Формула произведения Лжи

В математике формула произведения Ли , названная в честь Софуса Ли (1875), но также широко называемая формулой произведения Троттера , названный в честь Хейла Троттера , утверждает, что для произвольных размера m × m действительных или комплексных матриц A и B , $$e^{A+B}=\lim _{n\rightarrow \infty }(e^{A/n}e^{B/n})^{n},$$ где е ^А обозначает экспоненту A . матричную Формула произведения Лия – Троттера и теорема Троттера–Като распространите это на некоторые неограниченные линейные A и B. операторы

Эта формула является аналогом классического показательного закона. $$e^{x+y}=e^{x}e^{y}$$

которое справедливо для всех действительных или комплексных чисел x и y . Если x и y заменены матрицами A и B , а экспонента заменена матричной экспонентой , обычно необходимо, чтобы A и B перестановились, чтобы закон все еще выполнялся. Однако формула произведения Ли справедлива для всех матриц A и B , даже для тех, которые не коммутируют.

Формула произведения Ли концептуально связана с формулой Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа , поскольку обе они являются заменой в контексте некоммутирующих операторов классического экспоненциального закона.

Формула имеет приложения, например, в формулировке интеграла по траекториям квантовой механики. Это позволяет разделить оператор эволюции Шредингера ( пропагатор ) на чередующиеся приращения кинетических и потенциальных операторов (разложение Сузуки-Троттера, по Троттеру и Масуо Судзуки ). Эта же идея используется при построении методов расщепления численного решения дифференциальных уравнений . Более того, теоремы Ли о произведении достаточно для доказательства формулы Фейнмана–Каца .

Теорему Троттера–Като можно использовать для аппроксимации линейных C ₀ -полугрупп .

См. также

• Прореживание блоков во времени

Ссылки

• Альбеверио, Серхио А.; Хёг-Крон, Рафаэль Дж. (1976), Математическая теория интегралов по траектории Фейнмана: Введение , Конспект лекций по математике, том. 423 (1-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0079827 , hdl : 10852/44049 , ISBN  978-3-540-07785-5
• Аппельбаум, Дэвид (2019). «Формула Фейнмана-Каца через формулу произведения Ли-Като-Троттера». Полугруппы линейных операторов: с приложениями к анализу, теории вероятностей и физике . Издательство Кембриджского университета. стр. 123–125. ISBN  978-1-108-71637-6 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-0-387-40122-5
• «Формула произведения Троттера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Коэн, Джоэл Э.; Фридланд, Шмуэль; Като, Тосио; Келли, ФП (1982). «Неравенства на собственные значения для произведений матричных экспонент» (PDF) . Линейная алгебра и ее приложения . 45 : 55–95. дои : 10.1016/0024-3795(82)90211-7 .
• Ито, Кадзуфуми; Каппель, Франц (1998). «Теорема Троттера-Като и аппроксимация УЧП» . Математика вычислений . 67 (221): 21–44. дои : 10.1090/S0025-5718-98-00915-6 . JSTOR   2584971 .
• Джоэл Э. Коэн; Шмуэль Фридланд; Тосио Като; Ф. П. Келли (1982), «Неравенства на собственные значения для произведений матричных экспонент» (PDF) , Линейная алгебра и ее приложения , 45 : 55–95, doi : 10.1016/0024-3795(82)90211-7
• Като, Тосио (1978), "Формула произведения Троттера для произвольной пары самосопряженных полугрупп сжатия", Темы функционального анализа (эссе, посвященные М. Г. Крейну по случаю его 70-летия) , Адв. по математике. Доп. Студ., вып. 3, Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 185–195, MR   0538020.
• Ложь, Софус; Энгель, Фридрих (1970). Теория групп преобразований (на немецком языке). Нью-Йорк: Американское математическое соц. ISBN  0-8284-0232-9 .
• Троттер, Х.Ф. (1959), «О произведении полугрупп операторов», Труды Американского математического общества , 10 (4): 545–551, doi : 10.2307/2033649 , ISSN   0002-9939 , JSTOR   2033649 , MR   0108732
• Сузуки, Масуо (1976). «Обобщенная формула Троттера и систематические аппроксимации экспоненциальных операторов и внутренние выводы с применением к задачам многих тел» . Комм. Математика. Физ . 51 (2): 183–190. дои : 10.1007/bf01609348 . S2CID   121900332 .
• Варадараджан, В.С. (1984), Группы Ли, алгебры Ли и их представления , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90969-1 , стр. 99.