Вектор вероятности

В математике и статистике вектор вероятности или стохастический вектор — это вектор с неотрицательными элементами, сумма которых равна единице.

Позиции (индексы) вектора вероятности представляют возможные результаты дискретной случайной величины , а вектор дает нам функцию массы вероятности этой случайной величины, что является стандартным способом характеристики дискретного распределения вероятностей . ^[1]

Примеры

Вот несколько примеров векторов вероятности. Векторы могут быть столбцами или строками.

$x_{0}={\begin{bmatrix}0.5\\0.25\\0.25\end{bmatrix}},$
$x_{1}={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},$
$x_{2}={\begin{bmatrix}0.65&0.35\end{bmatrix}},$
$x_{3}={\begin{bmatrix}0.3&0.5&0.07&0.1&0.03\end{bmatrix}}.$

Геометрическая интерпретация

Запись векторных компонентов вектора $p$ как

p={\begin{bmatrix}p_{1}\\p_{2}\\\vdots \\p_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad p={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&\cdots &p_{n}\end{bmatrix}}

компоненты вектора должны в сумме давать единицу:

\sum _{i=1}^{n}p_{i}=1

Каждый отдельный компонент должен иметь вероятность от нуля до единицы:

0\leq p_{i}\leq 1

для всех $i$ . Следовательно, набор стохастических векторов совпадает со стандартным $(n-1)$ -симплекс . Это точка, если $n=1$ , сегмент, если $n=2$ , (закрашенный) треугольник, если $n=3$ , (заполненный) тетраэдр $n=4$ , и т. д.

Характеристики

Среднее значение любого вектора вероятности равно $1/n$ .
Кратчайший вектор вероятности имеет значение $1/n$ как каждый компонент вектора, и имеет длину ${\textstyle 1/{\sqrt {n}}}$ .
Самый длинный вектор вероятности имеет значение 1 в одном компоненте и 0 во всех остальных, а его длина равна 1.
Самый короткий вектор соответствует максимальной неопределенности, самый длинный — максимальной уверенности.
Длина вектора вероятности равна ${\textstyle {\sqrt {n\sigma ^{2}+1/n}}}$ ; где $\sigma ^{2}$ — дисперсия элементов вектора вероятности.

См. также

Ссылки

^ Джейкобс, Конрад (1992), Дискретная стохастика , Базельские учебники, том. 3, Биркхойзер Верлаг, Базель, стр. 45, номер домена : 10.1007/978-3-0348-8645-1 , ISBN 3-7643-2591-7 , МР 1139766 .

[1] Джейкобс, Конрад (1992), Дискретная стохастика , Базельские учебники, том. 3, Биркхойзер Верлаг, Базель, стр. 45, номер домена : 10.1007/978-3-0348-8645-1 , ISBN 3-7643-2591-7 , МР 1139766 .

[1]