Неравенство Гриффитса

В статистической механике , неравенство Гриффитса иногда также называемое неравенством Гриффитса-Келли-Шермана или неравенством ГКС , названное в честь Роберта Б. Гриффитса , представляет собой корреляционное неравенство для ферромагнитных спиновых систем. Неформально это говорит о том, что в ферромагнитных спиновых системах, если «априорное распределение» спина инвариантно при перевороте спина, корреляция любого монома спинов неотрицательна; и двухточечная корреляция двух мономов спинов неотрицательна.

Неравенство было доказано Гриффитсом для ферромагнетиков Изинга с двухчастичным взаимодействием: затем Келли и Шерман обобщили взаимодействия с произвольным числом спинов: а затем Гриффитсом к системам с произвольными спинами. Более общую формулировку дал Джинибре : и теперь называется неравенством Джинибре .

Определения

Позволять $\textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }$ — конфигурация спинов (непрерывных или дискретных) на решетке Λ . Если A ⊂ Λ — список узлов решетки, возможно, с дубликатами, пусть $\textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{j}$ быть продуктом спинов в A .

Присвоим априорную меру dμ(σ) спинам ;пусть H — функционал энергии вида

$H(\sigma )=-\sum _{A}J_{A}\sigma _{A}~,$

где сумма ведется по спискам сайтов A и пусть

$Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

быть статистической суммой . По-прежнему,

$\langle \cdot \rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }\cdot (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

означает среднее значение по ансамблю .

Система называется ферромагнитной если для любого списка узлов A , J _A ≥ 0 . Система называется инвариантной относительно смены спина , если для любого j из Λ мера µ сохраняется при отображении смены знака σ → τ , где

$\tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}$

Формулировка неравенств

Первое неравенство Гриффитса

В ферромагнитной спиновой системе, инвариантной относительно переворота спина,

$\langle \sigma _{A}\rangle \geq 0$

для любого списка спинов A .

Второе неравенство Гриффитса

В ферромагнитной спиновой системе, инвариантной относительно переворота спина,

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle$

любых списков спинов A и B. для

Первое неравенство является частным случаем второго и соответствует B = ∅.

Доказательство

Обратите внимание, что статистическая сумма по определению неотрицательна.

Доказательство первого неравенства : Развернуть

$e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{k}}{k!}}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,$

затем

${\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\\&=\sum _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\end{aligned}}$

где n _A (j) обозначает количество раз, которое j появляется в A . Теперь, в силу инвариантности относительно переворота спина,

$\int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0$

если хотя бы одно n(j) нечетно и то же выражение явно неотрицательно для четных значений n . Следовательно, Z < σ _A >≥0, а значит, и < σ _A >≥0.

Доказательство второго неравенства . Для второго неравенства Гриффитса удвойте случайную величину, т. е. рассмотрим вторую копию спина, $\sigma '$, с тем же распределением $\sigma$. Затем

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.$

Введем новые переменные

$\sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}'~.$

Двойная система $\langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle$ является ферромагнитным в $\tau ,\tau '$ потому что $-H(\sigma )-H(\sigma ')$ является полиномом по $\tau ,\tau '$ с положительными коэффициентами

${\begin{aligned}\sum _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\sum _{A}J_{A}\sum _{X\subset A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end{aligned}}$

Помимо меры по $\tau ,\tau '$ инвариантен относительно переворота спина, поскольку $d\mu (\sigma )d\mu (\sigma ')$ является. Наконец, мономы $\sigma _{A}$, $\sigma _{B}-\sigma '_{B}$ являются полиномами в $\tau ,\tau '$ с положительными коэффициентами

${\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{B}-\sigma '_{B}&=\sum _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}$

Первое неравенство Гриффитса применялось к $\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle$ дает результат.

Более подробная информация находится в и.

Расширение: неравенство Джинибре.

— Неравенство Жинибра это расширение, найденное Жаном Жинибром: неравенства Гриффитса.

Формулировка

Пусть (Γ, µ ) — вероятностное пространство . Для функций f , h на Γ обозначим

$\langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

Пусть A — набор вещественных функций на Γ такой, что. для любых f ₁ , f ₂ ,..., f _n в A и для любого выбора знаков ±,

$\iint d\mu (x)\,d\mu (y)\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.$

Тогда для любых f , g ,− h в выпуклом конусе, порожденном A ,

$\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.$

Доказательство

Позволять

$Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

Затем

${\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right)\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y)}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y)){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}$

Теперь неравенство следует из предположения и тождества

$f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y)).$

Примеры

• Чтобы восстановить (второе) неравенство Гриффитса, возьмем Γ = {−1, +1} ^л , где Λ — решетка, и пусть µ — мера на Γ, инвариантная относительно смены знака. Конус A полиномов с положительными коэффициентами удовлетворяет условиям неравенства Жинибре.
• (Γ, µ ) — коммутативная компактная группа с мерой Хаара , A — конус вещественных положительно определенных функций на Γ.
• Г — вполне упорядоченное множество , А — конус вещественных положительных неубывающих функций на Г. Это дает неравенство сумм Чебышева . Для распространения на частично упорядоченные множества см. неравенство ФКГ .

Приложения

• Термодинамический предел корреляций ферромагнитной модели Изинга (с неотрицательным внешним полем h и свободными граничными условиями) существует.

что увеличение объема равносильно включению новых связей J _B для определенного подмножества B. Это связано с тем , По второму неравенству Гриффитса

${\frac {\partial }{\partial J_{B}}}\langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0$

Следовательно $\langle \sigma _{A}\rangle$ монотонно увеличивается с объемом; тогда он сходится, поскольку ограничен единицей.

• Одномерная ферромагнитная модель Изинга с взаимодействиями $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ отображает фазовый переход, если $1<\alpha <2$.

Это свойство можно продемонстрировать в иерархическом приближении, которое отличается от полной модели отсутствием некоторых взаимодействий: рассуждая, как и выше, со вторым неравенством Гриффитса, результаты переносятся на полную модель.

• Неравенство Джинибре обеспечивает существование термодинамического предела для корреляций свободной энергии и спина для двумерной классической модели XY . Кроме того, с помощью неравенства Гинибре Кунц и Пфистер доказали наличие фазового перехода для ферромагнитной модели XY с взаимодействием $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ если $2<\alpha <4$.
• Айзенман и Саймон использовал неравенство Джинибре, чтобы доказать, что двухточечная спиновая корреляция ферромагнитной классической модели XY в размерности $D$, соединение $J>0$ и обратная температура $\beta$ доминирует ( т.е. имеет верхнюю границу, заданную) двухточечной корреляцией ферромагнитной модели Изинга в размерности $D$, соединение $J>0$, и обратная температура $\beta /2$

$\langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }$

Отсюда критический $\beta$ модели XY не может быть меньше двойной критической температуры модели Изинга.

$\beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;$

в размерности D = 2 и связи J = 1, это дает

$\beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0.88~.$

• Существует вариант неравенства Джинибре для кулоновского газа , предполагающий существование термодинамического предела корреляций.
• Другие приложения ( фазовые переходы в спиновых системах, модель XY, квантовая цепочка XYZ) рассмотрены в статье.