Jump to content

Альтернативные меры стресса

(Перенаправлено из тензора напряжений Био )

В механике сплошных сред наиболее часто используемой мерой напряжения является тензор напряжений Коши , часто называемый просто тензором напряжений или «истинным напряжением». Однако можно определить несколько альтернативных мер стресса: [1] [2] [3]

  1. Напряжение Кирхгофа ( ).
  2. Номинальное напряжение ( ).
  3. . Тензоры напряжений Пиолы – Кирхгофа
    1. Первое напряжение Пиолы-Кирхгофа ( ). Этот тензор напряжений представляет собой транспонирование номинального напряжения ( ).
    2. Второе напряжение Пиолы-Кирхгофа или напряжение ПК2 ( ).
  4. Стресс Био ( )

Определения

[ редактировать ]

Рассмотрим ситуацию, показанную на следующем рисунке. В следующих определениях используются обозначения, показанные на рисунке.

Количества, используемые при определении показателей стресса

В эталонной конфигурации , внешняя нормаль к элементу поверхности является и сила тяги, действующая на эту поверхность (при условии, что она деформируется как общий вектор, принадлежащий деформации), равна что приводит к вектору силы . В деформированной конфигурации , элемент поверхности изменится на с внешним видом нормальный и вектор тяги приводящий к силе . Обратите внимание, что эта поверхность может быть либо гипотетическим разрезом внутри тела, либо реальной поверхностью. Количество тензор градиента деформации , является его определяющим фактором.

Коши стресс

[ редактировать ]

Напряжение Коши (или истинное напряжение) является мерой силы, действующей на элемент площади в деформированной конфигурации. Этот тензор симметричен и определяется через

или

где это тяга и – нормаль к поверхности, на которую действует сила тяги.

стресс Кирхгофа

[ редактировать ]

Количество,

называется тензором напряжений Кирхгофа , причем определитель . Он широко используется в численных алгоритмах пластичности металлов (где естьотсутствие изменения объема при пластической деформации). можно назвать взвешенным тензором напряжений Коши Его также .

Напряжение Пиолы – Кирхгофа

[ редактировать ]

Номинальное напряжение/первое напряжение Пиолы – Кирхгофа

[ редактировать ]

Номинальное напряжение представляет собой транспонирование первого напряжения Пиолы – Кирхгофа (напряжение ПК1, также называемое инженерным напряжением) и определяется через

или

Это напряжение несимметрично и представляет собой двухточечный тензор, подобно градиенту деформации.
Асимметрия возникает из-за того, что, как тензор, он имеет один индекс, привязанный к эталонной конфигурации, и один к деформированной конфигурации. [4]

Второе напряжение Пиолы – Кирхгофа

[ редактировать ]

Если мы отступим к эталонной конфигурации мы получаем силу тяги, действующую на эту поверхность до деформации предполагая, что он ведет себя как общий вектор, принадлежащий деформации. В частности, у нас есть

или,

Стресс ПК2 ( ) симметричен и определяется соотношением

Поэтому,

Био-стресс

[ редактировать ]

Напряжение Био полезно, потому что оно энергетически сопряжено с правильным тензором растяжения. . Напряжение Био определяется как симметричная часть тензора где – тензор вращения, полученный в результате полярного разложения градиента деформации. Поэтому тензор напряжений Био определяется как

Напряжение Био также называют напряжением Яуманна.

Количество не имеет никакой физической интерпретации. Однако несимметричное напряжение Био имеет интерпретацию

Отношения

[ редактировать ]

Связь между напряжением Коши и номинальным напряжением

[ редактировать ]

Из формулы Нансона, связывающей площади в опорной и деформированной конфигурациях:

Сейчас,

Следовательно,

или,

или,

В индексной записи

Поэтому,

Обратите внимание, что и (обычно) не симметричны, потому что (вообще) не симметричен.

Связь между номинальным напряжением и вторым напряжением P – K

[ редактировать ]

Напомним, что

и

Поэтому,

или (используя симметрию ),

В индексной записи

Альтернативно мы можем написать

Связь между напряжением Коши и вторым напряжением P – K

[ редактировать ]

Напомним, что

Что касается 2-го ПК-напряжения, мы имеем

Поэтому,

В индексной записи

Поскольку напряжение Коши (и, следовательно, напряжение Кирхгофа) симметрично, 2-е напряжение ПК также симметрично.

Альтернативно мы можем написать

или,

Очевидно, что из определения операций продвижения вперед и возврата мы имеем

и

Поэтому, это откат назад к и это толчок вперед .

Краткое изложение формулы преобразования

[ редактировать ]

Ключ:

Формулы преобразования
Уравнение для
(неизотропия)
(неизотропия)
(неизотропия) (неизотропия)

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Дж. Боне и Р. Вуд, Нелинейная механика сплошной среды для анализа методом конечных элементов , Издательство Кембриджского университета.
  2. ^ Р.В. Огден, 1984, Нелинейные упругие деформации , Дувр.
  3. ^ Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория упругости , третье издание.
  4. ^ Трехмерная эластичность . Эльзевир. 1 апреля 1988 г. ISBN.  978-0-08-087541-5 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 1cb7e3f5b76bb1e16e684a7576fe4b41__1693091220
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/1c/41/1cb7e3f5b76bb1e16e684a7576fe4b41.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Alternative stress measures - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)