Замороженная орбита

В орбитальной механике замороженная орбита — это орбита искусственного спутника на которой , возмущения сведены к минимуму за счет тщательного выбора параметров орбиты . Возмущения могут возникнуть в результате естественного дрейфа из-за формы центрального тела или других факторов. Обычно высота спутника на замороженной орбите остается постоянной в одной и той же точке при каждом обороте в течение длительного периода времени. Вариации наклонения , положения апсиды орбиты так , и эксцентриситета были сведены к минимуму за счет выбора начальных значений чтобы их возмущения компенсировались. Это приводит к долгосрочной стабильной орбите, которая сводит к минимуму использование топлива для поддержания станции .

Предыстория и мотивация

Для космических аппаратов, находящихся на орбите вокруг Земли, изменения параметров орбиты вызваны сжатием Земли , гравитационным притяжением Солнца и Луны, давлением солнечной радиации и сопротивлением воздуха . Это так называемые возмущающие силы. Им необходимо противодействовать маневрами по удержанию корабля на заданной орбите. Для геостационарного космического корабля требуются корректирующие маневры порядка 40–50 м / с (89–112 миль в час) в год, чтобы противодействовать гравитационным силам Солнца и Луны, которые отодвигают плоскость орбиты от экваториальной плоскости Земли. .

Для солнечно-синхронных космических аппаратов преднамеренное смещение плоскости орбиты (называемое «прецессией») может быть использовано во благо миссии. Для этих миссий используется околокруговая орбита высотой 600–900 км. Соответствующий наклон (97,8-99,0 градусов) подбирается так, чтобы прецессия плоскости орбиты была равна скорости движения Земли вокруг Солнца, около 1 градуса в сутки.

В результате космический корабль на каждой орбите пройдет над точками на Земле, в которых наблюдается одно и то же время суток. Например, если орбита расположена «под углом к ​​Солнцу», аппарат всегда будет проходить над точками, в которых сейчас 6 часов утра на северной части и 18:00 на южной части (или наоборот). Это называется орбита «Рассвет-Закат». В качестве альтернативы, если Солнце находится в плоскости орбиты, транспортное средство всегда будет проходить над местами, где полдень на северном участке, и над местами, где полночь на южном участке (или наоборот). Это так называемые орбиты «полдень-полночь». Такие орбиты желательны для многих миссий по наблюдению за Землей, таких как погода, съемка и картографирование.

Возмущающая сила, вызванная сжатием Земли, в общем случае будет возмущать не только плоскость орбиты, но и вектор эксцентриситета орбиты. Однако существует почти круговая орбита, для которой нет вековых/длительных периодических возмущений вектора эксцентриситета, а есть только периодические возмущения с периодом, равным орбитальному периоду. Такая орбита тогда является совершенно периодической (за исключением прецессии плоскости орбиты) и поэтому называется «замороженной орбитой». Такая орбита часто является предпочтительным выбором для миссий по наблюдению Земли, где повторные наблюдения одной и той же области Земли должны проводиться в максимально постоянных условиях наблюдения.

Спутники наблюдения Земли ERS-1, ERS-2 и Envisat работают на солнечно-синхронных замороженных орбитах.

Лунные замороженные орбиты

Низкие орбиты

Изучая множество спутников, вращающихся на лунной орбите , ученые обнаружили, что большинство низких лунных орбит (LLO) нестабильны. четыре замороженные лунные орбиты Были идентифицированы с наклонением 27 °, 50 °, 76 ° и 86 °. НАСА описало это в 2006 году:

Лунные масконы делают нестабильными большинство низких лунных орбит... Когда спутник проходит на высоте 50 или 60 миль над головой, масконы тянут его вперед, назад, влево, вправо или вниз, точное направление и величина тяги зависят от траектории спутника. При отсутствии каких-либо периодических пусков бортовых ракет для коррекции орбиты большинство спутников, выпущенных на низкие лунные орбиты (менее 60 миль или 100 км), в конечном итоге врежутся в Луну. ... [Существует] ряд «замороженных орбит», на которых космический корабль может оставаться на низкой лунной орбите бесконечно долго. Они происходят при четырех наклонениях: 27°, 50°, 76° и 86°" — последний из них находится почти над лунными полюсами. Орбита относительно долгоживущего субспутника Аполлон-15 PFS-1 имела наклонение 28°. , что оказалось близко к наклонению одной из замороженных орбит — но менее удачливый PFS-2 имел наклонение орбиты всего 11°.

Эллиптические наклонные орбиты

Для лунных орбит с высотой от 500 до 20 000 км (от 310 до 12 430 миль) гравитация Земли приводит к возмущениям орбиты . Работа, опубликованная в 2005 году, показала класс эллиптических наклонных лунных орбит, устойчивых к этому и, следовательно, также замороженных.

Классическая теория

Классическая теория замороженных орбит по существу основана на аналитическом анализе возмущений для искусственных спутников Дирка Брауэра, выполненном по контракту с НАСА и опубликованном в 1959 году.

Этот анализ можно провести следующим образом:

В статье проводится анализ орбитальных возмущений векового возмущения полюса орбиты. $\Delta {\hat {z}}\,$ из $J_{2}\,$ член геопотенциальной модели Показано, что

$\Delta {\hat {z}}\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \sin i\quad {\hat {g}}$ ( 1 )

что можно выразить через элементы орбиты следующим образом:

$\Delta i\ =\ 0$ ( 2 )

$\Delta \Omega \ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i$ ( 3 )

Проведя аналогичный анализ для $J_{3}\,$ (соответствует тому факту, что Земля имеет слегка грушевидную форму ), получается

$\Delta {\hat {z}}\ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left(\ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {g}}\ -\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)\ {\hat {h}}\right)$ ( 4 )

которое можно выразить через элементы орбит как

$\Delta i\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ e_{g}\ \left(1-{\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\right)$ ( 5 )

$\Delta \Omega \ =\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ {\frac {\cos i}{\sin i}}\ \ e_{h}\ \left(1-{\frac {15}{4}}\ \sin ^{2}i\right)$ ( 6 )

В той же статье рассмотрено вековое возмущение компонент вектора эксцентриситета, вызванное $J_{2}\,$ показано:

${\begin{aligned}\left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ &-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\left({\frac {3}{2}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (-e_{h},e_{g})\ +\ 2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos ^{2}i\left(-e_{h},e_{g}\right)\ =\\&-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-e_{h},e_{g}\right)\end{aligned}}$ ( 7 )

где:

• Первый член представляет собой плоскостное возмущение вектора эксцентриситета, вызванное плоскостной составляющей возмущающей силы.
• Второй член представляет собой эффект нового положения восходящего узла в новой орбитальной плоскости, причем орбитальная плоскость возмущается внеплоскостной составляющей силы.

Делаем анализ для $J_{3}\,$ член получается для первого члена, т.е. для возмущения вектора эксцентриситета от плоскостной составляющей силы

$2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left(\left(1-{e_{g}}^{2}+4\ {e_{h}}^{2}\right)\ {\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)$ ( 8 )

Для наклонений в диапазоне 97,8–99,0 град. $\Delta \Omega \,$ значение, заданное ( 6 ), намного меньше значения, заданного ( 3 ), и его можно игнорировать. Аналогично, квадратичные члены компонентов вектора эксцентриситета в ( 8 ) можно игнорировать для почти круговых орбит, т.е. ( 8 ) можно аппроксимировать с помощью

$2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ {\hat {g}}$ ( 9 )

Добавление $J_{3}\,$ вклад $2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \sin i\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ (1,\ 0)$

к ( 7 ) получаем

$\left(\Delta e_{g},\Delta e_{h}\right)\ =\ -2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\ \left(-\left(e_{h}+{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\right),\ e_{g}\right)$ ( 10 )

Теперь разностное уравнение показывает, что вектор эксцентриситета будет описывать окружность с центром в точке $\left(\ 0,\ -{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\ \right)\,$; полярный аргумент вектора эксцентриситета увеличивается с увеличением $-2\pi \ {\frac {J_{2}}{\mu \ p^{2}}}\ 3\left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\,$ радиан между последовательными орбитами.

Как

$\mu =398600.440{\text{ km}}^{3}/s^{2}\,$

$J_{2}=1.7555\ 10^{10}{\text{ km}}^{5}/s^{2}\,$

$J_{3}=-2.619\ 10^{11}{\text{ km}}^{6}/s^{2}\,$

получается для полярной орбиты ( $i=90^{\circ }\,$) с $p=7200{\text{ km}}\,$ что центр круга находится в $(0,\ 0.001036)\,$ а изменение полярного аргумента составляет 0,00400 радиан на орбиту.

Последняя цифра означает, что вектор эксцентриситета опишет полный круг за 1569 витков.Выбор начального вектора среднего эксцентриситета как $(0,\ 0.001036)\,$ средний вектор эксцентриситета останется постоянным для последовательных витков, т. е. орбита заморожена, поскольку вековые возмущения $J_{2}\,$ член, заданный ( 7 ) и $J_{3}\,$ срок, заданный ( 9 ), сокращается.

С точки зрения классических элементов орбиты это означает, что замороженная орбита должна иметь следующие средние элементы:

$e=-{\frac {J_{3}\ \sin i}{J_{2}\ 2\ p}}\,$

$\omega =\ 90^{\circ }\,$

Современная теория

Современная теория замороженных орбит основана на алгоритме, приведенном в статье Матса Розенгрена 1989 года.

Для этого аналитическое выражение ( 7 ) используется для итеративного обновления начального (среднего) вектора эксцентриситета, чтобы получить, что вектор (среднего) эксцентриситета, рассчитанный несколькими витками позже с помощью точного численного распространения, принимает точно то же самое значение. Таким образом, вековое возмущение вектора эксцентриситета, вызванное $J_{2}\,$ Этот термин используется для противодействия всем светским возмущениям, а не только тем (доминирующим), которые вызваны $J_{3}\,$ срок. Одним из таких дополнительных вековых возмущений, которые таким образом можно компенсировать, является возмущение, вызванное давлением солнечного излучения , это возмущение обсуждается в статье « Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат) ».

Применяя этот алгоритм для случая, рассмотренного выше, т.е. полярной орбиты ( $i=90^{\circ }\,$) с $p=7200{\text{ km}}\,$ игнорируя все возмущающие силы, кроме $J_{2}\,$ и $J_{3}\,$ сил для численного распространения получается точно такой же оптимальный средний вектор эксцентриситета, как и в «классической теории», т.е. $(0,\ 0.001036)\,$.

Когда мы также включаем силы, обусловленные более высокими зональными членами, оптимальное значение меняется на $(0,\ 0.001285)\,$.

Предполагая, кроме того, разумное солнечное давление («площадь поперечного сечения» 0,05 м ² /kg , направление к солнцу в направлении восходящего узла) оптимальное значение среднего вектора эксцентриситета становится $(0.000069,\ 0.001285)\,$ что соответствует: $\omega =\ 87^{\circ }\,$, т.е. оптимальное значение не $\omega =\ 90^{\circ }$ больше.

Этот алгоритм реализован в программном обеспечении управления орбитой спутников наблюдения Земли ERS-1, ERS-2 и Envisat.

Вывод выражений в замкнутом виде для J ₃ возмущения

Основной возмущающей силой, которой необходимо противодействовать, чтобы иметь замороженную орбиту, является $J_{3}\,$ сила», то есть гравитационная сила, вызванная несовершенной симметрией север-юг Земли, и «классическая теория» основана на выражении в замкнутой форме для этого « $J_{3}\,$ возмущение». В «современной теории» это явное выражение в замкнутой форме напрямую не используется, но оно, безусловно, все еще имеет смысл. чтобы получить его.Вывод этого выражения можно сделать следующим образом:

Потенциал зонального члена вращательно-симметричен вокруг полярной оси Земли, и соответствующая сила полностью находится в продольной плоскости с одной составляющей. $F_{r}\ {\hat {r}}\,$ в радиальном направлении и один компонент $F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,$ с единичным вектором ${\hat {\lambda }}\,$ ортогонально радиальному направлению на север. Эти направления ${\hat {r}}\,$ и ${\hat {\lambda }}\,$ проиллюстрированы на рисунке 1.

Рисунок 1: Единичные векторы ${\hat {\phi }},\ {\hat {\lambda }},\ {\hat {r}}$

В статье Геопотенциальная модель показано, что эти компоненты силы, вызванные $J_{3}\,$ термин

${\begin{aligned}&F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin \lambda \ \left(5\sin ^{2}\lambda \ -\ 3\right)\\&F_{\lambda }=-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos \lambda \ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\end{aligned}}$ ( 11 )

Уметь применять соотношения, полученные в статье Анализ орбитальных возмущений (космический корабль), к силовой составляющей. $F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\,$ необходимо разбить на две ортогональные составляющие $F_{t}\ {\hat {t}}$ и $F_{z}\ {\hat {z}}$ как показано на рисунке 2

Рисунок 2: Единичный вектор ${\hat {t}}\,$ ортогонально ${\hat {r}}\,$ по направлению движения и полюсу орбиты ${\hat {z}}\,$. Силовая составляющая $F_{\lambda }$ обозначается буквой «F»

Позволять ${\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,$ составим прямоугольную систему координат с началом в центре Земли (в центре опорного эллипсоида ) такую, что ${\hat {n}}\,$ указывает в направлении на север и такой, что ${\hat {a}},\ {\hat {b}}\,$ находятся в экваториальной плоскости Земли с ${\hat {a}}\,$ указывает на восходящий узел , т.е. на синюю точку на рисунке 2.

Компоненты единичных векторов

${\hat {r}},\ {\hat {t}},\ {\hat {z}}\,$

составляющие местную систему координат (из которой ${\hat {t}},\ {\hat {z}},$ проиллюстрированы на рисунке 2), и выражая свою связь с ${\hat {a}},\ {\hat {b}},\ {\hat {n}}\,$, следующие:

$r_{a}=\cos u\,$

$r_{b}=\cos i\ \sin u\,$

$r_{n}=\sin i\ \sin u\,$

$t_{a}=-\sin u\,$

$t_{b}=\cos i\ \cos u\,$

$t_{n}=\sin i\ \cos u\,$

$z_{a}=0\,$

$z_{b}=-\sin i\,$

$z_{n}=\cos i\,$

где $u\,$ является полярным аргументом ${\hat {r}}\,$ относительно ортогональных единичных векторов ${\hat {g}}={\hat {a}}\,$ и ${\hat {h}}=\cos i\ {\hat {b}}\ +\ \sin i\ {\hat {n}}\,$ в орбитальной плоскости

Во-первых

$\sin \lambda =\ r_{n}\ =\ \sin i\ \sin u\,$

где $\lambda \,$ - угол между плоскостью экватора и ${\hat {r}}\,$ (между зелеными точками на рисунке 2) и из уравнения (12) статьи «Геопотенциальная модель» получаем, таким образом,

$F_{r}=J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ 2\ \sin i\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)$ ( 12 )

Во-вторых, проекция направления на север, ${\hat {n}}\,$, в плоскости, пролетающей над ${\hat {t}},\ {\hat {z}},$ является

$\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}}\,$

и эта проекция

$\cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\,$

где ${\hat {\lambda }}\,$ единичный вектор ${\hat {\lambda }}$ ортогонально радиальному направлению на север, показанному на рисунке 1.

Из уравнения ( 11 ) мы видим, что

$F_{\lambda }\ {\hat {\lambda }}\ =-J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ \cos \lambda \ {\hat {\lambda }}\ =\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}\lambda \ -1\right)\ (\sin i\ \cos u\ {\hat {t}}\ +\ \cos i\ {\hat {z}})\,$

и поэтому:

$F_{t}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \sin i\ \cos u$ ( 13 )

$F_{z}=\ -J_{3}\ {\frac {1}{r^{5}}}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos i$ ( 14 )

В статье « Анализ орбитальных возмущений (космический корабль)» дополнительно показано, что вековое возмущение полюса орбиты ${\hat {z}}\,$ является

$\Delta {\hat {z}}\ =\ {\frac {1}{\mu p}}\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\cos u\ du+\ {\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }F_{z}r^{3}\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}$ ( 15 )

Вводя выражение для $F_{z}\,$ из ( 14 ) в ( 15 ) получаем

${\begin{aligned}&\Delta {\hat {z}}\ =-{\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \cdot \\&\left[{\hat {g}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du\right]\quad \times \ {\hat {z}}\end{aligned}}$ ( 16 )

Фракция ${\frac {p}{r}}\,$ является

${\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u$

где

$e_{g}=\ e\ \cos \omega$

$e_{h}=\ e\ \sin \omega$

– компоненты вектора эксцентриситета в ${\hat {g}},\ {\hat {h}}\,$ система координат.

Поскольку все интегралы типа

$\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,$

равны нулю, если не оба $n\,$ и $m\,$ четны, мы видим, что

${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\cos u\ du&=\ 2\ e_{g}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{g}\ ({\frac {5}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}$ ( 17 )

и

${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{2\pi }{\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\sin u\ du&=\ 2\ e_{h}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{4}u\ du\ -\int \limits _{0}^{2\pi }\sin ^{2}u\ du\right)\\&=\ 2\pi \ e_{h}\ ({\frac {15}{4}}\sin ^{2}i-1)\end{aligned}}$ ( 18 )

Отсюда следует, что

${\begin{aligned}\Delta {\hat {z}}\ &=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}+\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\quad \times \ {\hat {z}}\\&=\ 2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ {\frac {3}{2}}\ \cos i\ \left[\ e_{h}\ (1-{\frac {15}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {g}}\ -e_{g}\ (1-{\frac {5}{4}}\sin ^{2}i)\ {\hat {h}}\right]\end{aligned}}$ ( 19 )

где

${\hat {g}}\,$ и ${\hat {h}}\,$ – базовые векторы прямоугольной системы координат в плоскости опорной орбиты Кеплера с ${\hat {g}}\,$ в экваториальной плоскости к восходящему узлу и $u\,$ - полярный аргумент относительно этой экваториальной системы координат

$f_{z}\,$ - составляющая силы (на единицу массы) в направлении полюса орбиты ${\hat {z}}\,$

В статье « Анализ орбитальных возмущений (космический аппарат)» показано, что вековое возмущение вектора эксцентриситета равно

$\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {1}{\mu }}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ f_{r}\ +\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ f_{t}\right)\ r^{2}\ du$ ( 20 )

где

• ${\hat {r}},{\hat {t}}\,$ — обычная локальная система координат с единичным вектором ${\hat {r}}\,$ направлен в сторону от Земли
• $V_{r}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot e\cdot \sin \theta$ - составляющая скорости по направлению ${\hat {r}}\,$
• $V_{t}={\sqrt {\frac {\mu }{p}}}\cdot (1+e\cdot \cos \theta )$ - составляющая скорости по направлению ${\hat {t}}\,$

Вводя выражение для $F_{r},\ F_{t}\,$ из ( 12 ) и ( 13 ) в ( 20 ) получаем

${\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du\end{aligned}}$ ( 21 )

Используя это

${\frac {V_{r}}{V_{t}}}={\frac {e_{g}\cdot \sin u\ -\ e_{h}\cdot \cos u}{\frac {p}{r}}}$

приведенный выше интеграл можно разделить на 8 членов:

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)\ du\ =\\&-10\sin ^{2}i\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\\&+6\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\\&-15\ \sin ^{2}i\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\\&+3\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\\&-{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \sin u\ \cos u\ du\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \ \cos ^{2}u\ du\end{aligned}}$ ( 22 )

При условии

${\hat {r}}=\cos u\ {\hat {g}}\ +\ \sin u\ {\hat {h}}$

${\hat {t}}=-\sin u\ {\hat {g}}\ +\ \cos u\ {\hat {h}}$

мы получаем

${\frac {p}{r}}\ =\ 1+e\cdot \cos \theta \ =\ 1+e_{g}\cdot \cos u+e_{h}\cdot \sin u$

и что все интегралы типа

$\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{m}u\ \sin ^{n}u\ du\,$

равны нулю, если не оба $n\,$ и $m\,$ четные:

Срок 1

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{4}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}$ ( 23 )

Срок 2

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{6}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&-{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}$ ( 24 )

Срок 3

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ \sin ^{2}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{4}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}$ ( 25 )

Срок 4

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {r}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos u\ du\ ={\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ \sin u\ \cos u\ du\ =\\&{\hat {g}}\ \left(\int \limits _{0}^{2\pi }\cos ^{2}u\ du\ +\ 3\ {e_{g}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du\ \ +\ 3\ {e_{h}}^{2}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ \right)\\&+{\hat {h}}\ 6\ e_{g}\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{2}u\ \sin ^{2}u\ du=\\&{\hat {g}}\ \left(2\pi \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\end{aligned}}$ ( 26 )

Срок 5

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{4}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}$ ( 27 )

Срок 6

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{3}u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{4}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}$ ( 28 )

Срок 7

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin ^{2}u\ \cos u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\end{aligned}}$ ( 29 )

Срок 8

${\begin{aligned}&\int \limits _{0}^{2\pi }{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{2}u\ du\ =-{\hat {g}}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \sin u\ \cos ^{2}u\ du\ +{\hat {h}}\int \limits _{0}^{2\pi }\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{2}\ \cos ^{3}u\ du\ =\\&-{\hat {g}}\ 2\ e_{h}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \sin ^{2}u\ \cos ^{2}u\ du+{\hat {h}}\ 2\ e_{g}\ \int \limits _{0}^{2\pi }\ \cos ^{4}u\ du=-{\hat {g}}\ \left(2\pi {\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left(2\pi {\frac {3}{4}}\ e_{g}\right)\end{aligned}}$ ( 30 )

Как

${\begin{aligned}&-10\sin ^{2}i\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {3}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {15}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+6\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&-15\sin ^{2}i\ \left({\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{16}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{8}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+3\left({\hat {g}}\ \left({\frac {1}{2}}\ +\ {\frac {9}{8}}\ {e_{g}}^{2}\ +\ {\frac {3}{8}}\ {e_{h}}^{2}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\ e_{h}\right)\right)\\&+{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)\right)\\&-{\frac {15}{2}}\sin ^{2}i\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{8}}\ e_{g}\right)\right)\\&-{\frac {3}{2}}\ e_{g}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{g}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)\right)\\&+{\frac {3}{2}}\ e_{h}\ \left(-{\hat {g}}\ \left({\frac {1}{4}}\ e_{h}\right)+{\hat {h}}\ \left({\frac {3}{4}}\ e_{g}\right)\right)=\\&{\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)\end{aligned}}$ ( 31 )

Отсюда следует, что

${\begin{aligned}&\Delta {\bar {e}}\ ={\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ \cdot \\&\int \limits _{0}^{2\pi }\left(-{\hat {t}}\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ 2\ \sin u\,\ \left(5\sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -\ 3\right)\ -\ \left(2\ {\hat {r}}-{\frac {V_{r}}{V_{t}}}\ {\hat {t}}\right)\ {\left({\frac {p}{r}}\right)}^{3}\ {\frac {3}{2}}\ \left(5\ \sin ^{2}i\ \sin ^{2}u\ -1\right)\ \cos u\right)du=\\&2\pi \ {\frac {J_{3}}{\mu \ p^{3}}}\ \sin i\ {\frac {3}{2}}\ \left({\frac {5}{4}}\ \sin ^{2}i\ -\ 1\right)\left((1-{e_{g}}^{2}\ +\ 4\ {e_{h}}^{2}){\hat {g}}\ -\ 5\ e_{g}\ e_{h}\ {\hat {h}}\right)\end{aligned}}$ ( 32 )

Дальнейшее чтение

• ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТАЛЫ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАМОРОЖЕННОЙ ОРБИТЫ. включая атмосферное сопротивление и _{J 5} члены