Теорема Комлоса

Комлоша — это теорема теории вероятностей и математического анализа о сходимости по Чезаро подпоследовательности Теорема ( случайных величин или функций ) и их подпоследовательностей к интегрируемой случайной величине (или функции). Это также теорема существования интегрируемой случайной величины (или функции). Существуют вероятностная и аналитическая версии для с конечной пространств мерой .

Теорема была доказана в 1967 году Яношем Комлосом . Существует также обобщение Шришти Д. Чаттерджи, сделанное в 1970 году .

Теорема Комлоса

Вероятностная версия

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть вероятностным пространством и $\xi _{1},\xi _{2},\dots$ быть последовательностью действительных случайных величин, определенных в этом пространстве с $\sup \limits _{n}\mathbb {E} [|\xi _{n}|]<\infty .$

Тогда существует случайная величина $\psi \in L^{1}(P)$ и подпоследовательность $(\eta _{k})=(\xi _{n_{k}})$, такой, что для любой произвольной подпоследовательности $({\tilde {\eta }}_{n})=(\eta _{k_{n}})$ когда $n\to \infty$ затем

${\frac {({\tilde {\eta }}_{1}+\cdots +{\tilde {\eta }}_{n})}{n}}\to \psi$

$P$- почти наверняка .

Аналитическая версия

Позволять $(E,{\mathcal {A}},\mu )$ быть пространством с конечной мерой и $f_{1},f_{2},\dots$ быть последовательностью действительных функций в $L^{1}(\mu )$ и $\sup \limits _{n}\int _{E}|f_{n}|\mathrm {d} \mu <\infty$. Тогда существует функция $\upsilon \in L^{1}(\mu )$ и подпоследовательность $(g_{k})=(f_{n_{k}})$ такая, что для любой произвольной подпоследовательности $({\tilde {g}}_{n})=(g_{k_{n}})$ если $n\to \infty$ затем

${\frac {({\tilde {g}}_{1}+\cdots +{\tilde {g}}_{n})}{n}}\to \upsilon$

$\mu$- почти везде .

Пояснения

Итак, теорема гласит, что последовательность $(\eta _{k})$ и все его подпоследовательности сходятся в Чезаро.

Литература

• Кабанов Юрий, Пергаменщиков Сергей. (2003). Двухмасштабные стохастические системы. Асимптотический анализ и управление. 10.1007/978-3-662-13242-5. Страница 250.