Геодезическое бикомбирование

В метрической геометрии геодезическое бикомбинирование выделяет класс геодезических метрического пространства . Изучение метрических пространств с выдающимися геодезическими восходит к работам математика Герберта Буземана . Условие называть совокупность путей метрического пространства бикомбированием принадлежит Уильяму Тёрстону . Наложив слабое условие глобальной неположительной кривизны на геодезическое бикомбинирование, некоторые результаты из теории пространств CAT (0) и теории банаховых пространств могут быть восстановлены в более общей ситуации.

Определение

Позволять $(X,d)$ быть метрическим пространством. Карта $\sigma \colon X\times X\times [0,1]\to X$ является геодезическим бикомбинированием, если для всех точек $x,y\in X$ карта $\sigma _{xy}(\cdot ):=\sigma (x,y,\cdot )$ представляет собой метрическую геодезическую единицу скорости из $x$ к $y$, то есть, $\sigma _{xy}(0)=x$, $\sigma _{xy}(1)=y$ и $d(\sigma _{xy}(s),\sigma _{xy}(t))=\vert s-t\vert d(x,y)$ для всех действительных чисел $s,t\in [0,1]$.

Различные классы геодезических бикомбингов

Геодезическое бикомбирование $\sigma \colon X\times X\times [0,1]\to X$ является:

• обратимый, если $$\sigma _{xy}(t)=\sigma _{yx}(1-t)$$ для всех $x,y\in X$ и $t\in [0,1]$.
• последовательно, если $$\sigma _{xy}((1-\lambda )s+\lambda t)=\sigma _{pq}(\lambda )$$ в любое время $x,y\in X,0\leq s\leq t\leq 1,p:=\sigma _{xy}(s),q:=\sigma _{xy}(t),$и $\lambda \in [0,1]$.

• конический, если $$d(\sigma _{xy}(t),\sigma _{x^{\prime }y^{\prime }}(t))\leq (1-t)d(x,x^{\prime })+td(y,y^{\prime })$$ для всех $x,x^{\prime },y,y^{\prime }\in X$ и $t\in [0,1]$.
• выпуклый, если $$t\mapsto d(\sigma _{xy}(t),\sigma _{x^{\prime }y^{\prime }}(t))$$ является выпуклой функцией на $[0,1]$ для всех $x,x^{\prime },y,y^{\prime }\in X$.

Примеры

Примеры метрических пространств с коническим геодезическим бикомбированием включают:

• Банаховы пространства.
• CAT(0) пространства.
• инъективные метрические пространства .
• пространства $(P_{1}(X),W_{1}),$ где $W_{1}$ – первое расстояние Вассерштейна .
• любая ультрапредельная или 1-липшицева ретракция вышеизложенного.

Характеристики

• Любое последовательное коническое геодезическое бикомбинирование является выпуклым.
• Любое выпуклое геодезическое бикомбирование является коническим, но обратное импликация, вообще говоря, не выполняется.
• Всякое собственное метрическое пространство с коническим геодезическим бигребешением допускает выпуклое геодезическое бигребешение.
• Каждое полное метрическое пространство с коническим геодезическим бикомбомбированием допускает обратимое коническое геодезическое бикомбирование.