Поризм

Поризм - это математическое предложение или следствие . Он использовался для обозначения прямых последствий доказательства , аналогичного тому, как следствие относится к прямым следствию теоремы . В современном использовании это отношения, которые сохраняются для бесконечного диапазона значений, но только в том случае, если предполагается определенное состояние, такое как поризм Штейнера . ^{[ 1 ]} Термин происходит из трех книг Евклида , которые были потеряны. Предложение, возможно, не было доказано, поэтому поризм не может быть теоремой или правдой.

Происхождение

Книга, в которой рассказывается о Porisms, сначала - Евклида поризма это . Что известно об этом, так это в которая коллекции Александрии , упоминает об этом вместе с другими геометрическими трактатами и дает несколько лемм, необходимые для его понимания. ^{[ 2 ]} Паппус утверждает:

Поризма всех классов не являются ни теоремами, ни проблемами, но занимают позицию, промежуточное между ними, так что их вычисления могут быть заявлены либо в качестве теоремы, ни проблем, и, следовательно, некоторые геометры считают, что это теоремы, а другие - это проблемы, проблемы, проблемы, проблемы, и это проблемы, проблемы, и это проблемы, проблемы, и это проблемы. управляется исключительно формой изложения. Но из определений ясно, что старые геометры лучше понимали разницу между тремя классами. Старшие геометровые теоремы рассматривали теорему как направленную на то, чтобы доказать, что предлагается, проблема, направленная на создание того, что предлагается, и, наконец, поризм, направленный на обнаружение того, что предлагается ( εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου ). ^{[ 2 ]}

Паппус сказал, что последнее определение было изменено определенными более поздними геометрами, которые определили поризм как случайную характеристику как τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( на LeEpon Gypothesei topikoû theōmatos ), который не совпадает в локусе ) Гипотеза. Проклюс отметил, что слово «Поризм» использовался в двух смыслах: в одном смысле - это «следствие», в результате чего не было, как следовало от теоремы. В другом смысле он ничего не добавил в определение «старших геометров», за исключением того, что выяснение центра круга и обнаружение наибольшей общей меры являются поризмами. ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]}

Паппус на поризме Евклида

Евклида Паппус отклонил определение поризма . Поризм, выраженный на современном языке, утверждает, что с учетом четырех прямых линий, из которых три поворачиваются вокруг точек, в которых они соответствуют четвертую, если две точки пересечения этих линий находятся на фиксированной прямой линии, оставшаяся точка Перекресток также будет лежать на другой прямой линии. Общее определение относится к любому числу, n прямых линий, из которых n может повернуть примерно столько же точек, фиксированных на ( n + 1) th. Эти n прямых линий перерезали два и два в 1 ⁄ 2 N ( n - 1) точки, 1 ⁄ 2 n ( n - 1) является треугольным числом, чья сторона n - 1. Если они сделаны, чтобы повернуть на n фиксированные точки, чтобы любой n - 1 их 1 ⁄ 2 N ( N - 1) Точки пересечения, выбранные с учетом определенного ограничения, лежат на n - 1, учитывая фиксированные прямые линии, затем каждая из оставшихся точек пересечения, 1 ⁄ 2 N ( n - 1) ( n - 2) в числе описывает прямую линию. ^{[ 2 ]}

Выше приведенное выше: если: если около двух фиксированных точек, P и Q, одна из них делает два прямых линии встречи на данной прямой линии, L, и если один из них отрезает сегмент, AM, из фиксированной прямой линии , AX, заданный в положении, еще одна фиксированная прямая линия, и точка B, установленная на ней Ам. Леммы, которые Паппус дает в связи с поризмами:

Фундаментальная теорема о том, что скрещенное или ангармоническое соотношение карандаша из четырех прямых линий, собравшихся в точке, является постоянным для всех попереков;
доказательство гармонических свойств полного четырехугольника;
Теорема, которая, если шесть вершин шестиугольника лежат три и три на двух прямых линиях, три точки зала противоположных сторон лежат на прямой линии. ^{[ 2 ]}

Более поздний анализ

Роберт Симсон объяснил единственные три предложения, которые Паппус показывает с любой полнотой, которая была опубликована в философских сделках в 1723 году. Позже он исследовал предмет поризма, как правило, в работе под названием De porismatibus traclatus; Quo Dectrinam porisrnatum satis explicatam, et в Posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor и опубликован после его смерти в томе, Roberti Simson Opera Quaedam reliqua (Glasgow, 1776). ^{[ 4 ]}

Трактат Симсона, De Porismatibus , начинается с определений теоремы, проблемы, датума, поризма и локуса. Саймон написал, что определение Паппуса слишком общее, и что он заменил это как:

Porismo - это предложение продемонстрировать определенное или более датированное, или которому они или к которому они являются неестественными, даже не даны, но вещам, которые были присвоены одинаковой причиной, чтобы показать, чтобы показать общую привязанность, описанную. Поризма также в форме проблемы может быть сказано, если они могут быть продемонстрированы. ^{[ нужно разъяснения ]}

Симсон сказал, что локус - это вид поризма. Затем следует латинский перевод заметки Паппуса на поризмах, а также предложения, которые образуют основную часть трактата. ^{[ 4 ]}

Джона Плейфэра Мемуары ( Trans. Roy. Soc. Edin. , 1794, Vol. III.), Своего рода продолжение трактата Симсона, исследовали вероятное происхождение поризма или шаги, которые заставили древних геометрам открыть их. Playfair отметил, что тщательное исследование всех возможных конкретных случаев предложения покажет, что

При определенных условиях проблема становится невозможной;
При определенных других условиях неопределенные или способные к бесконечному количеству решений.

Эти случаи могли быть определены отдельно, были промежуточными теоремами и проблемами, и были названы «поризмами». Playfair определил поризм как «[A] предложение, подтверждающее возможность поиска таких условий, которые сделают определенную проблему неопределенной или способной к бесчисленным решениям». ^{[ 4 ]}

Хотя определение поризма Playfair, по -видимому, наиболее предпочтительнее в Англии, мнение Симсона было наиболее общепринято за границей и поддерживала Мишеля Газлса . Однако в Liouville журнале Journal De Mathematiques Pures et Appliquées (Vol. XX., Июль 1855 г.), P. Breton опубликовал Recherches Nouvelles Sur Les Porismes d'Euclide , в котором он дал новый перевод текста Pappus, и и и и Стремился основывать представление о природе поризма, который более тесно связан с определением Паппуса. Это было последовало в том же журнале и в науке о Лос -Анджелесе из -за противоречия между Бретоном и Адж Винсентом, которые оспаривали интерпретацию, данную бывшим текстом Паппуса, и объявил себя в пользу идеи Франса Ван Шутен , выдвинутого в его математике Упражнения (1657). Согласно Шутен, если различные отношения между прямыми линиями на рисунке записаны в форме уравнений или пропорций, то сочетание этих уравнений всеми возможными способами, и из новых уравнений, полученных из них, приводит к обнаружению неисчислимого Новые свойства фигуры. ^{[ 4 ]}

Дискуссии между Бретоном и Винсентом, с которыми присоединился К. Хаусель, не продвигали работу по восстановлению поризма Евклида , которые остались для жених. Его работа ( Les Trois Livres de Porismes d'Euclide , Paris, 1860) в полной мере использует все материалы, найденные в Pappus. ^{[ 4 ]}

Интересная гипотеза о поризмах была выдвинута HG Zeuthen ( Die Lehre von gen Kegelschnitten im altertum , 1886, ch. Viii.). Наблюдал Зутен, например, по-перехват по-прежнему верен, если две фиксированные точки являются точками на конике, а прямые линии, проведенные через них, пересекаются по конике, а не на фиксированной прямой линии. Он предположил, что поризма были побочным продуктом полностью развитой проективной геометрии коники. ^{[ 4 ]}

Смотрите также

Примечания

^ Eves, Говард В. (1995). Геометрия колледжа . п. 138. ISBN 0867204753 .
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Хит 1911 , с. 102
^ Proclus , ed. Фридлейн, с. 301
^ Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон Хит 1911 , с. 103

Ссылки

Александр Джонс (1986) Книга 7 Коллекции , часть 1: Введение, текст, перевод ISBN 0-387-96257-3 , часть 2: Комментарий, индекс, рисунки ISBN 3-540-96257-3 , Springr-Publiser .
JL Heiberg -Hitterar Гисторические исследования ценная глава о приризмах (с филологической точки зрения). по Евклиду (Leipzig, 1882) . Включена
Август Рихтер. Отредактированные поризма Симсону (Elbing, 1837)
М. Кантор , «о поризмах Евклида и их дивинаторов», в Schlomilch Zeitsch 's . F. (1857), и литературетунг (1861), с. 3 поящного
Th .
Джон Дж. Милн (1911). Элементарный трактат о геометрии кросс-ратио с историческими примечаниями , стр. 115, издательство Кембриджского университета .
Фр. БУХ-БИНДЕР , Евклидс Порисмен и данные ( Программа KL. Государственная школа Porta , 1866).

Атрибуция:

Эта статья включает в себя текст из публикации, который сейчас в общественном доступе : Хит, Томас Литтл (1911). « Поризм ». В Чисхолме, Хью (ред.). Encyclopædia Britannica . Тол. 24 (11 -е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 102–103.

[1] Eves, Говард В. (1995). Геометрия колледжа . п. 138. ISBN 0867204753 .

[FOOTNOTEHeath1911102-2] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и Хит 1911 , с. 102

[3] Proclus , ed. Фридлейн, с. 301

[FOOTNOTEHeath1911103-4] Jump up to: ^а ^{беременный} ^в ^{дюймовый} ^и ^фон Хит 1911 , с. 103

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]