Автоволновой ревербератор

В теории автоволновых явлений автоволновой ревербератор представляет собой автоволновой вихрь в двумерной активной среде . ^{[примечание 1]}

Ревербератор возникает в результате разрыва фронта плоской автоволны. Такой разрыв может произойти, например, при столкновении фронта с невозбудимым препятствием. При этом в зависимости от условий может возникнуть одно из двух явлений: спиральная волна , вращающаяся вокруг препятствия, или автоволновой ревербератор , вращающийся со свободным кончиком.

Введение

был Исследователи обнаружили, что ревербератор одним из первых автоволновых решений, и в силу этого исторического контекста он до сих пор остается наиболее изученным автоволновым объектом.

Вплоть до конца 20 века термин « автоволновой ревербератор » очень активно и широко использовался в научной литературе советских авторов в связи с активным развитием этих исследований в СССР (подробнее см. «Краткая история автоволновые исследования» в Autowave ). А поскольку советская научная литература очень часто переиздавалась в английском переводе (см., напр. ^{[А: 1]}^{[Б: 1]}^{[Б: 2]}^{[А: 2]}), термин « автоволновой ревербератор » стал известен и в англоязычных странах.

Ревербератор часто путают с другим , сходным с ним состоянием активной среды — со спиральной волной . Действительно, на первый взгляд эти два автоволновых решения выглядят практически одинаково. Более того, ситуация осложняется еще и тем, что спиральная волна при определенных обстоятельствах может стать ревербератором, а ревербератор, наоборот, может стать спиральной волной!

Однако следует помнить, что многие особенности вращающихся автоволн были достаточно подробно изучены еще в 1970-е годы, и уже тогда были выявлены некоторые существенные различия в свойствах спиральной волны и ревербератора. К сожалению, все подробные знания тех лет так и остались сейчас разбросанными по разным публикациям 1970-1990-х годов, которые стали малоизвестными теперь даже для новых поколений исследователей, не говоря уже о людях, далеких от этой темы исследований. Пожалуй, единственной книгой, в которой были более или менее полно собраны в виде рефератов основные сведения об автоволнах, известные на момент ее публикации, остаются до сих пор Труды «Автоволновые процессы в системах с диффузией». ^{[Б: 3]} вышедший в свет в 1981 году и ставший уже сегодня редким библиографическим изданием; его содержание было частично повторено в другой книге ^{[Б: 4]} в 2009 году.

Отличия ревербератора от спиральной волны подробно рассмотрены ниже. Но для начала полезно продемонстрировать эти различия на простой аналогии. Все хорошо знают времена года. При некоторых условиях зима может перейти в лето, а лето, наоборот, в зиму; и более того, эти чудесные превращения происходят довольно регулярно! Однако, хотя зима и лето похожи, например, регулярным чередованием дня и ночи, вы не можете подумать, что зима и лето — это одно и то же? Примерно то же самое происходит с ревербератором и спиральными волнами; и поэтому их не следует путать.

Полезно также иметь в виду, что сейчас известно, помимо вращающейся волны, немало других автоволновых решений, и с каждым годом их число непрерывно растет с увеличением скорости. По этим причинам (или в результате этих событий) в XXI веке было обнаружено, что многие выводы о свойствах автоволн, которые были широко известны среди читателей ранних статей по этой теме, а также широко обсуждавшиеся в печати того времени, - к сожалению, оказались своего рода ошибочными поспешными обобщениями.

Основная информация

«Историческое» определение

Важным отличием ревербератора от вращающейся вокруг отверстия спиральной волны, похожей по форме на ревербератор, является то, что ревербератор не привязан к какой-либо структуре среды. Благодаря этому свойству ревербераторы могут появляться и исчезать в разных местах среды.
Нажмите " показать ", чтобы увидеть оригинальный текст на русском языке.
Важным отличием ревербератора от близкой к нему по форме спиральной волны, вращающейся вокруг отверстия, является то, что ревербератор не привязан к какой-либо структуре в среде. Благодаря этому свойству ревербераторы могут возникать и исчезать в разных местах среды.
— (с.20), 1981, ^{[Б: 3]}

К вопросу о терминологии

Отметим здесь некоторые тонкости устоявшейся терминологии. в Вращающуюся автоволну двумерной среде разные авторы называют спиральной волной , ревербератором , роторной , вихревой или даже спиральной волной . Однако следует учитывать, что эти термины тем не менее функционально не взаимозаменяемы (они не являются полными синонимами). Кратко различия между ними заключаются в следующем.

Обычно термином «спиральная волна» обозначают только автоволны, вращающиеся вокруг невозбудимого препятствия в среде достаточно большого размера (то есть в данном случае такой протяженности, при которой препятствие мало по сравнению с размером самой среды). средний, но достаточно большой, чтобы обеспечить излом автоволны). Кончик спиральной волны движется всегда вдоль границы невозбудимых препятствий.

Важнейшее отличие автоволнового ревербератора от близкого к нему в виде спиральной волны, вращающейся вокруг препятствия, состоит в том, что ревербератор не привязан к какой-либо структуре в среде. Благодаря этому свойству ревербераторы могут возникать в разных местах среды не только при отсутствии невозбудимых препятствий, но и вообще в полностью однородной среде (при соответствующих начальных условиях). В английской научной литературе наиболее близким по смыслу является термин «ротор». ^{[А: 3]} Однако мы отдаем предпочтение термину ревербератор, хотя он сейчас и менее употребляется (в англоязычной литературе), чем термин «ротор», поскольку имеет два преимущества: 1) достаточно короткий и 2) не перегружен другим смыслом (в то время как ротором принято называть уже движущуюся часть электродвигателя , и, кроме того, этот термин используется в математической теории поля ). (...)

Что касается термина «автоволновой вихрь», то можно утверждать (с некоторой натяжкой, что особенно легко для математиков), что ревербератор представляет собой двумерный вихрь (и это чистая истина с точки зрения математики). Для естественных наук, которыми являются также биофизика, как и современная медицина, двумерных объектов в реальном мире не существует, и поэтому о таких двумерных объектах в этих науках можно говорить лишь очень условно, подразумевая, что в В контексте обсуждаемых вопросов толщина среды не влияет на поведение рассматриваемого явления.

Забегая вперед, скажем, что простой свиток называется трехмерным вихрем, имеющим одинаковые ревербераторы в любой момент времени в каждом участке, перпендикулярном его оси вращения, и поэтому его поведение в каждом из участков практически идентично поведению ревербератор. Но это происходит только в очень ограниченных случаях, и обычно простой свиток легко трансформируется в более сложные объекты. Поэтому замена терминов «свиток» и «ревербератор» в данном случае совершенно неактуальна, а термин «свиток», по мнению авторов, уместно использовать только для описания вращающихся автоволн в трехмерных средах — т. е. в тех случаях, когда нельзя пренебречь эффектами, вызванными толщиной среды.

В свете этих терминологических замечаний в дальнейшем тексте мы будем писать « 2D-автовихрь » (« двумерный автоволновой вихрь »), говоря вообще об автоволнах, вращающихся в двумерной среде; и, в частности, описывая поведение 2D-автовихря, мы будем использовать соответствующий уточняющий термин - например, «спиральная волна» или «ревербератор».
Нажмите " показать ", чтобы увидеть оригинальный текст на русском языке.
Отметим здесь же некоторые тонкости установившейся терминологии. Разные авторы называют вращающиеся в двумерной среде автоволны спиральными волнами (spiral wave), ревербераторами, роторами (rotor), автоволновыми вихрями (vortex) или даже свитками (scroll wave). Однако следует учитывать, что всё же эти термины не являются полными синонимами. Вкратце различия между ними следующие.

Термином «спиральная волна» обозначают обычно лишь автоволны, вращающиеся вокруг невозбудимого препятствия в среде достаточно большой протяженности, то есть в данном случае такой протяженности, в которой препятствие является малым по сравнению с размером среды, однако достаточно большим, чтобы обеспечивать разрыв автоволны. В спиральной волне ее кончик движется по границе невозбудимого препятствия.

Важнейшим отличием ревербератора от близкой к нему по форме спиральной волны, вращающейся вокруг отверстия, является то, что ревербератор не привязан к какой-либо структуре в среде. Благодаря этому свойству ревербераторы могут возникать в разных местах среды, причем не только при отсутствии невозбудимых препятствия, но и вообще в полностью однородной среде (при подходящих начальных условиях). В англоязычной литературе наиболее близким по смыслу является термин «ротор». Однако в своем изложении мы будем предпочтение отдавать термину ревербератор: хотя оно в настоящее время менее используется, чем термин «ротор», однако имеет два преимущества, одновременно являясь и достаточно коротким, и не занятым другими значениями (в то время как ротором, например, принято уже называть движущуюся часть электромотора, и, кроме того, этот термин широко используется в математической теории поля). (...)

Что же до терминов «автоволновой вихрь», то с некоторыми натяжками (особенно легкими для математиков) можно утверждать, что ревербератор — это двумерный вихрь (и это с точки зрения математики абсолютно верно). Для естественных наук, каковыми являются и биофизика, и современная медицина, двумерных объектов не существует в реальном мире, и поэтому о двумерных объектах в этих науках говорят лишь очень условно, подразумевая при этом лишь то, что в контексте обсуждаемых вопросов толщина среды не сказывается на поведении рассматриваемого или изучаемого явления.

Забегая вперед, скажем, что свитком (простым свитком) называют такой трехмерный вихрь, который в каждый момент времени в сечении, перпендикулярном своей оси вращения, являет собой идентичные ревербераторы, и поэтому его поведение в каждом из сечений практически тождественно поведению ревербератора. Но это происходит лишь в очень ограниченных условиях, а в остальных случаях простой свиток трансформируется в более сложные объекты. Поэтому в данном случае подмена терминов «свиток» и «ревербератор» является совершенно неуместной, и термин «свиток», по мнению авторов, уместно использовать лишь при описании автоволн, вращающихся в трехмерных средах, — то есть в тех случаях, когда нельзя пренебречь эффектами, обусловленными толщиной рассматриваемой среды.

В свете этих терминологических замечаний мы в дальнейшем изложении, говоря вообще о вращающихся в двумерной среде автоволнах, будем использовать сокращение 2D-автовихрь (двумерный автоволновой вихрь), а в частных случаях описания поведения 2D-автовихря мы будем использовать соответствующий уточняющий термин: например, «спиральная волна» или «ревербератор».
— Yu.E. Elkin, A.V. Moskalenko, 2009, ^{[Б: 4]}

Типы поведения ревербератора

«Классические» режимы

В активных средах могут существовать различные автоволновые режимы, такие как плоские волны или спиральные волны , но только при определенных условиях свойств среды. Используя модель Фитцхью-Нагумо для общей активной среды, Winfree ^{[А: 3]} построил диаграмму, изображающую области пространства параметров, в которых могут наблюдаться основные явления. Такие диаграммы являются распространенным способом представления различных динамических режимов, наблюдаемых как в экспериментальных, так и в теоретических условиях. Их иногда называют цветниками, поскольку дорожки, прочерченные автоволновыми наконечниками, часто могут напоминать лепестки цветка. Справа показан цветник модели ФитцХью-Нагумо. Она содержит: линию ∂P , ограничивающую диапазон параметров модели, при которых импульсы могут распространяться в одномерной среде, а плоские автоволны могут распространяться в двумерной среде; «граница ротора» ∂R , ограничивающая диапазон параметров, при которых ревербераторы могут вращаться вокруг неподвижных сердечников (т.е. совершать равномерное круговое вращение); граница меандра , ограничивающие области, где могут существовать ∂M и гипермеандра граница ∂C двухпериодные и более сложные (возможно, хаотические) режимы. Вращающиеся автоволны с крупными ядрами существуют только в областях с параметрами, близкими к границе ∂R .

Аналогичные автоволновые режимы были получены и для других моделей — модели Билера-Ройтера, ^{[А: 4]} Модель Баркли, ^{[А: 5]} Aliev-Panfilov model, ^{[А: 6]} Модель Фентона-Кармы и т. д.

Также было показано ^{[А: 7]} что эти простые автоволновые режимы должны быть общими для всех активных сред, поскольку систему дифференциальных уравнений любой сложности, описывающую ту или иную активную среду, всегда можно упростить до двух уравнений.

В простейшем случае без дрейфа (т. е. в режиме равномерного кругового вращения ) вершина ревербератора вращается вокруг неподвижной точки по окружности определенного радиуса (круговое движение вершины ревербератора ). Автоволна не может проникнуть в круг, ограниченный этой окружностью. По мере приближения к центру вращения ревербератора амплитуда импульса возбуждения уменьшается, и при относительно малой возбудимости среды в центре ревербератора возникает область конечного размера, где амплитуда возбуждения импульс равен нулю (напомним, что мы говорим сейчас об однородной среде, для каждой точки которой ее свойства одинаковы). Эту область низкой амплитуды в центре ревербератора обычно называют ядром ревербератора . Существование такой области в центре ревербератора кажется, на первый взгляд, совершенно непонятным, поскольку она все время граничит с возбужденными участками. Детальное исследование этого явления показало ^{[Б: 3]} что зона покоя в центре ревербератора сохраняет его нормальную возбудимость, а существование области покоя в центре ревербератора связано с явлением критической кривизны. В случае «бесконечной» однородной среды радиус ядра и скорость вращения ротора определяются только свойствами самой среды, а не начальными условиями. Форма фронта вращающейся спиральной волны на расстоянии от центра вращения близка к эвольвенте окружности - границам ее ядра. ^{[А: 8]} Определенный размер сердцевины ревербератора обусловлен тем, что волна возбуждения, циркулирующая по замкнутому пути, должна полностью уместиться в этом пути, не натыкаясь на собственный тугоплавкий хвост .

Под критическим размером ревербератора понимают минимальный размер однородной среды, в которой ревербератор может существовать неограниченно долго. Для оценки критического размера ревербератора иногда используют размер его ядра, полагая, что прилегающая к ядру область среды должна быть достаточной для существования устойчивого повторного входа. Однако при количественном исследовании зависимости поведения ревербератора от проводимости быстрого трансмембранного тока (характеризующего возбудимость среды) было обнаружено ^{[Б: 3]} что критический размер ревербератора и размер его ядра являются его разными характеристиками, а критический размер ревербератора во многих случаях намного больше, чем размер его ядра (т.е. ревербератор умирает, даже в том случае, если его ядро легко укладывается в границы среды и ее дрейф отсутствует)

Режимы вынужденного дрейфа

При меандре и гипермеандре на смещение центра вращения автоволны (т.е. его дрейф) влияют силы, порождаемые самой вращающейся автоволной.

Однако в результате научного исследования вращающихся автоволн был также выявлен ряд внешних условий, вызывающих дрейф ревербератора. Это может быть, например, неоднородность активной среды по какому-либо параметру. Возможно, это работы Бикташевой. ^{[Б: 2]}^{[А: 9]}^{[А: 10]}^{[А: 11]} где в настоящее время наиболее полно представлены различные виды дрейфа ревербератора (хотя есть и другие авторы ^{[А: 12]} которые также занимаются исследованием дрейфа автоволнового ревербератора).

В частности, Бикташев предлагает ^{[А: 10]} Выделить следующие виды дрейфа ревербератора в активной среде:

Резонансный дрейф.
Неоднородность, вызванная дрейфом.
Дрейф, вызванный анизотропией.
Дрейф, вызванный границей (см. также ^{[Б: 2]}).
Взаимодействие спиралей.
Высокочастотный индуцированный дрейф.

Заметим, что даже по такому простому вопросу, что следует называть дрейфом автоволн, а что не следует называть, среди исследователей до сих пор нет единого мнения. Некоторые исследователи (в основном математики) склонны считать дрейфом ревербератора только те его смещения, которые происходят под воздействием внешних событий (и эта точка зрения определяется именно особенностью математического подхода к исследованию автоволн). Другая часть исследователей не обнаружила существенных различий между самопроизвольным перемещением ревербератора в результате порождаемых им самим событий и его перемещением в результате внешних воздействий; и поэтому эти исследователи склонны считать, что меандр и гипермеандр также являются вариантами дрейфа, а именно самопроизвольного дрейфа ревербератора . По этому вопросу терминологии в научной литературе дискуссий не было, но можно легко обнаружить особенности описания одних и тех же явлений разными авторами.

Автоволна рыскания

При численном исследовании ревербератора с использованием модели Алиева-Панфилова ^{[А: 6]} феномен бифуркационной памяти выявлен , когда ревербератор самопроизвольно меняет свое поведение с меандрового на равномерное круговое вращение ; этот новый режим получил название автоволнового кружева . ^{[А: 13]}^{[А: 14]}^{[Б: 4]}

Кратко, в процессе автоволнового шнурка происходит самопроизвольное торможение дрейфа ревербератора силами, создаваемыми самим ревербератором, при этом скорость его дрейфа постепенно снижается до нуля. Таким образом, режимный меандр вырождается в простое равномерное круговое вращение. Как уже говорилось, этот необычный процесс связан с явлением бифуркационной памяти.

Когда был открыт автоволновой шнурок, возник первый вопрос: существует ли меандр вообще или остановку дрейфа ревербератора можно наблюдать каждый раз во всех случаях, называемых меандром, если наблюдение будет достаточно длительным? Сравнительный количественный анализ скорости дрейфа ревербератора в режимах меандра и кружева выявил четкое различие между этими двумя типами эволюции ревербератора: при быстром выходе скорости дрейфа на стационарное значение в режиме меандра наблюдается устойчивое уменьшение дрейфа. Скорость вихря можно наблюдать во время шнурка, в котором четко выделяются фаза медленного торможения и фаза быстрого торможения скорости дрейфа.

Выявление автоволнового кружева может иметь важное значение для кардиологии . Известно, что ревербераторы демонстрируют удивительную стабильность своих свойств, ведут себя «по своему усмотрению», и их поведение может существенно влиять только на события, происходящие вблизи вершины ревербератора. Тот факт, что на поведение ревербератора могут существенно влиять только события, происходящие вблизи его ядра, приводит, например, к тому, что при встрече с неоднородностью невозбудимости ревербератора (например, небольшим рубцом миокарда) кончик ревербератора вращающаяся волна «прилипает» к этой неоднородности, и ревербератор начинает вращаться вокруг неподвижных невозбудимых препятствий. переход от полиморфной тахикардии наблюдается На ЭКГ в таких случаях к мономорфной. Это явление называется « закреплением » спиральной волны. ^{[А: 15]}Однако при моделировании было обнаружено, что спонтанный переход полиморфной тахикардии в мономорфную можно наблюдать и на ЭКГ во время автоволнового шнура; иными словами, шнурок может быть еще одним механизмом трансформации полиморфной желудочковой тахикардии в мономорфную. ^{[А: 16]} Таким образом, автоволновая теория предсказывает существование особого типа желудочковых аритмий, условно названного «лацетическими». ^{[ нужна ссылка ]} которые кардиологи до сих пор не различают в диагностике.

Причины различия вариантов вращающихся автоволн

Напомним, что с 1970-х гг. ^{[Б: 3]} до настоящего времени принято различать три варианта вращающихся автоволн:

волна на ринге,
спиральная волна,
автоволновой ревербератор.

Размеры сердцевины ревербератора обычно меньше минимального критического размера круговой траектории циркуляции, что связано с явлением критической кривизны . Кроме того, период рефрактерности оказывается более длительным для волн с ненулевой кривизной (ревербератор и спиральная волна) и начинает увеличиваться с уменьшением возбудимости среды раньше, чем период рефрактерности для плоских волн (в случае кругового вращения ). Эти и другие существенные различия между ревербератором и круговым вращением волны возбуждения заставляют различать эти два режима входа в атмосферу.

На рисунке показаны обнаруженные различия в поведении плоской автоволны, циркулирующей в кольце и ревербераторе. Видно, что в одних и тех же локальных характеристиках возбудимой среды (возбудимости, рефрактерности и т.п., задаваемых нелинейным элементом), имеются существенные количественные различия между зависимостями характеристик ревербератора и характеристик режима одномерного вращения. импульса, хотя соответствующие зависимости качественно совпадают.

Примечания

^ Небрежное использование специальных терминов даже в научной литературе за сорок лет исследования автоволновых процессов (примерно с 1970 по 2010 годы) привело к довольно большой путанице в употреблении названий вращающейся автоволны. Сами исследователи зачастую способны догадываться из контекста того, что описано в публикации; однако даже исследователям других, пусть и смежных, областей знаний практически невозможно разобраться в тонкостях автоволновых процессов из-за такой путаницы терминов.

Ссылки

Книги

^ Васильев В.А.; Романовский, Ю. М.; Чернавский, Д.С.; Яхно, В.Г. (1987). Автоволновые процессы в кинетических системах. Пространственная и временная самоорганизация в физике, химии, биологии и медицине . Берлин: Springer Нидерланды. п. 261. дои : 10.1007/978-94-009-3751-2 . ISBN 978-94-010-8172-6 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Бикташев В.Н. (1989). «Дрейф ревербератора в активной среде из-за взаимодействия с границами». В: Гапонов-Грехов А.В.; Рабинович, М.И.; Энгельбрехт, Дж. (ред.). Нелинейные волны II. Динамика и эволюция . Берлин: Шпрингер. стр. 87–96. ISBN 978-3540506546 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Грехова, М. Т., изд. (1981). Автоволновые процессы в системах с диффузией [ Autowave processes in systems with diffusion ] (in Russian). Горький: Институт прикладной математики АН СССР. p. 287.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Elkin, Yu. E.; Moskalenko, A. V. (2009). "Базовые механизмы аритмий сердца" [Basic mechanisms of cardiac arrhythmias]. In Ardashev, prof. A.V. (ed.). Клиническая аритмология [ Клиническая аритмология ] (на русском языке). Москва: МедПрактика. п. 1220. ИСБН 978-5-98803-198-7 .

Статьи

^ Васильев В.А.; Романовский Ю М; Яхно, В.Г. (1979). «Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах». Сов. Физ. Усп. (журнал). 22 (8): 615–639. дои : 10.1070/PU1979v022n08ABEH005591 .
^ Волобуев А.Н.; Труфанов Л.А.; Овчинников, Е.Л. (1997). «Электрический ревербератор на возбужденной поверхности миокарда». Биофизика (журнал). 42 (4): 952–956. ISSN 0006-3029 . ПМИД 9410022 .
^ Jump up to: ^а ^б Уинфри, А. (1991). «Разновидности поведения спиральных волн: подход экспериментатора к теории возбудимых сред». Хаос (журнал). 1 (3): 303–334. Бибкод : 1991Хаос...1..303W . дои : 10.1063/1.165844 . ISSN 1054-1500 . ПМИД 12779929 .
^ Ефимов, ИР; Кринский, В.И.; Джалифе, Дж. (1995). «Динамика вращающихся вихрей в модели сердечной ткани Билера-Рейтера» . Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 5 (3/4): 513–526. Бибкод : 1995CSF.....5..513E . дои : 10.1016/0960-0779(95)95761-F . ISSN 0960-0779 .
^ Belincev, B. N.; Vol'kenshteyn, M. V. (1977). Фазовые переходы в эволюционирующей популяции Фазовые переходы в эволюционирующей популяции. ДАН (журнал) (на русском языке). 1 : 205–207.
^ Jump up to: ^а ^б Алиев Р.; Панфилов, А. (1996). «Простая двухвариантная модель сердечного возбуждения». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 7 (3): 293–301. Бибкод : 1996CSF.....7..293A . CiteSeerX 10.1.1.52.4271 . дои : 10.1016/0960-0779(95)00089-5 . ISSN 0960-0779 .
^ Krinskiy, V. I.; Kokoz, Yu. M. (1973). "Анализ уравнений возбудимых мембран III. Мембрана волокна Пуркинье. Сведение уравнения Нобла к системе второго порядка. Анализ аномалии нуль-изоклин" [Analysis of the equations of excitable membranes III. The membrane of the Purkinje fibres. Reduction of Noble equation to second-order system. Analysis of anomalies nullclines]. Biofizika (journal) (in Russian). 18 (6): 1067–1073.
^ Винер, Н.; Розенблют, А. (1946). «Математическая формулировка задачи о проведении импульсов в сети связанных возбудимых элементов, в частности в сердечной мышце». Арх. Инст. Кардиология Мексики (журнал). 16 (3–4): 205–265. ПМИД 20245817 .
^ Бикташев В.Н.; Холден, А.В. (1995). «Резонансный дрейф автоволновых вихрей в 2D и эффекты границ и неоднородностей». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 5 (3, 4): 575–622. дои : 10.1016/0960-0779(93)e0044-c . ISSN 0960-0779 .
^ Jump up to: ^а ^б Бикташев, В.Н. (2007). «Дрейф спиральных волн» . Схоларпедия (журнал). 2 (4): 1836. Бибкод : 2007SchpJ...2.1836B . doi : 10.4249/scholarpedia.1836 .
^ Бикташева, И.В.; Баркли, Д.; Бикташев В.Н.; Фулкс, Эй Джей (2010). «Расчет скорости дрейфа спиральных волн с использованием функций отклика». Физ. Преподобный Е (журнал). 81 (6): 066202. arXiv : 0909.5372 . Бибкод : 2010PhRvE..81f6202B . дои : 10.1103/physreve.81.066202 . ПМИД 20866496 . S2CID 14976603 .
^ Davydov, B. A.; Zykov, B. C.; Mihaylov, A. S.; Brazhnik, P. K. (1988). Дрейф и резонанс спиральных волн в активных средах Дрейф и резонанс спиральных волн в активных средах. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика (журнал) (31): 574–582.
^ Элькин, Ю. Э.; Москаленко А.В.; Стармер, Ч.Ф. (2007). «Спонтанная остановка дрейфа спиральных волн в однородных возбудимых средах» . Математическая биология и биоинформатика (журнал). 2 (1): 1–9. ISSN 1994-6538 .
^ Москаленко А.В.; Элькин, Ю. Э. (2009). «Шнурок: новый тип поведения спиральных волн». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 40 (1): 426–431. Бибкод : 2009CSF....40..426M . дои : 10.1016/j.chaos.2007.07.081 . ISSN 0960-0779 .
^ Kukushkin, N. I.; Medvinsky, A. B. (2004). Желудочковая тахикардия: Понятия и механизмы Желудочковые тахикардии: понятия и механизмы. Вестник Аритмологии (журнал) (на русском языке) (35): 49–55. ISSN 1561-8641 .
^ Москаленко А.В.; Элькин, Ю. Э. (2007). «Действительно ли мономорфная тахикардия мономорфна?». Биофизика (журнал). 52 (2): 237–240. дои : 10.1134/S0006350907020169 . S2CID 95986648 .

Внешние ссылки

Несколько простых классических моделей автоволн (JS+WebGL), которые можно запускать прямо в веб-браузере; разработал Евгений Демидов.

[P001-1] Небрежное использование специальных терминов даже в научной литературе за сорок лет исследования автоволновых процессов (примерно с 1970 по 2010 годы) привело к довольно большой путанице в употреблении названий вращающейся автоволны. Сами исследователи зачастую способны догадываться из контекста того, что описано в публикации; однако даже исследователям других, пусть и смежных, областей знаний практически невозможно разобраться в тонкостях автоволновых процессов из-за такой путаницы терминов.

[b-Yakhno-1987en-3] Васильев В.А.; Романовский, Ю. М.; Чернавский, Д.С.; Яхно, В.Г. (1987). Автоволновые процессы в кинетических системах. Пространственная и временная самоорганизация в физике, химии, биологии и медицине . Берлин: Springer Нидерланды. п. 261. дои : 10.1007/978-94-009-3751-2 . ISBN 978-94-010-8172-6 .

[b-Biktashev-1989en-4] Jump up to: ^а ^б ^с Бикташев В.Н. (1989). «Дрейф ревербератора в активной среде из-за взаимодействия с границами». В: Гапонов-Грехов А.В.; Рабинович, М.И.; Энгельбрехт, Дж. (ред.). Нелинейные волны II. Динамика и эволюция . Берлин: Шпрингер. стр. 87–96. ISBN 978-3540506546 .

[b-Gorky-1981-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Грехова, М. Т., изд. (1981). Автоволновые процессы в системах с диффузией [ Autowave processes in systems with diffusion ] (in Russian). Горький: Институт прикладной математики АН СССР. p. 287.

[b-Ardashev-2009p06-7] Jump up to: ^а ^б ^с Elkin, Yu. E.; Moskalenko, A. V. (2009). "Базовые механизмы аритмий сердца" [Basic mechanisms of cardiac arrhythmias]. In Ardashev, prof. A.V. (ed.). Клиническая аритмология [ Клиническая аритмология ] (на русском языке). Москва: МедПрактика. п. 1220. ИСБН 978-5-98803-198-7 .

[a-Yakhno-1979en-2] Васильев В.А.; Романовский Ю М; Яхно, В.Г. (1979). «Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах». Сов. Физ. Усп. (журнал). 22 (8): 615–639. дои : 10.1070/PU1979v022n08ABEH005591 .

[a-Volobuev-1997en-5] Волобуев А.Н.; Труфанов Л.А.; Овчинников, Е.Л. (1997). «Электрический ревербератор на возбужденной поверхности миокарда». Биофизика (журнал). 42 (4): 952–956. ISSN 0006-3029 . ПМИД 9410022 .

[a-Winfree-1991-8] Jump up to: ^а ^б Уинфри, А. (1991). «Разновидности поведения спиральных волн: подход экспериментатора к теории возбудимых сред». Хаос (журнал). 1 (3): 303–334. Бибкод : 1991Хаос...1..303W . дои : 10.1063/1.165844 . ISSN 1054-1500 . ПМИД 12779929 .

[a-Efimov-1995-9] Ефимов, ИР; Кринский, В.И.; Джалифе, Дж. (1995). «Динамика вращающихся вихрей в модели сердечной ткани Билера-Рейтера» . Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 5 (3/4): 513–526. Бибкод : 1995CSF.....5..513E . дои : 10.1016/0960-0779(95)95761-F . ISSN 0960-0779 .

[a-Belinec-1977-10] Belincev, B. N.; Vol'kenshteyn, M. V. (1977). Фазовые переходы в эволюционирующей популяции Фазовые переходы в эволюционирующей популяции. ДАН (журнал) (на русском языке). 1 : 205–207.

[a-Aliev-1996-11] Jump up to: ^а ^б Алиев Р.; Панфилов, А. (1996). «Простая двухвариантная модель сердечного возбуждения». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 7 (3): 293–301. Бибкод : 1996CSF.....7..293A . CiteSeerX 10.1.1.52.4271 . дои : 10.1016/0960-0779(95)00089-5 . ISSN 0960-0779 .

[a-Kokoz-1973-12] Krinskiy, V. I.; Kokoz, Yu. M. (1973). "Анализ уравнений возбудимых мембран III. Мембрана волокна Пуркинье. Сведение уравнения Нобла к системе второго порядка. Анализ аномалии нуль-изоклин" [Analysis of the equations of excitable membranes III. The membrane of the Purkinje fibres. Reduction of Noble equation to second-order system. Analysis of anomalies nullclines]. Biofizika (journal) (in Russian). 18 (6): 1067–1073.

[a-Wiener-1946-13] Винер, Н.; Розенблют, А. (1946). «Математическая формулировка задачи о проведении импульсов в сети связанных возбудимых элементов, в частности в сердечной мышце». Арх. Инст. Кардиология Мексики (журнал). 16 (3–4): 205–265. ПМИД 20245817 .

[a-Biktashev-1995-14] Бикташев В.Н.; Холден, А.В. (1995). «Резонансный дрейф автоволновых вихрей в 2D и эффекты границ и неоднородностей». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 5 (3, 4): 575–622. дои : 10.1016/0960-0779(93)e0044-c . ISSN 0960-0779 .

[a-Biktashev-2007-15] Jump up to: ^а ^б Бикташев, В.Н. (2007). «Дрейф спиральных волн» . Схоларпедия (журнал). 2 (4): 1836. Бибкод : 2007SchpJ...2.1836B . doi : 10.4249/scholarpedia.1836 .

[a-Biktashev-2010-16] Бикташева, И.В.; Баркли, Д.; Бикташев В.Н.; Фулкс, Эй Джей (2010). «Расчет скорости дрейфа спиральных волн с использованием функций отклика». Физ. Преподобный Е (журнал). 81 (6): 066202. arXiv : 0909.5372 . Бибкод : 2010PhRvE..81f6202B . дои : 10.1103/physreve.81.066202 . ПМИД 20866496 . S2CID 14976603 .

[a-Davydov-1988-17] Davydov, B. A.; Zykov, B. C.; Mihaylov, A. S.; Brazhnik, P. K. (1988). Дрейф и резонанс спиральных волн в активных средах Дрейф и резонанс спиральных волн в активных средах. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика (журнал) (31): 574–582.

[a-Elkin-2007-18] Элькин, Ю. Э.; Москаленко А.В.; Стармер, Ч.Ф. (2007). «Спонтанная остановка дрейфа спиральных волн в однородных возбудимых средах» . Математическая биология и биоинформатика (журнал). 2 (1): 1–9. ISSN 1994-6538 .

[a-Moskalenko-2009-19] Москаленко А.В.; Элькин, Ю. Э. (2009). «Шнурок: новый тип поведения спиральных волн». Хаос, солитоны и фракталы (журнал). 40 (1): 426–431. Бибкод : 2009CSF....40..426M . дои : 10.1016/j.chaos.2007.07.081 . ISSN 0960-0779 .

[a-Kukushkin-2004-20] Kukushkin, N. I.; Medvinsky, A. B. (2004). Желудочковая тахикардия: Понятия и механизмы Желудочковые тахикардии: понятия и механизмы. Вестник Аритмологии (журнал) (на русском языке) (35): 49–55. ISSN 1561-8641 .

[a-Moskalenko-2007b-21] Москаленко А.В.; Элькин, Ю. Э. (2007). «Действительно ли мономорфная тахикардия мономорфна?». Биофизика (журнал). 52 (2): 237–240. дои : 10.1134/S0006350907020169 . S2CID 95986648 .

[примечание 1]

[А: 1]

[Б: 1]

[Б: 2]

[А: 2]

[Б: 3]

[Б: 4]

[А: 3]

[А: 4]

[А: 5]

[А: 6]

[А: 7]

[А: 8]

[А: 9]

[А: 10]

[А: 11]

[А: 12]

[А: 13]

[А: 14]

[А: 15]

[А: 16]