Теорема сложения

Эта статья посвящена теоремам сложения в целом. Конкретные теоремы сложения для тригонометрических функций см. в формулах сложения углов .

В математике теоремой сложения называется формула, подобная формуле для показательной функции :

и ^{х + у} = и ^х · и ^и ,

который выражает для конкретной функции f , f ( x + y ) через f ( x ) и f ( y ). В более общем плане, как и в случае с тригонометрическими функциями sin и cos , могут быть задействованы несколько функций; в данном случае это более очевидно, чем реально, поскольку ( другими словами , существует алгебраическая функция греха мы обычно берем их функции обе, определенные на единичном круге ).

Область применения идеи теоремы сложения была полностью исследована в девятнадцатом веке, чему способствовало открытие теоремы сложения для эллиптических функций . Для «классификации» теорем сложения необходимо наложить некоторое ограничение на тип допустимой функции G , такое, что

F ( Икс + у ) = грамм ( F ( Икс ), F ( у )).

В этом тождестве можно предположить, что F и G векторнозначны (имеют несколько компонент). Теорема алгебраического сложения — это теорема, в которой G можно рассматривать как вектор многочленов от некоторого набора переменных. Вывод математиков того времени заключался в том, что теория абелевых функций по существу исчерпала интересные возможности: если рассматривать ее как функциональное уравнение , которое нужно решать с помощью полиномов, или даже рациональных функций или алгебраических функций , то других типов решения не существовало.

На более современном языке это выглядит как часть теории алгебраических групп , имеющая дело с коммутативными группами. Примеры связных проективных многообразий действительно исчерпываются абелевыми функциями, о чем свидетельствует ряд результатов, характеризующих абелево многообразие достаточно слабыми условиями на его групповой закон. так называемые квазиабелевы функции Известно, что возникают в результате расширения абелевых многообразий коммутативными многообразиями аффинных групп. Таким образом, можно сказать, что старые выводы о сфере действия глобальных алгебраических теорем сложения верны. Более современный аспект — теория формальных групп .

См. также

• Хронология абелевых разновидностей
• Теорема сложения для сферических гармоник
• Теорема Морделла – Вейля

Ссылки

• «Теоремы сложения в теории специальных функций» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]