Теорема Альмгрена об изоморфизме

Теорема Альмгрена об изоморфизме — это результат геометрической теории меры и алгебраической топологии, касающийся топологии пространства плоских циклов в римановом многообразии.

Теорема играет фундаментальную роль в теории мин-макса Альмгрена-Питтса, поскольку она устанавливает существование топологически нетривиальных семейств циклов, которые использовались Фредериком Дж. Альмгреном-младшим , Джоном Т. Питтсом и другими для доказательства существования ( возможно сингулярные) минимальные подмногообразия в каждом римановом многообразии. В частном случае пространства нуль-гомологичных циклов коразмерности 1 с коэффициентами по модулю 2 на замкнутом римановом многообразии из теоремы об изоморфизме Альмгрена следует, что он слабо гомотопически эквивалентен бесконечное реальное проективное пространство . ^{[ 1 ]}

Формулировка теоремы

Пусть M — риманово многообразие . Теорема Альмгрена об изоморфизме утверждает, что m-я гомотопическая группа пространства плоских k-мерных циклов в M изоморфна (m + k)-мерной группе гомологий M. Этот результат является обобщением теоремы Долда – Тома. , который можно рассматривать как случай k=0 Альмгрена ( 1962a (версия докторской диссертации) , ^{[ 2 ]}1962b (версия Топология (Elsevier) ^{[ 3 ]}) ^{[ 4 ]} теорема. Изоморфизм определяется следующим образом. Пусть G — абелева группа и $Z_{k}(M;G)$ обозначим пространство плоских циклов с коэффициентами из группы G. Каждому семейству циклов $f:S^{m}\rightarrow Z_{k}(M;G)$ мы сопоставляем (m+k)-цикл C следующим образом. Исправьте точную триангуляцию T $S^{m}$ . Каждой вершине v в 0-скелете T сопоставим цикл f(v). Каждому ребру E в 1-остове графа T с ∂E=vw сопоставим (k+1)-цепь с границей f(v)-f(w) минимальной массы. Мы действуем по этому пути индукцией по скелету T. Сумма всех цепей, соответствующих m-мерным граням T, будет искомым (m+k)-циклом C. Несмотря на то, что выбор триангуляции и минимальных массовых заполнений не был сделан уникальны, все они приводят к (m+k)-циклу из одного и того же класса гомологии. ^{[ 5 ]}

Ссылки

^ * Уайт, Брайан (1998), «Математика Ф. Дж. Альмгрена-младшего», Журнал геометрического анализа , 8 (5): 681–702, doi : 10.1007/BF02922665 , ISSN 1050-6926 , MR 1731057 , S2CID 122083638 , Збл 0955.01020
^ ( Ли 2019 )
^ ( Фридлендер и Лоусон, 2009 )
^ ( Уайт 1997 )
^ Гут, Л. Неравенство ширины и объема. ГАФА Геом. функция. анальный. 17, 1139–1179 (2007)

Дальнейшее чтение

Альмгрен, Фредерик Джастин (1962a). Гомотопические группы целых групп циклов (Диссертация). ОСЛК 22016723 .
Альмгрен, Фредерик Джастин (1962b). «Гомотопические группы целых групп циклов». Топология . 1 (4): 257–299. дои : 10.1016/0040-9383(62)90016-2 .
Фридлендер, Эрик М.; Лоусон, Х. Блейн (2009). «Отображения графов и двойственность Пуанкаре». Математические Аннален . 343 (2): 431–461. дои : 10.1007/s00208-008-0278-4 . S2CID 8779502 .
А. Невес, «Новые приложения теории Мин-Макса», Труды Международного математического конгресса, (2014), 939-957.
Маркес, Фернандо К.; Невес, Андре (2013). «Приложения теории Мин-Макса Альмгрена-Питтса» . Текущие достижения в математике . 2013 : 1–71. дои : 10.4310/CDM.2013.v2013.n1.a1 .
Лима-Фильо, Пауло (1993). «О карте обобщенного цикла» . Журнал дифференциальной геометрии . 38 . дои : 10.4310/jdg/1214454096 .
Уайт, Брайан (1997), «Математика Ф. Дж. Альмгрена-младшего». (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 44 (11): 1451–1456, ISSN 0002-9920 , MR 1488574 , Zbl 0908.01017

Внешние ссылки

Ли, Янъян (2019). «Заметки Янъяна Ли о мин-максе Альмгрена-Питтса» (PDF) . S2CID 221792677 .

[1] * Уайт, Брайан (1998), «Математика Ф. Дж. Альмгрена-младшего», Журнал геометрического анализа , 8 (5): 681–702, doi : 10.1007/BF02922665 , ISSN 1050-6926 , MR 1731057 , S2CID 122083638 , Збл 0955.01020

[2] ( Ли 2019 )

[3] ( Фридлендер и Лоусон, 2009 )

[4] ( Уайт 1997 )

[5] Гут, Л. Неравенство ширины и объема. ГАФА Геом. функция. анальный. 17, 1139–1179 (2007)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]