bf {u}}({\bf {{X})}}&={\bf {u}}_{0}^{*}&&\qquad {\rm {on}}\,\Gamma _{D},\\[3pt]{\bf {S}}^{\rm {T}}\cdot {\bf {N}}&={\bf {t}}_{0}^{*}&&\qquad {\rm {on}}\,\Gamma _{N},\\[3pt]\end{aligned}}$

где ${\bf {u}}={\bf {x}}-{\bf {X}}=\chi ({\bf {X}})-{\bf {X}}$ - смещение и вектор ${\bf {N}}$ является ли единица внешне нормальной для $\partial {\mathcal {B}}_{0}$.

Базовое решение

Определенная задача называется краевой задачей ( БВП ). Следовательно, пусть ${\bf {x}}^{0}=\chi ^{0}({\bf {X}})$ быть решением БВП . С $W$ зависит нелинейно по градиенту деформации это решение, как правило, не является единственным и зависит от геометрических и материальных параметров задачи. Таким образом, необходимо использовать метод приращения деформации, чтобы подчеркнуть существование соседнего решения для критического значения безразмерного параметра, называемого управляющим параметром. $\gamma$ который «контролирует» возникновение нестабильности. Это означает, что при увеличении значения этого параметра в определенный момент появляются новые решения. Следовательно, выбранное базовое решение уже не является устойчивым, а становится неустойчивым. Физическим способом в определенный момент времени запасенная энергия, например интеграл плотности $W$ по всей области область базового решения больше, чем область новых решений. Чтобы восстановить равновесие, конфигурация материала переходит в другую конфигурацию, имеющую меньшую энергию.

Метод дополнительных деформаций, наложенных на конечные деформации

Чтобы улучшить этот метод, необходимо наложить небольшое смещение $\delta {\bf {x}}$ о базовом решении конечной деформации ${\bf {x}}^{0}$. Так что:

${\bar {\bf {x}}}={\bf {x}}^{0}+\delta {\bf {x}}={\bf {x}}^{0}+\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$,

где ${\bar {\bf {x}}}$ – возмущенное положение и $\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$ отображает базовый вектор положения ${\bf {x}}^{0}$ в возмущенной конфигурации $\delta {\mathcal {B}}_{a}$.

Далее инкрементальные переменные обозначаются как $\delta (\bullet )$, а возмущенные обозначены ${\bar {\bullet }}$.

Градиент деформации

Возмущенный градиент деформации определяется выражением:

${\bar {\bf {F}}}={\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}}=(\mathbf {I} +\mathbf {\Gamma } ){\bf {F}}^{0}$,

где $\mathbf {\Gamma } ={\rm {grad}}\,\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})$, где ${\rm {grad}}$ — оператор градиента относительно текущей конфигурации.

Стрессы

Возмущенное напряжение Пиолы определяется выражением:

${\bar {\bf {S}}}={\bf {S}}^{0}+\delta {\bf {S}}={\bf {S}}^{0}+{\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}:\delta {\bf {F}}$

где $:$ обозначает сжатие между двумя тензорами, тензором четвертого порядка ${\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}={\mathcal {A}}^{1}$ и тензор второго порядка $\delta {\bf {F}}$. С ${\bf {S}}$ зависит от ${\bf {F}}$ через $W$, его выражение можно переписать, подчеркнув эту зависимость, например:

${\bar {\bf {S}}}={\frac {\partial W}{\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}+{\frac {\partial W}{\partial {\bf {F}}\partial {\bf {F}}}}{\bigg |}_{{\bf {F}}^{0}}:\delta {\bf {F}}.$

Если материал несжимаем , то получим

$\delta {\bf {S}}={\frac {\partial {\bf {S}}^{0}}{\partial {\bf {F}}}}\delta {\bf {F}}={\mathcal {A}}^{1}\delta {\bf {F}}+p({\bf {F}}^{0})^{-1}\delta {\bf {F}}({\bf {F}}^{0})^{-1}-\delta p\,({\bf {F}}^{0})^{-1},$

где $\delta p$ это приращение в $p$ и ${\mathcal {A}}^{1}$ называется упругими модулями, связанными с парами $({\bf {S}},{\bf {F}})$.

Полезно вывести воздействие возмущенного напряжения Пиолы, которое можно определить как

$\delta {\bf {S}}_{0}={\bf {F}}^{0}\,\delta {\bf {S}}={\mathcal {A}}_{0}^{1}\Gamma +p\Gamma -\delta p\,{\rm {I}},$

где ${\mathcal {A}}_{0}^{1}$ также известен как тензор мгновенных модулей , компонентами которого являются:

$({\mathcal {A}}_{0}^{1})_{ijhk}={\bf {F}}_{i\gamma }^{0}\,{\bf {F}}_{h\beta }^{0}\,{\mathcal {A}}_{\gamma j\beta k}^{1}$.

Дополнительные управляющие уравнения

Разлагая уравнение равновесия вокруг основного решения, получаем

${\rm {Div}}({\bar {\bf {S}}})={\rm {Div}}({\bf {S}}^{0}+\delta {\bf {S}})={\rm {Div}}({\bf {S}}^{0})+\,{\rm {Div}}(\delta {\bf {S}})=0.$

С ${\bf {S}}^{0}$ является решением уравнения нулевого порядка, инкрементное уравнение можно переписать как

${\rm {div}}(\delta {\bf {S}}_{0})=0,$

где ${\rm {div}}$ – оператор дивергенции относительно фактической конфигурации.

Ограничение возрастающей несжимаемости гласит:

$\det({\bf {F}}^{0}+\delta {\bf {F}})=1.$

Разлагая это уравнение вокруг основного решения, как и раньше, получаем

${\rm {tr}}(\mathbf {\Gamma } )=0.$

Дополнительные граничные условия

Позволять ${\overline {\delta {\bf {u}}}}$ и ${\overline {\delta {\bf {t}}}}$ быть предписанным приращением ${\bf {u}}_{0}^{*}$ и ${\bf {t}}_{0}^{*}$ соответственно. Следовательно, возмущенные граничные условия имеют вид

${\begin{aligned}\delta {\bf {u}}({\bf {x}})&={\overline {\delta {\bf {u}}}}&&\qquad {\bf {x}}\in {\Gamma _{D}}\\[3pt]\delta {\bf {S}}_{0}^{\rm {T}}\cdot {\bf {n}}&={\overline {\delta {\bf {t}}}}&&\qquad {\bf {x}}\in {\Gamma _{N}},\\[3pt]\end{aligned}}$

где $\delta {\bf {u}}=\chi ^{1}({\bf {x}}^{0})-{\bf {x}}$ - это дополнительное смещение и ${\Gamma _{D}}\cup {\Gamma _{N}}={\partial \Omega }$.

Решение дополнительной проблемы

Инкрементные уравнения

${\rm {div}}(\delta {\bf {S}}_{0})=0\qquad {\hbox{for compressible material}}$

${\begin{aligned}{\begin{cases}{\rm {div}}(\delta {\bf {S}}_{0})&=0\\{\rm {tr}}(\mathbf {\Gamma } )&=0\end{cases}}\qquad {\hbox{for incompressible material}}\end{aligned}}$

представляют дополнительную краевую задачу ( BVP ) и определяют систему уравнений в частных производных ( PDE ). Неизвестные задачи зависят от рассматриваемого случая. Для первого случая, такого как сжимаемый случай, есть три неизвестных, таких как компоненты дополнительных деформаций. $\delta {u}_{1}({\bf {x}}),\delta {u}_{2}({\bf {x}}),\delta {u}_{3}({\bf {x}})$, связанный с возмущенной деформацией этим соотношением $\chi ^{1}({\bf {x}})=\delta {u}_{1}({\bf {x}}){\bf {e}}_{1}+\delta {u}_{2}({\bf {x}}){\bf {e}}_{2}+\delta {u}_{3}({\bf {x}}){\bf {e}}_{3}$. Вместо этого в последнем случае необходимо учитывать также приращение $\delta p$ множителя Лагранжа $p$, введенный для наложения изохорного ограничения.

Основная трудность решения этой проблемы состоит в том, чтобы преобразовать ее в более подходящую форму для реализации эффективной и надежной процедуры численного решения. В этой области используется формализм Стро. Первоначально он был разработан Стро для стационарной упругой задачи и позволяет набор из четырех УЧП преобразовать с соответствующими граничными условиями в набор ОДУ первого порядка с начальными условиями. Число уравнений зависит от размерности пространства, в котором ставится задача. Для этого необходимо применить разделение переменных и предположить периодичность в заданном направлении в зависимости от рассматриваемой ситуации. В частных случаях систему можно переписать в компактном виде, используя формализм Стро. Действительно, форма системы выглядит так:

${\frac {d}{d\,{\rm {x}}}}{\eta }=\mathbf {G} \,\eta ,$

где $\eta$ вектор, содержащий все неизвестные задачи, ${\rm {x}}$ — единственная переменная, от которой зависит переписанная задача, а матрица ${\bf {G}}$ представляет собой так называемую матрицу Стро и имеет следующий вид

${\bf {G}}={{\begin{bmatrix}{\bf {G}}_{1}&{\bf {G}}_{2}\\{\bf {G}}_{3}&{\bf {G}}_{4}\end{bmatrix}},}$

где каждый блок представляет собой матрицу, а ее размерность зависит от размерности задачи. Более того, важнейшим свойством этого подхода является то, что ${\bf {G}}_{4}=({\bf {G}}_{1})^{*}$, то есть ${\bf {G}}_{4}$ является эрмитовой матрицей ${\bf {G}}_{1}$.

Вывод и замечание

Результат анализа линейной устойчивости.

Формализм Стро обеспечивает оптимальную форму для решения большого количества упругих задач. Оптимальность означает, что можно построить эффективную численную процедуру для решения дополнительной задачи. Решая инкрементную краевую задачу, находим соотношения между материальными и геометрическими параметрами задачи и модами возмущения, по которым волна распространяется в материале, т. е. тем, что обозначает неустойчивость. Все зависит от $\gamma$, выбранный параметр обозначен как контрольный.

Согласно этому анализу на графике режима возмущения в зависимости от параметра управления минимальное значение режима возмущения представляет собой первый режим, при котором можно увидеть начало нестабильности. Например, на картинке первое значение режима $kz$ нестабильность возникает вокруг $0.3$ поскольку тривиальное решение $\gamma =0$ и $kz=0$ не нужно рассматривать.

См. также

• Деформация (механика)
• Упругая нестабильность
• Механика сплошной среды