Корректировка по методу наименьших квадратов

Уравнивание методом наименьших квадратов — это модель решения переопределенной системы уравнений, основанная на принципе наименьших квадратов наблюдения остатков . дисциплинах Он широко используется в геодезических , геодезии и фотограмметрии — в совокупности в области геоматики .

Формулировка

Существует три формы уравнивания методом наименьших квадратов: параметрическая , условная и комбинированная :

При параметрической настройке можно найти уравнение наблюдения $h (X) = Y,$ явно связывающее наблюдения $Y$ через параметры $X$ (что приводит к A-модели ниже).
При условной корректировке существует уравнение условия $g (Y) = 0,$ включающее только наблюдения $Y$ (что приводит к B-модели ниже) — без каких-либо параметров $X$ вообще.
Наконец, в комбинированной корректировке и параметры $X$ , и наблюдения $Y$ неявно участвуют в уравнении смешанной модели $f (X, Y) = 0$ .

Очевидно, что параметрические и условные корректировки соответствуют более общему комбинированному случаю, когда $f (X, Y) = h (X) - Y$ и $f (X, Y) = g (Y)$ соответственно. Однако особые случаи требуют более простых решений, как подробно описано ниже. Часто в литературе $Y$ обозначаться $L.$ может

Решение

Приведенные выше равенства справедливы только для оцененных параметров ${\hat {X}}$ и наблюдения ${\hat {Y}}$ , таким образом $f\left({\hat {X}},{\hat {Y}}\right)=0$ . Напротив, измеренные наблюдения ${\tilde {Y}}$ и примерные параметры ${\tilde {X}}$ создать ненулевую неточность : ${\tilde {w}}=f\left({\tilde {X}},{\tilde {Y}}\right).$ Можно перейти к в ряд Тейлора разложению уравнений , что приводит к якобианам или матрицам планирования : первая, $A=\partial {f}/\partial {X};$ и второй, $B=\partial {f}/\partial {Y}.$ Линеаризованная модель тогда гласит: ${\tilde {w}}+A{\hat {x}}+B{\hat {y}}=0,$ где ${\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}$ — предполагаемые поправки параметров к априорным значениям, а ${\hat {y}}={\hat {Y}}-{\tilde {Y}}$ после подгонки наблюдения являются остатками .

При параметрической корректировке вторая матрица плана представляет собой единицу B = -I , а вектор неточности можно интерпретировать как остатки предварительной подгонки, ${\tilde {y}}={\tilde {w}}=h({\tilde {X}})-{\tilde {Y}}$ , поэтому система упрощается до: $A{\hat {x}}={\hat {y}}-{\tilde {y}},$ который имеет форму обычных наименьших квадратов . В условной корректировке первая матрица плана равна нулю, $A = 0$ . В более общих случаях множители Лагранжа вводятся , чтобы связать две матрицы Якобиана и преобразовать ограниченную задачу наименьших квадратов в неограниченную (хотя и большую). В любом случае манипуляция ими приводит к ${\hat {X}}$ и ${\hat {Y}}$ векторы, а также соответствующие параметры и матрицы апостериорных ковариаций наблюдений.

Вычисление

Учитывая приведенные выше матрицы и векторы, их решение находится с помощью стандартных методов наименьших квадратов; например, формирование нормальной матрицы и применение разложения Холецкого , применение QR-факторизации непосредственно к матрице Якоби, итерационные методы для очень больших систем и т. д.

Проработанные примеры

Приложения

Связанные понятия

Параметрическая корректировка аналогична большей части регрессионного анализа и совпадает с моделью Гаусса – Маркова.
Комбинированная регулировка, также известная как Модель Гаусса – Гельмерта (названа в честь немецких математиков/геодезистов К. Ф. Гаусса и Ф. Р. Гельмерта ), ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} связано с моделями ошибок в переменных и общим методом наименьших квадратов . ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}
Использование ковариационной матрицы априорных параметров сродни тихоновской регуляризации.

Расширения

Если встречается недостаток ранга , его часто можно исправить путем включения дополнительных уравнений, налагающих ограничения на параметры и/или наблюдения, что приводит к ограничению метода наименьших квадратов .

Ссылки

^ Коц, Сэмюэл; Прочтите, Кэмпбелл Б.; Балакришнан, Н.; Видакович, Брани; Джонсон, Норман Л. (15 июля 2004 г.). «Модель Гаусса-Гельмерта». Энциклопедия статистических наук . Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons, Inc. doi : 10.1002/0471667196.ess0854.pub2 . ISBN 978-0-471-66719-3 .
^ Форстнер, Вольфганг; Врубель, Бернхард П. (2016). «Оценка». Фотограмметрическое компьютерное зрение . Геометрия и вычисления. Том 11. Чам: Springer International Publishing. стр. 75–190. дои : 10.1007/978-3-319-11550-4_4 . ISBN 978-3-319-11549-8 . ISSN 1866-6795 .
^ Шаффрин, Буркхард; Сноу, Кайл (2010). «Полная регуляризация тихоновского типа методом наименьших квадратов и древний ипподром в Коринфе» . Линейная алгебра и ее приложения . 432 (8). Эльзевир Б.В.: 2061–2076. дои : 10.1016/j.laa.2009.09.014 . ISSN 0024-3795 .
^ Нейтцель, Франк (17 сентября 2010 г.). «Обобщение метода наименьших квадратов на примере невзвешенного и взвешенного преобразования 2D-подобия». Журнал геодезии . 84 (12). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 751–762. Бибкод : 2010JGeod..84..751N . дои : 10.1007/s00190-010-0408-0 . ISSN 0949-7714 . S2CID 123207786 .

Библиография

Конспекты лекций и технические отчеты

Нико Снеев и Фридхельм Крум, «Теория корректировки» , Геодезический институт Штутгартского университета , 2014 г.
Кракивский, «Синтез последних достижений метода наименьших квадратов» , конспект лекций № 42, факультет геодезии и инженерной геоматики, Университет Нью-Брансуика , 1975 г.
Кросс, Пенсильвания «Усовершенствованные методы наименьших квадратов, применяемые для определения местоположения» , Университет Восточного Лондона , Школа геодезии, Рабочий документ № 6, ISSN 0260-9142 , январь 1994 г. Первое издание, апрель 1983 г., перепечатано с исправлениями в январе 1990 г. (Оригинальные рабочие документы, Политехнический институт Северо-Восточного Лондона , Департамент геодезии, 205 стр., 1983 г.)
Сноу, Кайл Б., Применение оценки параметров и проверки гипотез для настройки сети GPS , Отдел геодезических наук, Университет штата Огайо , 2002 г.

Книги и главы

Фридрих Роберт Гельмерт . Расчет методе наименьших квадратов корректировки основан на . Лейпциг: Тойбнер, 1872 г. < http://eudml.org/doc/203764 >.
Рейно Антеро Хирвонен , «Поправки по методу наименьших квадратов в геодезии и фотограмметрии», Унгар, Нью-Йорк. 261 стр., ISBN 0804443971 , ISBN 978-0804443975 , 1971.
Эдвард М. Михаил, Фридрих Э. Акерманн, «Наблюдения и наименьшие квадраты», University Press of America, 1982 г.
Вольф, Пол Р. (1995). «Корректировка измерений по методу наименьших квадратов». Справочник геодезистов . стр. 383–413. дои : 10.1007/978-1-4615-2067-2_16 . ISBN 978-1-4613-5858-9 .
Петер Ваничек и Э. Дж. Краковски, «Геодезия: концепции». Амстердам: Эльзевир. (третье изд.): ISBN 0-444-87777-0 , ISBN 978-0-444-87777-2 ; глава 12, «Решение переопределенных моделей методом наименьших квадратов», стр. 202–213, 1986.
Гилберт Стрэнг и Кай Борре, «Линейная алгебра, геодезия и GPS», SIAM, 624 страницы, 1997.
Пол Вольф и Бон ДеВитт, «Элементы фотограмметрии с приложениями в ГИС», McGraw-Hill, 2000 г.
Карл-Рудольф Кох, «Оценка параметров и проверка гипотез в линейных моделях», 2а изд., Springer, 2000 г.
П.Дж.Тойниссен, «Теория адаптации, введение», Delft Academic Press, 2000 г.
Эдвард М. Михаил, Джеймс С. Бетел, Дж. Крис МакГлоун, «Введение в современную фотограмметрию», Wiley, 2001 г.
Харви, Брюс Р., «Практические методы наименьших квадратов и статистика для геодезистов», Монография 13, третье издание, Школа геодезии и пространственных информационных систем, Университет Нового Южного Уэльса, 2006 г.
Хуаан Фань, «Теория ошибок и уравнивание по методу наименьших квадратов», Королевский технологический институт (KTH), Отдел геодезии и геоинформатики, Стокгольм, Швеция, 2010 г., ISBN 91-7170-200-8 .
Гильсдорф, Ф.; Хиллманн, Т. (2011). «Математика и статистика». Справочник Спрингера по географической информации . стр. 7–10. дои : 10.1007/978-3-540-72680-7_2 . ISBN 978-3-540-72678-4 .
Чарльз Д. Гилани, «Расчеты поправок: анализ пространственных данных», John Wiley & Sons, 2011 г.
Чарльз Д. Гилани и Пол Р. Вольф, «Элементарная геодезия: введение в геоматику», 13-е издание, Прентис-Холл, 2011 г.
Эрик Графаренд и Джозеф Аванж, «Применение линейных и нелинейных моделей: фиксированные эффекты, случайные эффекты и общие наименьшие квадраты», Springer, 2012 г.
Альфред Лейк, Лев Рапопорт и Дмитрий Татарников, «Спутниковая съемка GPS», 4-е издание, John Wiley & Sons, ISBN 9781119018612 ; Глава 2, «Корректировки методом наименьших квадратов», стр. 11–79, doi:10.1002/9781119018612.ch2
А. Фотиу (2018) «Обсуждение корректировки методом наименьших квадратов на рабочих примерах» В: Фотиу А., Д. Россикопулос, ред. (2018): «Quod Erat Demonstandum. В поисках окончательного геодезического понимания». Специальный выпуск для почетного профессора Афанасиоса Дерманиса. Публикация Школы сельской и геодезической инженерии Университета Аристотеля в Салониках, 405 страниц. ISBN 978-960-89704-4-1 [1]
Джон Олусегун Огундаре (2018), «Понимание оценки методом наименьших квадратов и анализа геоматических данных», John Wiley & Sons, 720 страниц, ISBN 9781119501404 .
Шен, Юньчжун; Сюй, Гочан (31 июля 2012 г.). «Регуляризация и корректировка». Науки геодезии-II . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. стр. 293–337. дои : 10.1007/978-3-642-28000-9_6 . ISBN 978-3-642-27999-7 .

[Kotz2006-1] Коц, Сэмюэл; Прочтите, Кэмпбелл Б.; Балакришнан, Н.; Видакович, Брани; Джонсон, Норман Л. (15 июля 2004 г.). «Модель Гаусса-Гельмерта». Энциклопедия статистических наук . Хобокен, Нью-Джерси, США: John Wiley & Sons, Inc. doi : 10.1002/0471667196.ess0854.pub2 . ISBN 978-0-471-66719-3 .

[Förstner&Wrobel2016-2] Форстнер, Вольфганг; Врубель, Бернхард П. (2016). «Оценка». Фотограмметрическое компьютерное зрение . Геометрия и вычисления. Том 11. Чам: Springer International Publishing. стр. 75–190. дои : 10.1007/978-3-319-11550-4_4 . ISBN 978-3-319-11549-8 . ISSN 1866-6795 .

[Schaffrin&Snow2010-3] Шаффрин, Буркхард; Сноу, Кайл (2010). «Полная регуляризация тихоновского типа методом наименьших квадратов и древний ипподром в Коринфе» . Линейная алгебра и ее приложения . 432 (8). Эльзевир Б.В.: 2061–2076. дои : 10.1016/j.laa.2009.09.014 . ISSN 0024-3795 .

[Neitzel2010-4] Нейтцель, Франк (17 сентября 2010 г.). «Обобщение метода наименьших квадратов на примере невзвешенного и взвешенного преобразования 2D-подобия». Журнал геодезии . 84 (12). ООО «Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа»: 751–762. Бибкод : 2010JGeod..84..751N . дои : 10.1007/s00190-010-0408-0 . ISSN 0949-7714 . S2CID 123207786 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]