В механике сплошных сред наиболее часто используемой мерой напряжения является тензор напряжений Коши , часто называемый просто тензором напряжений или «истинным напряжением». Однако можно определить несколько альтернативных мер стресса: [1] [2] [3]
Напряжение Кирхгофа ( τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} ). Номинальное напряжение ( N {\displaystyle {\boldsymbol {N}}} ). . Тензоры напряжений Пиолы – Кирхгофа Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа ( P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} ). Этот тензор напряжений представляет собой транспонирование номинального напряжения ( P = N T {\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {N}}^{T}} ). Второе напряжение Пиолы-Кирхгофа или напряжение ПК2 ( S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} ). Стресс Био ( T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} ) Рассмотрим ситуацию, показанную на следующем рисунке. В следующих определениях используются обозначения, показанные на рисунке.
Количества, используемые при определении показателей стресса
В эталонной конфигурации Ω 0 {\displaystyle \Omega _{0}} , внешняя нормаль к элементу поверхности d Γ 0 {\displaystyle d\Gamma _{0}} является N ≡ n 0 {\displaystyle \mathbf {N} \equiv \mathbf {n} _{0}} и сила тяги, действующая на эту поверхность (при условии, что она деформируется как общий вектор, принадлежащий деформации), равна t 0 {\displaystyle \mathbf {t} _{0}} что приводит к вектору силы d f 0 {\displaystyle d\mathbf {f} _{0}} . В деформированной конфигурации Ω {\displaystyle \Omega } , элемент поверхности изменится на d Γ {\displaystyle d\Gamma } с внешним видом нормальный n {\displaystyle \mathbf {n} } и вектор тяги t {\displaystyle \mathbf {t} } приводящий к силе d f {\displaystyle d\mathbf {f} } . Обратите внимание, что эта поверхность может быть либо гипотетическим разрезом внутри тела, либо реальной поверхностью. Количество F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} – тензор градиента деформации , J {\displaystyle J} является его определяющим фактором.
Напряжение Коши (или истинное напряжение) является мерой силы, действующей на элемент площади в деформированной конфигурации. Этот тензор симметричен и определяется через
d f = t d Γ = σ T ⋅ n d Γ {\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma } или
t = σ T ⋅ n {\displaystyle \mathbf {t} ={\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} } где t {\displaystyle \mathbf {t} } это тяга и n {\displaystyle \mathbf {n} } – нормаль к поверхности, на которую действует сила тяги.
Количество,
τ = J σ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=J~{\boldsymbol {\sigma }}} называется тензором напряжений Кирхгофа , причем J {\displaystyle J} определитель F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} . Он широко используется в численных алгоритмах пластичности металлов (где естьотсутствие изменения объема при пластической деформации). можно назвать взвешенным тензором напряжений Коши Его также .
Номинальное напряжение/первое напряжение Пиолы – Кирхгофа [ редактировать ] Номинальное напряжение N = P T {\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {P}}^{T}} представляет собой транспонирование первого напряжения Пиолы – Кирхгофа (напряжение ПК1, также называемое инженерным напряжением) P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} и определяется через
d f = t d Γ = N T ⋅ n 0 d Γ 0 = P ⋅ n 0 d Γ 0 {\displaystyle d\mathbf {f} =\mathbf {t} ~d\Gamma ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}} или
t 0 = t d Γ d Γ 0 = N T ⋅ n 0 = P ⋅ n 0 {\displaystyle \mathbf {t} _{0}=\mathbf {t} {\dfrac {d{\Gamma }}{d\Gamma _{0}}}={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {P}}\cdot \mathbf {n} _{0}} Это напряжение несимметрично и представляет собой двухточечный тензор, подобно градиенту деформации. Асимметрия возникает из-за того, что, как тензор, он имеет один индекс, привязанный к эталонной конфигурации, и один к деформированной конфигурации. [4]
Если мы отступим d f {\displaystyle d\mathbf {f} } к эталонной конфигурации мы получаем силу тяги, действующую на эту поверхность до деформации d f 0 {\displaystyle d\mathbf {f} _{0}} предполагая, что он ведет себя как общий вектор, принадлежащий деформации. В частности, у нас есть
d f 0 = F − 1 ⋅ d f {\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot d\mathbf {f} } или,
d f 0 = F − 1 ⋅ N T ⋅ n 0 d Γ 0 = F − 1 ⋅ t 0 d Γ 0 {\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}} Стресс ПК2 ( S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} ) симметричен и определяется соотношением
d f 0 = S T ⋅ n 0 d Γ 0 = F − 1 ⋅ t 0 d Γ 0 {\displaystyle d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}~d\Gamma _{0}} Поэтому,
S T ⋅ n 0 = F − 1 ⋅ t 0 {\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot \mathbf {t} _{0}} Напряжение Био полезно, потому что оно энергетически сопряжено с правильным тензором растяжения. U {\displaystyle {\boldsymbol {U}}} . Напряжение Био определяется как симметричная часть тензора P T ⋅ R {\displaystyle {\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}} где R {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} – тензор вращения, полученный в результате полярного разложения градиента деформации. Поэтому тензор напряжений Био определяется как
T = 1 2 ( R T ⋅ P + P T ⋅ R ) . {\displaystyle {\boldsymbol {T}}={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {P}}+{\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})~.} Напряжение Био также называют напряжением Яуманна.
Количество T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} не имеет никакой физической интерпретации. Однако несимметричное напряжение Био имеет интерпретацию
R T d f = ( P T ⋅ R ) T ⋅ n 0 d Γ 0 {\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}~d\mathbf {f} =({\boldsymbol {P}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}})^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}} Связь между напряжением Коши и номинальным напряжением [ редактировать ] Из формулы Нансона, связывающей площади в опорной и деформированной конфигурациях:
n d Γ = J F − T ⋅ n 0 d Γ 0 {\displaystyle \mathbf {n} ~d\Gamma =J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}} Сейчас,
σ T ⋅ n d Γ = d f = N T ⋅ n 0 d Γ 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot \mathbf {n} ~d\Gamma =d\mathbf {f} ={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}} Следовательно,
σ T ⋅ ( J F − T ⋅ n 0 d Γ 0 ) = N T ⋅ n 0 d Γ 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot (J~{\boldsymbol {F}}^{-T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})={\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}} или,
N T = J ( F − 1 ⋅ σ ) T = J σ T ⋅ F − T {\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}=J~({\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }})^{T}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}} или,
N = J F − 1 ⋅ σ and N T = P = J σ T ⋅ F − T {\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {N}}^{T}={\boldsymbol {P}}=J~{\boldsymbol {\sigma }}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}} В индексной записи
N I j = J F I k − 1 σ k j and P i J = J σ k i F J k − 1 {\displaystyle N_{Ij}=J~F_{Ik}^{-1}~\sigma _{kj}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=J~\sigma _{ki}~F_{Jk}^{-1}} Поэтому,
J σ = F ⋅ N = F ⋅ P T . {\displaystyle J~{\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {P}}^{T}~.} Обратите внимание, что N {\displaystyle {\boldsymbol {N}}} и P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} (обычно) не симметричны, потому что F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} (вообще) не симметричен.
Связь между номинальным напряжением и вторым напряжением P – K [ редактировать ] Напомним, что
N T ⋅ n 0 d Γ 0 = d f {\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0}=d\mathbf {f} } и
d f = F ⋅ d f 0 = F ⋅ ( S T ⋅ n 0 d Γ 0 ) {\displaystyle d\mathbf {f} ={\boldsymbol {F}}\cdot d\mathbf {f} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}~d\Gamma _{0})} Поэтому,
N T ⋅ n 0 = F ⋅ S T ⋅ n 0 {\displaystyle {\boldsymbol {N}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}^{T}\cdot \mathbf {n} _{0}} или (используя симметрию S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} ),
N = S ⋅ F T and P = F ⋅ S {\displaystyle {\boldsymbol {N}}={\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}} В индексной записи
N I j = S I K F j K T and P i J = F i K S K J {\displaystyle N_{Ij}=S_{IK}~F_{jK}^{T}\qquad {\text{and}}\qquad P_{iJ}=F_{iK}~S_{KJ}} Альтернативно мы можем написать
S = N ⋅ F − T and S = F − 1 ⋅ P {\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {N}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}\qquad {\text{and}}\qquad {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {P}}} Связь между напряжением Коши и вторым напряжением P – K [ редактировать ] Напомним, что
N = J F − 1 ⋅ σ {\displaystyle {\boldsymbol {N}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}} Что касается 2-го ПК-напряжения, мы имеем
S ⋅ F T = J F − 1 ⋅ σ {\displaystyle {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}} Поэтому,
S = J F − 1 ⋅ σ ⋅ F − T = F − 1 ⋅ τ ⋅ F − T {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=J~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}} В индексной записи
S I J = F I k − 1 τ k l F J l − 1 {\displaystyle S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}~\tau _{kl}~F_{Jl}^{-1}} Поскольку напряжение Коши (и, следовательно, напряжение Кирхгофа) симметрично, 2-е напряжение ПК также симметрично.
Альтернативно мы можем написать
σ = J − 1 F ⋅ S ⋅ F T {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=J^{-1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}} или,
τ = F ⋅ S ⋅ F T . {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.} Очевидно, что из определения операций продвижения вперед и возврата мы имеем
S = φ ∗ [ τ ] = F − 1 ⋅ τ ⋅ F − T {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\varphi ^{*}[{\boldsymbol {\tau }}]={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {\tau }}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}} и
τ = φ ∗ [ S ] = F ⋅ S ⋅ F T . {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\varphi _{*}[{\boldsymbol {S}}]={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.} Поэтому, S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} это откат назад τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} к F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} и τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} это толчок вперед S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} .
Ключ: J = det ( F ) , C = F T F = U 2 , F = R U , R T = R − 1 , {\displaystyle J=\det \left({\boldsymbol {F}}\right),\quad {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {U}}^{2},\quad {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {U}},\quad {\boldsymbol {R}}^{T}={\boldsymbol {R}}^{-1},} P = J σ F − T , τ = J σ , S = J F − 1 σ F − T , T = R T P , M = C S {\displaystyle {\boldsymbol {P}}=J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {\tau }}=J{\boldsymbol {\sigma }},\quad {\boldsymbol {S}}=J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T},\quad {\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}},\quad {\boldsymbol {M}}={\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}}
Формулы преобразования Уравнение для σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} M {\displaystyle {\boldsymbol {M}}} σ = {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\,} σ {\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}} J − 1 τ {\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {\tau }}} J − 1 P F T {\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}} J − 1 F S F T {\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}} J − 1 R T F T {\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}} J − 1 F − T M F T {\displaystyle J^{-1}{\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}} (неизотропия) τ = {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\,} J σ {\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}} τ {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}} P F T {\displaystyle {\boldsymbol {P}}{\boldsymbol {F}}^{T}} F S F T {\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}{\boldsymbol {F}}^{T}} R T F T {\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}{\boldsymbol {F}}^{T}} F − T M F T {\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {F}}^{T}} (неизотропия) P = {\displaystyle {\boldsymbol {P}}=\,} J σ F − T {\displaystyle J{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}} τ F − T {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}} P {\displaystyle {\boldsymbol {P}}} F S {\displaystyle {\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {S}}} R T {\displaystyle {\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {T}}} F − T M {\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-T}{\boldsymbol {M}}} S = {\displaystyle {\boldsymbol {S}}=\,} J F − 1 σ F − T {\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}} F − 1 τ F − T {\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}} F − 1 P {\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{-1}{\boldsymbol {P}}} S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} U − 1 T {\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {T}}} C − 1 M {\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{-1}{\boldsymbol {M}}} T = {\displaystyle {\boldsymbol {T}}=\,} J R T σ F − T {\displaystyle J{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}} R T τ F − T {\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}} R T P {\displaystyle {\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {P}}} U S {\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {S}}} T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} U − 1 M {\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{-1}{\boldsymbol {M}}} M = {\displaystyle {\boldsymbol {M}}=\,} J F T σ F − T {\displaystyle J{\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}{\boldsymbol {F}}^{-T}} (неизотропия) F T τ F − T {\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {\tau }}{\boldsymbol {F}}^{-T}} (неизотропия) F T P {\displaystyle {\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {P}}} C S {\displaystyle {\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {S}}} U T {\displaystyle {\boldsymbol {U}}{\boldsymbol {T}}} M {\displaystyle {\boldsymbol {M}}}
^ Дж. Боне и Р. Вуд, Нелинейная механика сплошной среды для анализа методом конечных элементов , Издательство Кембриджского университета. ^ Р.В. Огден, 1984, Нелинейные упругие деформации , Дувр. ^ Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория упругости , третье издание. ^ Трехмерная эластичность . Эльзевир. 1 апреля 1988 г. ISBN. 978-0-08-087541-5 .