Уравнения Колмогорова

В вероятностей теории уравнения Колмогорова , включая прямые уравнения Колмогорова и обратные уравнения Колмогорова , характеризуют марковские процессы с непрерывным временем . В частности, они описывают, как с течением времени меняется вероятность марковского процесса с непрерывным временем в определенном состоянии.

Диффузионные процессы против скачкообразных процессов

В 1931 году Андрей Колмогоров начал с теории марковских процессов с дискретным временем, которые описываются уравнением Чепмена – Колмогорова , и стремился вывести теорию марковских процессов с непрерывным временем путем расширения этого уравнения. Он обнаружил, что существует два типа марковских процессов с непрерывным временем, в зависимости от предполагаемого поведения на небольших интервалах времени:

Если предположить, что «через небольшой промежуток времени существует подавляющая вероятность того, что состояние останется неизменным; однако, если оно изменится, то изменение может быть радикальным», тогда вы попадаете в так называемые скачкообразные процессы .

Другой случай приводит к процессам, подобным тем, которые «представлены диффузией и броуновским движением ; там несомненно, что некоторые изменения произойдут в любой интервал времени, каким бы малым он ни был; только здесь несомненно, что изменения в течение малых интервалов времени будут тоже маленький».

Для каждого из этих двух видов процессов Колмогоров вывел прямую и обратную системы уравнений (всего четыре).

История

Уравнения названы в честь Андрея Колмогорова, поскольку они были освещены в его основополагающей работе 1931 года.

Уильям Феллер в 1949 году использовал названия «прямое уравнение» и «обратное уравнение» для своей более общей версии пары Колмогорова:как в скачкообразных, так и в диффузионных процессах. Намного позже, в 1956 году, он назвал уравнения скачкового процесса «прямыми уравнениями Колмогорова» и «обратными уравнениями Колмогорова».

Другие авторы, такие как Мотоо Кимура , Уравнение диффузии (Фоккера-Планка) называлось прямым уравнением Колмогорова, и это название сохранилось.

Современный взгляд

• В контексте марковского процесса со скачками в непрерывном времени см. уравнения Колмогорова (марковский скачкообразный процесс) . В частности, в естественных науках прямое уравнение также известно как главное уравнение .
• В контексте диффузионного процесса для обратных уравнений Колмогорова см. Обратные уравнения Колмогорова (диффузия) . Прямое уравнение Колмогорова также известно как уравнение Фоккера – Планка .

Цепи Маркова с непрерывным временем

Первоначальный вывод уравнений Колмогорова начинается с уравнения Чепмена-Колмогорова (Колмогоров назвал его фундаментальным уравнением ) для непрерывных во времени и дифференцируемых марковских процессов на конечном дискретном пространстве состояний. В этой формулировке предполагается, что вероятности $P(i,s;j,t)$ являются непрерывными и дифференцируемыми функциями $t>s$, где $x,y\in \Omega$ (пространство состояний) и $t>s,t,s\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ — конечное и начальное время соответственно. Также предполагаются адекватные предельные свойства производных. Феллер выводит уравнения при несколько других условиях, начиная с концепции чисто разрывного марковского процесса , а затем формулируя их для более общих пространств состояний. Феллер доказывает существование решений вероятностного характера прямых уравнений Колмогорова и обратных уравнений Колмогорова в естественных условиях.

Для случая счетного пространства состояний положим $i,j$ вместо $x,y$. гласят Прямые уравнения Колмогорова :

${\frac {\partial P_{ij}}{\partial t}}(s;t)=\sum _{k}P_{ik}(s;t)A_{kj}(t)$,

где $A(t)$ - матрица скорости перехода (также известная как матрица генератора),

а обратные уравнения Колмогорова имеют вид

${\frac {\partial P_{ij}}{\partial s}}(s;t)=-\sum _{k}P_{kj}(s;t)A_{ik}(s)$

Функции $P_{ij}(s;t)$ непрерывны и дифференцируемы по обоим временным аргументам. Они представляют собойвероятность того, что система, находившаяся в состоянии $i$ во время $s$ переходит к состоянию $j$ в какое-то более позднее время $t>s$. Непрерывные величины $A_{ij}(t)$ удовлетворить

$A_{ij}(t)=\left[{\frac {\partial P_{ij}}{\partial u}}(t;u)\right]_{u=t},\quad A_{jk}(t)\geq 0,\ j\neq k,\quad \sum _{k}A_{jk}(t)=0.$

Связь с производящей функцией

По-прежнему в случае дискретного состояния, позволяя $s=0$ и предполагая, что система изначально находится в состоянии $i$ описывают прямые уравнения Колмогорова начальную задачу нахождения вероятностей процесса по величинам $A_{jk}(t)$. Мы пишем $p_{k}(t)=P_{ik}(0;t)$ где $\sum _{k}p_{k}(t)=1$, затем

${\frac {dp_{k}}{dt}}(t)=\sum _{j}A_{jk}(t)p_{j}(t);\quad p_{k}(0)=\delta _{ik},\qquad k=0,1,\dots .$

Для случая чистого процесса смерти с постоянными скоростями единственными ненулевыми коэффициентами являются $A_{j,j-1}=\mu _{j},\ j\geq 1$. Сдача в аренду

$\Psi (x,t)=\sum _{k}x^{k}p_{k}(t),\quad$

систему уравнений в этом случае можно преобразовать в уравнение в частных производных для ${\Psi }(x,t)$ с начальным состоянием $\Psi (x,0)=x^{i}$. После некоторых манипуляций система уравнений будет иметь вид:

${\frac {\partial \Psi }{\partial t}}(x,t)=\mu (1-x){\frac {\partial {\Psi }}{\partial x}}(x,t);\qquad \Psi (x,0)=x^{i},\quad \Psi (1,t)=1.$

Пример из биологии

Один пример из биологии приведен ниже:

$p_{n}'(t)=(n-1)\beta p_{n-1}(t)-n\beta p_{n}(t)$

Это уравнение применяется для моделирования роста населения с ростом рождаемости . Где $n$ - индекс населения с учетом исходной численности населения, $\beta$ уровень рождаемости и, наконец, $p_{n}(t)=\Pr(N(t)=n)$, т.е. вероятность достижения определенной численности популяции .

Аналитическое решение:

$p_{n}(t)=(n-1)\beta e^{-n\beta t}\int _{0}^{t}\!p_{n-1}(s)\,e^{n\beta s}\mathrm {d} s$

Это формула вероятности $p_{n}(t)$ по сравнению с предыдущими, т.е. $p_{n-1}(t)$.