Магнитная диффузия

Магнитная диффузия относится к движению магнитных полей , обычно в присутствии проводящего твердого тела или жидкости, например плазмы . Движение магнитных полей описывается уравнением магнитной диффузии и обусловлено, прежде всего, индукцией и диффузией магнитных полей через материал. Уравнение магнитной диффузии — это уравнение в частных производных, обычно используемое в физике. Понимание этого явления имеет важное значение для магнитогидродинамики и имеет важные последствия в астрофизике, геофизике и электротехнике.

Уравнение

Уравнение магнитной диффузии (также называемое уравнением индукции ) имеет вид $${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}$$где $\mu _{0}$ это проницаемость свободного пространства и $\sigma$ – электропроводность материала, которую предполагается постоянной. ${\vec {v}}$ обозначает (нерелятивистскую) скорость плазмы. Первый член в правой части учитывает эффекты индукции плазмы, а второй — диффузию . Последний действует как фактор диссипации, приводящий к потере энергии магнитного поля на тепло. Относительная важность двух членов характеризуется магнитным числом Рейнольдса , $R_{m}$.

В случае неоднородной проводимости уравнение магнитной диффузии имеет вид $${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right]-{\frac {1}{\mu _{0}}}\nabla \times \left[{\frac {1}{\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}\right]$$однако решить ее становится значительно сложнее.

Вывод

Исходя из обобщенного закона Ома : $${\vec {J}}=\sigma \left({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)$$и уравнения ротора для малых токов смещения (т.е. низких частот) $$\nabla \times {\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {J}}+\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}\approx \mu _{0}{\vec {J}}$$$$\nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$$заменять ${\vec {J}}$ в закон Ампера-Максвелла, чтобы получить $${\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}\quad \Rightarrow \quad {\vec {E}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}-{\vec {v}}\times {\vec {B}}.$$Взяв ротор приведенного выше уравнения и подставив его в закон Фарадея, $$\nabla \times {\vec {E}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla \times {\vec {B}}-{\vec {v}}\times {\vec {B}}\right)=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}.$$Это выражение можно еще упростить, записав его через i -ю компоненту ${\vec {B}}$ и тензор Леви-Чевита $\varepsilon _{ijk}$: $${\begin{aligned}-{\frac {\partial B_{i}}{\partial t}}&=\varepsilon _{ijk}\partial _{j}\left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\varepsilon _{klm}\partial _{l}B_{m}-\varepsilon _{klm}v_{l}B_{m}\right)\\&=\varepsilon _{kij}\varepsilon _{klm}\left({\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\partial _{j}\partial _{l}B_{m}-\left(v_{l}\partial _{j}B_{m}+B_{m}\partial _{j}v_{l}\right)\right)\end{aligned}}$$Использование личности $\varepsilon _{kij}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl}$ и вспоминая $\partial _{j}B_{j}=0$, перекрестные произведения можно исключить: $${\begin{aligned}-{\frac {\partial B_{i}}{\partial t}}&={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\left(\partial _{i}\partial _{j}B_{j}-\partial _{j}\partial _{j}B_{i}\right)-\left(v_{i}\partial _{j}B_{j}-v_{j}\partial _{j}B_{i}\right)-\left(B_{j}\partial _{j}v_{i}-B_{i}\partial _{j}v_{j}\right)\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\partial _{j}\partial _{j}B_{i}+v_{j}\partial _{j}B_{i}-\left(B_{j}\partial _{j}v_{i}-B_{i}\partial _{j}v_{j}\right)\end{aligned}}$$Записанное в векторной форме, окончательное выражение имеет вид $${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}+\left({\vec {v}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}={\frac {D{\vec {B}}}{Dt}}=\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {v}}-{\vec {B}}\left(\nabla \cdot {\vec {v}}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}$$где ${\frac {D}{Dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot \nabla$ является материальной производной . Это можно преобразовать в более полезную форму, используя тождества векторного исчисления и $\nabla \cdot {\vec {B}}=0$: $${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times [{\vec {v}}\times {\vec {B}}]+{\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}$$В случае ${\vec {v}}=0$, это становится уравнением диффузии магнитного поля: $${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}=\eta \nabla ^{2}{\vec {B}}$$где $\eta ={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}$ - магнитная диффузия .

Предельные случаи

В некоторых случаях можно пренебречь одним из членов уравнения магнитной диффузии. Это делается путем оценки магнитного числа Рейнольдса. $$R_{m}={\frac {vL}{\eta }}$$где $\eta$ это диффузионная способность, $v$ - величина скорости плазмы и $L$ – характерная длина плазмы.

$(R_{m})$	Физическое состояние	Доминирующий термин	Уравнение магнитной диффузии	Примеры
$\gg 1$	Большая электропроводность, большие масштабы длины или высокая скорость плазмы.	Индуктивный член в этом случае доминирует. Движение магнитных полей определяется потоком плазмы. Так обстоит дело с большинством естественно встречающейся плазмы во Вселенной.	${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\approx \nabla \times [{\vec {v}}\times {\vec {B}}]$	Солнце ​ $(R_{m}\approx 10^{6})$ или ядро ​​земли $(R_{m}\approx 10^{3})$
$\ll 1$	Малая электропроводность, малые масштабы длины или низкая скорость плазмы.	В этом случае доминирует диффузионный член. Движение магнитного поля подчиняется типичному уравнению диффузии (непроводящей) жидкости.	${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\approx {\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}$	Солнечные вспышки или создаются в лабораториях с использованием ртути или других жидких металлов .

Связь со скин-эффектом

На низких частотах глубина скин-слоя $\delta$ для проникновения переменного электромагнитного поля в проводник составляет: $$\delta ={\sqrt {\frac {2}{\mu \sigma \omega }}}$$Сравнивая с формулой для $\eta$, глубина скин-слоя — это диффузионная длина поля за один период колебаний: $$\delta ={\sqrt {\frac {2\eta }{\omega }}}={\sqrt {\frac {\eta T}{\pi }}}$$

Примеры и визуализация

Пример магнитного поля, вмороженного в поток жидкости.

Для лимита $R_{m}\gg 1$Силовые линии магнитного поля « вморожены » в движение проводящей жидкости. Простой пример, иллюстрирующий это поведение, имеет сдвиговый поток, изменяющийся синусоидально. $${\vec {v}}=v_{0}\sin(ky){\hat {x}}$$с однородным начальным магнитным полем ${\vec {B}}\left({\vec {r}},0\right)=B_{0}{\hat {y}}$. Уравнение для этого предела ${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=\nabla \times [{\vec {v}}\times {\vec {B}}]$, имеет решение $${\vec {B}}\left({\vec {r}},t\right)=B_{0}kv_{0}t\cos(ky){\hat {x}}+B_{0}{\hat {y}}$$Как видно на рисунке справа, жидкость увлекает линии магнитного поля так, что они приобретают синусоидальный характер поля потока.

Для лимита $R_{m}\ll 1$, уравнение магнитной диффузии ${\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}={\frac {1}{\mu _{0}\sigma }}\nabla ^{2}{\vec {B}}$ — это просто векторная форма уравнения теплопроводности . Для локализованного начального магнитного поля (например, распределения Гаусса) внутри проводящего материала максимумы и минимумы будут асимптотически затухать до значения, соответствующего уравнению Лапласа для данных граничных условий. Такое поведение показано на рисунке ниже.

Время диффузии для стационарных проводников

Для стационарных проводников $(R_{m}=0)$ с помощью простой геометрии можно получить постоянную времени, называемую временем магнитной диффузии. Различные одномерные уравнения применяются для проводящих плит и проводящих цилиндров с постоянной магнитной проницаемостью. Кроме того, для нелинейных насыщаемых материалов, таких как сталь, можно вывести различные уравнения времени диффузии.