Перифокальная система координат

Перифокальная координат ( PQW ) система является системой отсчета для орбиты . Центр кадра находится в фокусе орбиты, т.е. небесном теле, вокруг которого центрирована орбита. Единичные векторы $\mathbf {\hat {p}}$ и $\mathbf {\hat {q}}$ лежат в плоскости орбиты. $\mathbf {\hat {p}}$ направлена к перицентру орбиты и $\mathbf {\hat {q}}$ есть настоящая аномалия ( $\theta$ ) на 90 градусов за перицентром. Третий единичный вектор $\mathbf {\hat {w}}$ - вектор углового момента , направленный ортогонально плоскости орбиты так, что: ^[1]^[2] $\mathbf {\hat {w}} =\mathbf {\hat {p}} \times \mathbf {\hat {q}}$

И, поскольку $\mathbf {\hat {w}}$ - единичный вектор в направлении вектора углового момента, его также можно выразить как: $\mathbf {\hat {w}} ={\frac {\mathbf {h} }{\|\mathbf {h} \|}}$ где h – удельный относительный момент импульса.

Векторы положения и скорости могут быть определены для любого положения орбиты. Вектор положения r можно выразить как: $\mathbf {r} =r\cos \theta \mathbf {\hat {p}} +r\sin \theta \mathbf {\hat {q}}$ где $\theta$ — истинная аномалия и радиус $r=\|\mathbf {r} \|$ может быть рассчитано из уравнения орбиты .

Вектор скорости v находится путем взятия производной по времени вектора положения: $\mathbf {v} =\mathbf {\dot {r}} =({\dot {r}}\cos \theta -r{\dot {\theta }}\sin \theta )\mathbf {\hat {p}} +({\dot {r}}\sin \theta +r{\dot {\theta }}\cos \theta )\mathbf {\hat {q}}$

Вывод из уравнения орбиты можно сделать, чтобы показать, что: ${\dot {r}}={\frac {\mu }{h}}e\sin \theta$ где $\mu$ – гравитационный параметр фокуса, h – удельный относительный момент импульса орбитального тела, e – эксцентриситет орбиты, $\theta$ это настоящая аномалия. ${\dot {r}}$ - радиальная составляющая вектора скорости (направленная внутрь, к фокусу) и $r{\dot {\theta }}$ – тангенциальная составляющая вектора скорости. Подставив уравнения для ${\dot {r}}$ и $r{\dot {\theta }}$ в уравнение вектора скорости и, упрощая, окончательная форма уравнения вектора скорости получается как: ^[3] $\mathbf {v} ={\frac {\mu }{h}}\left[-\sin \theta \mathbf {\hat {p}} +(e+\cos \theta )\mathbf {\hat {q}} \right]$

Преобразование между системами координат

Перифокальную систему координат также можно определить с помощью параметров орбиты: наклон ( i ), прямое восхождение восходящего узла ( $\Omega$ ) и аргумент периапсиса ( $\omega$ ). Следующие уравнения преобразуют перифокальные координаты в экваториальные координаты и наоборот. ^[4]

Перифокально экваториально

${\begin{bmatrix}x_{\text{equatorial}}\\y_{\text{equatorial}}\\z_{\text{equatorial}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \Omega \cos \omega -\sin \Omega \cos i\sin \omega &-\cos \Omega \sin \omega -\sin \Omega \cos i\cos \omega &\sin \Omega \sin i\\\sin \Omega \cos \omega +\cos \Omega \cos i\sin \omega &-\sin \Omega \sin \omega +\cos \Omega \cos i\cos \omega &-\cos \Omega \sin i\\\sin i\sin \omega &\sin i\cos \omega &\cos i\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\text{perifocal}}\\y_{\text{perifocal}}\\z_{\text{perifocal}}\\\end{bmatrix}}$

В большинстве случаев $z_{\text{perifocal}}=0$ .

Экваториально-перифокально

${\begin{bmatrix}x_{\text{perifocal}}\\y_{\text{perifocal}}\\z_{\text{perifocal}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \Omega \cos \omega -\sin \Omega \cos i\sin \omega &\sin \Omega \cos \omega +\cos \Omega \cos i\sin \omega &\sin i\sin \omega \\-\cos \Omega \sin \omega -\sin \Omega \cos i\cos \omega &-\sin \Omega \sin \omega +\cos \Omega \cos i\cos \omega &\sin i\cos \omega \\\sin \Omega \sin i&-\cos \Omega \sin i&\cos i\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{\text{equatorial}}\\y_{\text{equatorial}}\\z_{\text{equatorial}}\\\end{bmatrix}}$

Приложения

Перифокальные системы отсчета чаще всего используются с эллиптическими орбитами по той причине, что $\mathbf {\hat {p}}$ координата должна быть совмещена с вектором эксцентриситета . Круговые орбиты , не имеющие эксцентриситета, не дают средств для ориентации системы координат относительно фокуса. ^[5]

Перифокальную систему координат можно также использовать в качестве инерциальной системы отсчета , поскольку оси не вращаются относительно неподвижных звезд. Это позволяет рассчитать инерцию любых орбитальных тел в этой системе отсчета. Это полезно при попытке решить такие задачи, как задача двух тел . ^[6]

Ссылки

^ 2011 Математическая клиника. (2011). Оптимальное предотвращение столкновений действующих космических аппаратов в режиме, близком к реальному. Денвер, Колорадо: Университет Колорадо, Денвер.
^ Зеефельдер, В. (2002). Лунные переходные орбиты с использованием солнечных возмущений и баллистического захвата. Мюнхен, Германия. п. 12
^ Кертис, HD (2005). Орбитальная механика для студентов-инженеров . Берлингтон, Массачусетс: Эльзевир Баттерсорт-Хайнеманн. стр. 76–77
^ Кертис, HD (2005). Орбитальная механика для студентов-инженеров . Берлингтон, Массачусетс: Эльзевир Баттерсорт-Хайнеманн. стр. 174
^ Карр, CL, и Фриман, LM (1999). Промышленное применение генетических алгоритмов. Дэнверс, Массачусетс. п. 142
^ Валладо, Д.А. (2001). Основы астродинамики и приложения. Эльс-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. стр. 161–162

[1] 2011 Математическая клиника. (2011). Оптимальное предотвращение столкновений действующих космических аппаратов в режиме, близком к реальному. Денвер, Колорадо: Университет Колорадо, Денвер.

[2] Зеефельдер, В. (2002). Лунные переходные орбиты с использованием солнечных возмущений и баллистического захвата. Мюнхен, Германия. п. 12

[3] Кертис, HD (2005). Орбитальная механика для студентов-инженеров . Берлингтон, Массачусетс: Эльзевир Баттерсорт-Хайнеманн. стр. 76–77

[4] Кертис, HD (2005). Орбитальная механика для студентов-инженеров . Берлингтон, Массачусетс: Эльзевир Баттерсорт-Хайнеманн. стр. 174

[5] Карр, CL, и Фриман, LM (1999). Промышленное применение генетических алгоритмов. Дэнверс, Массачусетс. п. 142

[6] Валладо, Д.А. (2001). Основы астродинамики и приложения. Эльс-Сегундо, Калифорния: Microcosm Press. стр. 161–162

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]