Модели ошибок в переменных

В статистике модели ошибок в переменных или модели ошибок измерения представляют собой регрессионные модели , которые учитывают ошибки измерения в независимых переменных . Напротив, стандартные регрессионные модели предполагают, что эти регрессоры были измерены точно или наблюдались без ошибок; как таковые, эти модели учитывают только ошибки в зависимых переменных или ответах. ^{[ нужна ссылка ]}

В случае, когда некоторые регрессоры были измерены с ошибками, оценка на основе стандартного предположения приводит к противоречивым оценкам, то есть оценки параметров не стремятся к истинным значениям даже в очень больших выборках. Для простой линейной регрессии эффектом является занижение коэффициента, известного как смещение затухания . В нелинейных моделях направление смещения, вероятно, будет более сложным. ^[1]^[2]^[3]

Мотивирующий пример

Рассмотрим простую модель линейной регрессии вида

y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t}\,,\quad t=1,\ldots ,T,

где $x_{t}^{*}$ обозначает истинный , но ненаблюдаемый регрессор . Вместо этого мы наблюдаем это значение с ошибкой:

x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}\,

где погрешность измерения $\eta _{t}$ предполагается независимым от истинного значения $x_{t}^{*}$ .

Если $y_{t}$ просто регрессируют на $x_{t}$ ′s (см. простую линейную регрессию ), то оценка коэффициента наклона равна

{\hat {\beta }}_{x}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\,,

который сходится как размер выборки $T$ увеличивается неограниченно:

{\hat {\beta }}_{x}\xrightarrow {p} {\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}={\frac {\beta \sigma _{x^{*}}^{2}}{\sigma _{x^{*}}^{2}+\sigma _{\eta }^{2}}}={\frac {\beta }{1+\sigma _{\eta }^{2}/\sigma _{x^{*}}^{2}}}\,.

Это противоречит «истинному» эффекту $\beta$ , оцененный с использованием $x_{t}^{*}$ ,:

{\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}^{*}-{\bar {x}})^{2}}}\,,

Дисперсии неотрицательны, так что в пределе оцененная ${\hat {\beta }}_{x}$ меньше, чем ${\hat {\beta }}$ эффект, который статистики называют ослаблением или разбавлением регрессии . ^[4] Таким образом, «наивная» оценка методом наименьших квадратов ${\hat {\beta }}_{x}$ является противоречивой оценкой для $\beta$ . Однако, ${\hat {\beta }}_{x}$ является последовательной оценкой параметра, необходимого для лучшего линейного предсказателя $y$ учитывая наблюдаемое $x_{t}$ : в некоторых приложениях может потребоваться именно это, а не оценка «истинного» коэффициента регрессии. $\beta$ , хотя это предполагает, что дисперсия ошибок оценки и прогнозирования идентична. Это следует непосредственно из результата, приведенного выше, и того факта, что коэффициент регрессии, связывающий $y_{t}$ к фактически наблюдаемому $x_{t}$ ′s в простой линейной регрессии определяется выражением

\beta _{x}={\frac {\operatorname {Cov} [\,x_{t},y_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x_{t}\,]}}.

Именно этот коэффициент, а не $\beta$ , что потребуется для построения предиктора $y$ на основе наблюдаемого $x$ который подвержен шуму.

Можно утверждать, что почти все существующие наборы данных содержат ошибки разного характера и величины, поэтому смещение затухания встречается крайне часто (хотя в многомерной регрессии направление смещения неоднозначно). ^[5]). Джерри Хаусман видит в этом железный закон эконометрики : «Величина оценки обычно меньше ожидаемой». ^[6]

Спецификация

Обычно модели ошибок измерения описываются с использованием подхода скрытых переменных . Если $y$ является переменной ответа и $x$ являются наблюдаемыми значениями регрессоров, то предполагается, что существуют некоторые скрытые переменные $y^{*}$ и $x^{*}$ модели. которые соответствуют «истинным» функциональным отношениям $g(\cdot )$ , и такие, что наблюдаемые величины являются их зашумленными наблюдениями:

{\begin{cases}y^{*}=g(x^{*}\!,w\,|\,\theta ),\\y=y^{*}+\varepsilon ,\\x=x^{*}+\eta ,\end{cases}}

где $\theta$ модели параметр и $w$ – это те регрессоры, которые считаются безошибочными (например, когда линейная регрессия содержит точку пересечения, регрессор, соответствующий константе, заведомо не имеет «ошибок измерения»). В зависимости от спецификации эти безошибочные регрессоры могут обрабатываться или не обрабатываться отдельно; в последнем случае просто предполагается, что соответствующие записи в матрице отклонений $\eta$ равны нулю.

Переменные $y$ , $x$ , $w$ все наблюдаются , а это означает, что статистик располагает данных набором $n$ статистические единицы $\left\{y_{i},x_{i},w_{i}\right\}_{i=1,\dots ,n}$ которые следуют процессу генерации данных , описанному выше; скрытые переменные $x^{*}$ , $y^{*}$ , $\varepsilon$ , и $\eta$ однако не наблюдаются.

Эта спецификация не охватывает все существующие модели ошибок в переменных. Например, в некоторых из них функционируют $g(\cdot )$ может быть непараметрическим или полупараметрическим. Другие подходы моделируют отношения между $y^{*}$ и $x^{*}$ как распределительный, а не функциональный, то есть они предполагают, что $y^{*}$ условно на $x^{*}$ следует определенному (обычно параметрическому) распределению.

Терминология и предположения

Наблюдаемая переменная $x$ может называться манифестом , индикатором или прокси- переменной .
Ненаблюдаемая переменная $x^{*}$ может быть названа скрытой или истинной переменной. Ее можно рассматривать либо как неизвестную константу (в этом случае модель называется функциональной моделью ), либо как случайную величину (соответственно структурную модель ). ^[7]
Связь между погрешностью измерения $\eta$ $\эта$ и скрытая переменная $x^{*}$ $x^{*}$ можно моделировать разными способами:
- Классические ошибки : $\eta \perp x^{*}$ ошибки не зависят от скрытой переменной. Это наиболее распространенное предположение, оно подразумевает, что погрешности вносит измерительный прибор и их величина не зависит от измеряемой величины.
- Средняя независимость : $\operatorname {E} [\eta |x^{*}]\,=\,0,$ ошибки имеют среднее значение нуля для каждого значения скрытого регрессора. Это менее ограничительное предположение, чем классическое. ^[8] поскольку это допускает наличие гетероскедастичности или других эффектов в ошибках измерения.
- Ошибки Берксона : $\eta \,\perp \,x,$ ошибки не зависят от наблюдаемого регрессора x . ^[9] Это предположение имеет весьма ограниченную применимость. Одним из примеров являются ошибки округления: например, если возраст человека* является непрерывной случайной величиной , а наблюдаемый возраст усекается до следующего наименьшего целого числа, то ошибка усечения приблизительно не зависит от наблюдаемого возраста . Другая возможность связана с экспериментом с фиксированной планировкой: например, если ученый решает провести измерение в определенный заранее определенный момент времени. $x$ , скажи в $x=10s$ , то реальное измерение может происходить при каком-то другом значении $x^{*}$ (например, из-за ее конечного времени реакции), и такая ошибка измерения, как правило, не будет зависеть от «наблюдаемого» значения регрессора.
- Ошибки неправильной классификации : специальный случай, используемый для фиктивных регрессоров . Если $x^{*}$ является индикатором определенного события или состояния (например, является ли человек мужчиной/женщиной, какое-либо медицинское лечение было/не получено и т. д.), то ошибка измерения в таком регрессоре будет соответствовать неправильной классификации, аналогично ошибкам типа I и типа II. в статистическом тестировании. В этом случае ошибка $\eta$ может принимать только 3 возможных значения, а его распределение обусловлено $x^{*}$ моделируется двумя параметрами: $\alpha =\operatorname {Pr} [\eta =-1|x^{*}=1]$ , и $\beta =\operatorname {Pr} [\eta =1|x^{*}=0]$ . Необходимым условием идентификации является то, что $\alpha +\beta <1$ , то есть ошибочная классификация не должна происходить "слишком часто". (Эту идею можно обобщить на дискретные переменные с более чем двумя возможными значениями.)

Линейная модель

В первую очередь изучались линейные модели ошибок в переменных, вероятно, потому, что линейные модели широко использовались и они проще, чем нелинейные. В отличие от стандартной регрессии наименьших квадратов (OLS), распространение ошибок в регрессии переменных (EiV) от простого случая к случаю с несколькими переменными не является простым.

Простая линейная модель

Простая модель линейных ошибок в переменных уже была представлена в разделе «мотивация»:

{\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t},\end{cases}}

где все переменные скалярные . Здесь α и β — интересующие параметры, тогда как σε _— и ση _{стандартные отклонения членов} ошибки — являются параметрами помех . «Истинный» регрессор x* рассматривается как случайная величина ( структурная модель), независимая от ошибки измерения η ( классическое предположение).

Эту модель можно идентифицировать в двух случаях: (1) либо латентный регрессор x* является не нормально распределенным , (2) или x* имеет нормальное распределение, но ни ε _t, ни η _t не делятся на нормальное распределение. ^[10] То есть параметры α , β можно последовательно оценить по набору данных $\scriptstyle (x_{t},\,y_{t})_{t=1}^{T}$ без какой-либо дополнительной информации, при условии, что латентный регрессор не является гауссовым.

Прежде чем этот результат идентифицируемости был установлен, статистики пытались применить метод максимального правдоподобия , предполагая, что все переменные нормальны, а затем пришли к выводу, что модель не идентифицирована. Предлагаемое решение заключалось в том, чтобы предположить , что некоторые параметры модели известны или могут быть оценены из внешнего источника. Такие методы оценки включают в себя ^[11]

Регрессия Деминга соотношение δ = σ² _ε / σ² _η — предполагает, что известно . Это может быть уместно, например, когда ошибки в y и x вызваны измерениями, а точность измерительных устройств или процедур известна. Случай, когда δ = 1, также известен как ортогональная регрессия .
Регрессия с известным коэффициентом надежности λ = σ² _∗ / ( σ² _η + σ² _∗ ), где σ² _∗ — дисперсия скрытого регрессора. Такой подход может быть применим, например, когда доступны повторяющиеся измерения одной и той же единицы или когда коэффициент надежности известен из независимого исследования. В этом случае непротиворечивая оценка наклона равна оценке методом наименьших квадратов, деленной на λ .
Регрессия с известным σ² _η может возникнуть, когда известен источник ошибок в x и можно вычислить их дисперсию. Это может включать ошибки округления или ошибки, вносимые измерительным устройством. Когда σ² _η известно, мы можем вычислить коэффициент надежности как λ = ( σ² _x − σ² _η ) / σ² _x и свести задачу к предыдущему случаю.

К методам оценки, не предполагающим знания некоторых параметров модели, относятся

Метод моментов — оценка GMM третьего (или более высокого) порядка , основанная на совместных кумулянтах наблюдаемых переменных . Коэффициент наклона можно оценить по формуле ^[12]
${\hat {\beta }}={\frac {{\hat {K}}(n_{1},n_{2}+1)}{{\hat {K}}(n_{1}+1,n_{2})}},\quad n_{1},n_{2}>0,$
где ( n ₁ , n ₂ ) таковы, что K ( n ₁ +1, n ₂ ) — совместный кумулянт ( x , y ) — не равен нулю. В случае, когда третий центральный момент скрытого регрессора x* отличен от нуля, формула сводится к
${\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})(y_{t}-{\bar {y}})^{2}}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(x_{t}-{\bar {x}})^{2}(y_{t}-{\bar {y}})}}\ .$
Инструментальные переменные — регрессия, которая требует наличия определенных дополнительных переменных данных z , называемых инструментами . Эти переменные не должны коррелировать с ошибками в уравнении для зависимой (результатной) переменной ( действительной ), а также они должны быть коррелированы ( релевантны ) с истинными регрессорами x* . Если такие переменные можно найти, то оценка принимает вид
${\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(y_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}(z_{t}-{\bar {z}})(x_{t}-{\bar {x}})}}\ .$
Среднегеометрическое функциональное соотношение. При этом обе переменные рассматриваются как имеющие одинаковую надежность. Полученный наклон представляет собой среднее геометрическое наклона обычного метода наименьших квадратов и наклона обратного метода наименьших квадратов, то есть двух красных линий на диаграмме. ^[13]

Многомерная линейная модель

Многопараметрическая модель выглядит точно так же, как простая линейная модель, только на этот раз β , η _t , x _t и x* _t являются векторами k × 1.

{\begin{cases}y_{t}=\alpha +\beta 'x_{t}^{*}+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}

В случае, когда ( ε _t , η _t ) совместно нормально, параметр β не идентифицируется тогда и только тогда, когда существует неособая блочная матрица k × k [ a A ], где a - вектор k × 1, такой что a’x* распределяется нормально и независимо от A’x* . В случае, когда ε _t , η _t1 ,..., η _tk взаимно независимы, параметр β не идентифицируется тогда и только тогда, когда в дополнение к указанным выше условиям некоторые ошибки можно записать в виде суммы двух независимых переменных один из них нормальный. ^[14]

Некоторые из методов оценки для линейных моделей с несколькими переменными:

Суммарный метод наименьших квадратов является расширением регрессии Деминга для многомерных условий. Когда все k +1 компоненты вектора ( ε , η ) имеют равные дисперсии и независимы, это эквивалентно выполнению ортогональной регрессии y на векторе x — то есть регрессии, которая минимизирует сумму квадратов расстояний между точки ( y _t , x _t ) и k -мерная гиперплоскость «наилучшего соответствия».
Метод моментов оценки ^[15] может быть построена на основе моментных условий E[ z _t ·( y _t − α − β'x _t )] = 0, где (5 k +3)-мерный вектор инструментов z _t определяется как
${\begin{aligned}&z_{t}=\left(1\ z_{t1}'\ z_{t2}'\ z_{t3}'\ z_{t4}'\ z_{t5}'\ z_{t6}'\ z_{t7}'\right)',\quad {\text{where}}\\&z_{t1}=x_{t}\circ x_{t}\\&z_{t2}=x_{t}y_{t}\\&z_{t3}=y_{t}^{2}\\&z_{t4}=x_{t}\circ x_{t}\circ x_{t}-3{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}\\&z_{t5}=x_{t}\circ x_{t}y_{t}-2{\big (}\operatorname {E} [y_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}x_{t}-y_{t}{\big (}\operatorname {E} [x_{t}x_{t}']\circ I_{k}{\big )}\iota _{k}\\&z_{t6}=x_{t}y_{t}^{2}-\operatorname {E} [y_{t}^{2}]x_{t}-2y_{t}\operatorname {E} [x_{t}y_{t}]\\&z_{t7}=y_{t}^{3}-3y_{t}\operatorname {E} [y_{t}^{2}]\end{aligned}}$
где $\circ$ обозначает Адамара произведение матриц , а переменные x _t , y _t были предварительно обесценены. Авторы метода предлагают использовать модифицированную оценку IV Фуллера. ^[16]
При необходимости этот метод можно расширить, чтобы использовать моменты выше третьего порядка и учитывать переменные, измеренные без ошибок. ^[17]
Подход инструментальных переменных требует от нас найти дополнительные переменные данных z _t , которые служат инструментами для неправильно измеренных регрессоров x _t . Этот метод является наиболее простым с точки зрения реализации, однако его недостатком является необходимость сбора дополнительных данных, что может быть дорогостоящим или даже невозможным. Когда инструменты найдены, оценщик принимает стандартную форму.
${\hat {\beta }}={\big (}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'X{\big )}^{-1}X'Z(Z'Z)^{-1}Z'y.$
Подход беспристрастной аппроксимации рассматривает все переменные одинаково, предполагая одинаковую надежность, и не требует какого-либо различия между объясняющими и ответными переменными, поскольку полученное уравнение можно перестроить. Это простейшая модель ошибки измерения, которая является обобщением упомянутой выше функциональной зависимости среднего геометрического для двух переменных. Для этого требуется только вычислить ковариации, и поэтому их можно оценить с помощью основных функций электронных таблиц. ^[18]

Нелинейные модели

Общая нелинейная модель ошибки измерения принимает форму

{\begin{cases}y_{t}=g(x_{t}^{*})+\varepsilon _{t},\\x_{t}=x_{t}^{*}+\eta _{t}.\end{cases}}

Здесь функция g может быть как параметрической, так и непараметрической. Когда функция g является параметрической, она записывается как g ( x *, β ).

Для общего векторного регрессора x* условия идентифицируемости модели неизвестны. Однако в случае скаляра x* модель идентифицируется, если только функция g не имеет «логарифмически-экспоненциальной» формы. ^[19]

g(x^{*})=a+b\ln {\big (}e^{cx^{*}}+d{\big )}

а латентный регрессор x* имеет плотность

f_{x^{*}}(x)={\begin{cases}Ae^{-Be^{Cx}+CDx}(e^{Cx}+E)^{-F},&{\text{if}}\ d>0\\Ae^{-Bx^{2}+Cx}&{\text{if}}\ d=0\end{cases}}

где константы A , B , C , D , E , F могут зависеть от a , b , c , d .

Несмотря на этот оптимистичный результат, на данный момент не существует методов оценки нелинейных моделей ошибок в переменных без какой-либо посторонней информации. Однако существует несколько методов, которые используют некоторые дополнительные данные: либо инструментальные переменные, либо повторные наблюдения.

Методы инструментальных переменных

Метод имитации моментов Ньюи ^[20] для параметрических моделей — требуется наличие дополнительного набора наблюдаемых переменных-предсказателей z _t , таких, чтобы истинный регрессор можно было выразить как
$x_{t}^{*}=\pi _{0}'z_{t}+\sigma _{0}\zeta _{t},$
где π ₀ и σ ₀ — (неизвестные) постоянные матрицы, а ζ _t ⊥ z _t . Коэффициент π ₀ можно оценить с помощью стандартной методом наименьших квадратов регрессии x по z . Распределение ζ _t неизвестно, однако мы можем смоделировать его как принадлежащее к гибкому параметрическому семейству — ряду Эджворта :
$f_{\zeta }(v;\,\gamma )=\phi (v)\,\textstyle \sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v^{j}$
где φ — стандартное нормальное распределение.
Смоделированные моменты можно вычислить с помощью алгоритма выборки по важности : сначала мы генерируем несколько случайных величин { v _ts ~ φ , s = 1,…, S , t = 1,…, T } из стандартного нормального распределения, затем вычисляем моменты при t -ом наблюдении как
$m_{t}(\theta )=A(z_{t}){\frac {1}{S}}\sum _{s=1}^{S}H(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )\sum _{j=1}^{J}\!\gamma _{j}v_{ts}^{j},$
где θ = ( β , σ , γ ), A — это просто некоторая функция инструментальных переменных z , а H — двухкомпонентный вектор моментов
${\begin{aligned}&H_{1}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=y_{t}-g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta ),\\&H_{2}(x_{t},y_{t},z_{t},v_{ts};\theta )=z_{t}y_{t}-({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts})g({\hat {\pi }}'z_{t}+\sigma v_{ts},\beta )\end{aligned}}$
Используя моментные функции m _t, можно применить стандартную технику GMM для оценки неизвестного параметра θ .

Повторные наблюдения

два (или, возможно, более) повторных наблюдения регрессора x* В этом подходе доступны . Оба наблюдения содержат свои собственные ошибки измерения, однако эти ошибки должны быть независимыми:

{\begin{cases}x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}

где х* ⊥ η ₁ ⊥ η ₂ . Переменные η ₁ , η ₂ не обязательно должны быть одинаково распределены (хотя, если они распределены одинаково, эффективность оценки можно немного повысить). Имея только эти два наблюдения, можно последовательно оценить функцию плотности x*, Котларского используя метод деконволюции . ^[21]

Метод условной плотности Ли для параметрических моделей. ^[22] Уравнение регрессии можно записать в терминах наблюдаемых переменных как
$\operatorname {E} [\,y_{t}|x_{t}\,]=\int g(x_{t}^{*},\beta )f_{x^{*}|x}(x_{t}^{*}|x_{t})dx_{t}^{*},$
где можно было бы вычислить интеграл, если бы мы знали функцию условной плотности ƒ _x*|x . Если бы эта функция была известна или оценена, то задача превращается в стандартную нелинейную регрессию, которую можно оценить, например, с помощью метода NLLS .
Полагая для простоты, что η ₁ , η ₂ одинаково распределены, эту условную плотность можно вычислить как
${\hat {f}}_{x^{*}|x}(x^{*}|x)={\frac {{\hat {f}}_{x^{*}}(x^{*})}{{\hat {f}}_{x}(x)}}\prod _{j=1}^{k}{\hat {f}}_{\eta _{j}}{\big (}x_{j}-x_{j}^{*}{\big )},$
где с небольшим злоупотреблением обозначениями x _j обозначает j -ю компоненту вектора.
Все плотности в этой формуле можно оценить с помощью обращения эмпирических характеристических функций . В частности,
${\begin{aligned}&{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(v)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v,0)}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)}},\quad {\text{where }}{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(v_{1},v_{2})={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}e^{iv_{1}x_{1tj}+iv_{2}x_{2tj}},\\{\hat {\varphi }}_{x_{j}^{*}}(v)=\exp \int _{0}^{v}{\frac {\partial {\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})/\partial v_{1}}{{\hat {\varphi }}_{x_{j}}(0,v_{2})}}dv_{2},\\&{\hat {\varphi }}_{x}(u)={\frac {1}{2T}}\sum _{t=1}^{T}{\Big (}e^{iu'x_{1t}}+e^{iu'x_{2t}}{\Big )},\quad {\hat {\varphi }}_{x^{*}}(u)={\frac {{\hat {\varphi }}_{x}(u)}{\prod _{j=1}^{k}{\hat {\varphi }}_{\eta _{j}}(u_{j})}}.\end{aligned}}$
Чтобы инвертировать эти характеристические функции, необходимо применить обратное преобразование Фурье с параметром обрезки C, необходимым для обеспечения численной стабильности. Например:
${\hat {f}}_{x}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{k}}}\int _{-C}^{C}\cdots \int _{-C}^{C}e^{-iu'x}{\hat {\varphi }}_{x}(u)du.$
Оценка Шеннаха для параметрической модели, линейной по параметрам, нелинейной по переменным. ^[23] Это модель формы
${\begin{cases}y_{t}=\textstyle \sum _{j=1}^{k}\beta _{j}g_{j}(x_{t}^{*})+\sum _{j=1}^{\ell }\beta _{k+j}w_{jt}+\varepsilon _{t},\\x_{1t}=x_{t}^{*}+\eta _{1t},\\x_{2t}=x_{t}^{*}+\eta _{2t},\end{cases}}$
где w _t представляет собой переменные, измеренные без ошибок. Регрессор x* на случай вектора x* ). здесь является скалярным (метод можно распространить и
Если бы не ошибки измерения, это была бы стандартная линейная модель с оценщиком
${\hat {\beta }}={\big (}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}\xi _{t}'\,]{\big )}^{-1}{\hat {\operatorname {E} }}[\,\xi _{t}y_{t}\,],$
где
$\xi _{t}'=(g_{1}(x_{t}^{*}),\cdots ,g_{k}(x_{t}^{*}),w_{1,t},\cdots ,w_{l,t}).$
Оказывается, все ожидаемые значения в этой формуле можно оценить с помощью одного и того же приема деконволюции. В частности, для общей наблюдаемой w _t (которая может быть 1, w _{1 t} , …, w _{ℓ t} или y _t ) и некоторой функции h (которая может представлять любой g _j или gi _g j ₎ мы имеем
$\operatorname {E} [\,w_{t}h(x_{t}^{*})\,]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{h}(-u)\psi _{w}(u)du,$
где φ _h — преобразование Фурье h характеристических ( x* ), но с использованием того же соглашения, что и для функций ,
$\varphi _{h}(u)=\int e^{iux}h(x)dx$ ,
и
$\psi _{w}(u)=\operatorname {E} [\,w_{t}e^{iux^{*}}\,]={\frac {\operatorname {E} [w_{t}e^{iux_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{iux_{1t}}]}}\exp \int _{0}^{u}i{\frac {\operatorname {E} [x_{2t}e^{ivx_{1t}}]}{\operatorname {E} [e^{ivx_{1t}}]}}dv$
Результирующая оценка $\scriptstyle {\hat {\beta }}$ непротиворечива и асимптотически нормальна.
Оценка Шеннаха для непараметрической модели. ^[24] Стандартная оценка Надарайи – Ватсона для непараметрической модели имеет вид
${\hat {g}}(x)={\frac {{\hat {\operatorname {E} }}[\,y_{t}K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}{{\hat {\operatorname {E} }}[\,K_{h}(x_{t}^{*}-x)\,]}},$
для подходящего выбора ядра K и ширины полосы h . Оба ожидания здесь можно оценить, используя тот же метод, что и в предыдущем методе.

Ссылки

^ Гриличес, Цви; Рингстад, Видар (1970). «Смещение ошибок в переменных в нелинейном контексте». Эконометрика . 38 (2): 368–370. дои : 10.2307/1913020 . JSTOR 1913020 .
^ Чешер, Эндрю (1991). «Влияние ошибки измерения». Биометрика . 78 (3): 451–462. дои : 10.1093/biomet/78.3.451 . JSTOR 2337015 .
^ Кэрролл, Рэймонд Дж.; Руперт, Дэвид; Стефански, Леонард А.; Краиничану, Чиприан (2006). Ошибка измерения в нелинейных моделях: современный взгляд (второе изд.). ISBN 978-1-58488-633-4 .
^ Грин, Уильям Х. (2003). Эконометрический анализ (5-е изд.). Нью-Джерси: Прентис Холл. Глава 5.6.1. ISBN 978-0-13-066189-0 .
^ Вансбек, Т.; Мейер, Э. (2000). «Ошибка измерения и скрытые переменные» . В Балтаги, Б.Х. (ред.). Спутник теоретической эконометрики . Блэквелл. стр. 162–179. дои : 10.1111/b.9781405106764.2003.00013.x . ISBN 9781405106764 .
^ Хаусман, Джерри А. (2001). «Неизмеряемые переменные в эконометрическом анализе: проблемы справа и проблемы слева» . Журнал экономических перспектив . 15 (4): 57–67 [с. 58]. дои : 10.1257/jep.15.4.57 . JSTOR 2696516 .
^ Фуллер, Уэйн А. (1987). Модели ошибок измерения . Джон Уайли и сыновья. п. 2. ISBN 978-0-471-86187-4 .
^ Хаяси, Фумио (2000). Эконометрика . Издательство Принстонского университета. стр. 7–8. ISBN 978-1400823833 .
^ Коул, Хира; Песня, Вэйсин (2008). «Проверка регрессионной модели с ошибками измерения Берксона». Журнал статистического планирования и выводов . 138 (6): 1615–1628. дои : 10.1016/j.jspi.2007.05.048 .
^ Рейерсёл, Олав (1950). «Идентифицируемость линейной зависимости между переменными, подверженными ошибкам». Эконометрика . 18 (4): 375–389 [с. 383]. дои : 10.2307/1907835 . JSTOR 1907835 . Несколько более ограничительный результат был получен ранее Гири, RC (1942). «Внутренние отношения между случайными величинами». Труды Королевской ирландской академии . 47 : 63–76. JSTOR 20488436 . Он показал, что при дополнительном предположении, что ( ε, η ) совместно нормальны, модель не идентифицируется тогда и только тогда, когда x* s нормальны.
^ Фуллер, Уэйн А. (1987). «Одна поясняющая переменная» . Модели ошибок измерения . Джон Уайли и сыновья. стр. 1–99. ISBN 978-0-471-86187-4 .
^ Пал, Маноранджан (1980). «Согласованные моментные оценки коэффициентов регрессии при наличии ошибок в переменных». Журнал эконометрики . 14 (3): 349–364 (стр. 360–361). дои : 10.1016/0304-4076(80)90032-9 .
^ Сюй, Шаоцзи (2 октября 2014 г.). «Свойство регрессии среднего геометрического» . Американский статистик . 68 (4): 277–281. дои : 10.1080/00031305.2014.962763 . ISSN 0003-1305 .
^ Бен-Моше, Дэн (2020). «Идентификация линейных регрессий с ошибками по всем переменным». Эконометрическая теория . 37 (4): 1–31. arXiv : 1404.1473 . дои : 10.1017/S0266466620000250 . S2CID 225653359 .
^ Дажене, Марсель Г.; Дагенайс, Дениз Л. (1997). «Оценщики высших моментов для моделей линейной регрессии с ошибками в переменных». Журнал эконометрики . 76 (1–2): 193–221. CiteSeerX 10.1.1.669.8286 . дои : 10.1016/0304-4076(95)01789-5 . В более ранней статье Пал (1980) рассмотрел более простой случай, когда все компоненты вектора ( ε , η ) независимы и симметрично распределены.
^ Фуллер, Уэйн А. (1987). Модели ошибок измерения . Джон Уайли и сыновья. п. 184. ИСБН 978-0-471-86187-4 .
^ Эриксон, Тимоти; Уайтед, Тони М. (2002). «Двухэтапная GMM-оценка модели ошибок в переменных с использованием моментов высокого порядка». Эконометрическая теория . 18 (3): 776–799. дои : 10.1017/s0266466602183101 . JSTOR 3533649 . S2CID 14729228 .
^ Тофалис, К. (2023). Беспристрастная подгонка уравнения к данным. Математика, 11(18), 3957. https://ssrn.com/abstract=4556739 https://doi.org/10.3390/math11183957.
^ Шеннах, С. ; Ху, Ю.; Левбель, А. (2007). «Непараметрическая идентификация классической модели ошибок в переменных без дополнительной информации» . Рабочий документ .
^ Ньюи, Уитни К. (2001). «Гибкая моделируемая оценка момента нелинейной модели ошибок в переменных». Обзор экономики и статистики . 83 (4): 616–627. дои : 10.1162/003465301753237704 . hdl : 1721.1/63613 . JSTOR 3211757 . S2CID 57566922 .
^ Ли, Тонг; Выонг, Куанг (1998). «Непараметрическая оценка модели ошибки измерения с использованием нескольких показателей» . Журнал многомерного анализа . 65 (2): 139–165. дои : 10.1006/jmva.1998.1741 .
^ Ли, Тонг (2002). «Надежная и последовательная оценка нелинейных моделей ошибок в переменных». Журнал эконометрики . 110 (1): 1–26. дои : 10.1016/S0304-4076(02)00120-3 .
^ Шеннах, Сюзанна М. (2004). «Оценка нелинейных моделей с ошибкой измерения». Эконометрика . 72 (1): 33–75. дои : 10.1111/j.1468-0262.2004.00477.x . JSTOR 3598849 .
^ Шеннах, Сюзанна М. (2004). «Непараметрическая регрессия при наличии ошибки измерения». Эконометрическая теория . 20 (6): 1046–1093. дои : 10.1017/S0266466604206028 . S2CID 123036368 .

Дальнейшее чтение

Догерти, Кристофер (2011). «Стохастические регрессоры и ошибки измерения» . Введение в эконометрику (Четвертое изд.). Издательство Оксфордского университета. стр. 300–330. ISBN 978-0-19-956708-9 .
Кмента, Ян (1986). «Оценка с недостаточными данными» . Элементы эконометрики (второе изд.). Нью-Йорк: Макмиллан. стр. 346–391 . ISBN 978-0-02-365070-3 .
Шеннах, Сюзанна (2013). «Ошибка измерения в нелинейных моделях – обзор». В Аджемоглу, Дарон; Арельяно, Мануэль; Декель, Эдди (ред.). Достижения в области экономики и эконометрики . Издательство Кембриджского университета. стр. 296–337. дои : 10.1017/CBO9781139060035.009 . hdl : 10419/79526 . ISBN 9781107017214 .

Внешние ссылки

Исторический обзор линейной регрессии с ошибками в обеих переменных , Дж. В. Гиллард, 2006 г.
Лекция по эконометрике (тема: Стохастические регрессоры и ошибки измерения) на YouTube Марка Тома .

[1] Гриличес, Цви; Рингстад, Видар (1970). «Смещение ошибок в переменных в нелинейном контексте». Эконометрика . 38 (2): 368–370. дои : 10.2307/1913020 . JSTOR 1913020 .

[2] Чешер, Эндрю (1991). «Влияние ошибки измерения». Биометрика . 78 (3): 451–462. дои : 10.1093/biomet/78.3.451 . JSTOR 2337015 .

[3] Кэрролл, Рэймонд Дж.; Руперт, Дэвид; Стефански, Леонард А.; Краиничану, Чиприан (2006). Ошибка измерения в нелинейных моделях: современный взгляд (второе изд.). ISBN 978-1-58488-633-4 .

[4] Грин, Уильям Х. (2003). Эконометрический анализ (5-е изд.). Нью-Джерси: Прентис Холл. Глава 5.6.1. ISBN 978-0-13-066189-0 .

[5] Вансбек, Т.; Мейер, Э. (2000). «Ошибка измерения и скрытые переменные» . В Балтаги, Б.Х. (ред.). Спутник теоретической эконометрики . Блэквелл. стр. 162–179. дои : 10.1111/b.9781405106764.2003.00013.x . ISBN 9781405106764 .

[6] Хаусман, Джерри А. (2001). «Неизмеряемые переменные в эконометрическом анализе: проблемы справа и проблемы слева» . Журнал экономических перспектив . 15 (4): 57–67 [с. 58]. дои : 10.1257/jep.15.4.57 . JSTOR 2696516 .

[7] Фуллер, Уэйн А. (1987). Модели ошибок измерения . Джон Уайли и сыновья. п. 2. ISBN 978-0-471-86187-4 .

[8] Хаяси, Фумио (2000). Эконометрика . Издательство Принстонского университета. стр. 7–8. ISBN 978-1400823833 .

[9] Коул, Хира; Песня, Вэйсин (2008). «Проверка регрессионной модели с ошибками измерения Берксона». Журнал статистического планирования и выводов . 138 (6): 1615–1628. дои : 10.1016/j.jspi.2007.05.048 .

[10] Рейерсёл, Олав (1950). «Идентифицируемость линейной зависимости между переменными, подверженными ошибкам». Эконометрика . 18 (4): 375–389 [с. 383]. дои : 10.2307/1907835 . JSTOR 1907835 . Несколько более ограничительный результат был получен ранее Гири, RC (1942). «Внутренние отношения между случайными величинами». Труды Королевской ирландской академии . 47 : 63–76. JSTOR 20488436 . Он показал, что при дополнительном предположении, что ( ε, η ) совместно нормальны, модель не идентифицируется тогда и только тогда, когда x* s нормальны.

[11] Фуллер, Уэйн А. (1987). «Одна поясняющая переменная» . Модели ошибок измерения . Джон Уайли и сыновья. стр. 1–99. ISBN 978-0-471-86187-4 .

[12] Пал, Маноранджан (1980). «Согласованные моментные оценки коэффициентов регрессии при наличии ошибок в переменных». Журнал эконометрики . 14 (3): 349–364 (стр. 360–361). дои : 10.1016/0304-4076(80)90032-9 .

[13] Сюй, Шаоцзи (2 октября 2014 г.). «Свойство регрессии среднего геометрического» . Американский статистик . 68 (4): 277–281. дои : 10.1080/00031305.2014.962763 . ISSN 0003-1305 .

[14] Бен-Моше, Дэн (2020). «Идентификация линейных регрессий с ошибками по всем переменным». Эконометрическая теория . 37 (4): 1–31. arXiv : 1404.1473 . дои : 10.1017/S0266466620000250 . S2CID 225653359 .

[15] Дажене, Марсель Г.; Дагенайс, Дениз Л. (1997). «Оценщики высших моментов для моделей линейной регрессии с ошибками в переменных». Журнал эконометрики . 76 (1–2): 193–221. CiteSeerX 10.1.1.669.8286 . дои : 10.1016/0304-4076(95)01789-5 . В более ранней статье Пал (1980) рассмотрел более простой случай, когда все компоненты вектора ( ε , η ) независимы и симметрично распределены.

[16] Фуллер, Уэйн А. (1987). Модели ошибок измерения . Джон Уайли и сыновья. п. 184. ИСБН 978-0-471-86187-4 .

[17] Эриксон, Тимоти; Уайтед, Тони М. (2002). «Двухэтапная GMM-оценка модели ошибок в переменных с использованием моментов высокого порядка». Эконометрическая теория . 18 (3): 776–799. дои : 10.1017/s0266466602183101 . JSTOR 3533649 . S2CID 14729228 .

[18] Тофалис, К. (2023). Беспристрастная подгонка уравнения к данным. Математика, 11(18), 3957. https://ssrn.com/abstract=4556739 https://doi.org/10.3390/math11183957.

[19] Шеннах, С. ; Ху, Ю.; Левбель, А. (2007). «Непараметрическая идентификация классической модели ошибок в переменных без дополнительной информации» . Рабочий документ .

[20] Ньюи, Уитни К. (2001). «Гибкая моделируемая оценка момента нелинейной модели ошибок в переменных». Обзор экономики и статистики . 83 (4): 616–627. дои : 10.1162/003465301753237704 . hdl : 1721.1/63613 . JSTOR 3211757 . S2CID 57566922 .

[21] Ли, Тонг; Выонг, Куанг (1998). «Непараметрическая оценка модели ошибки измерения с использованием нескольких показателей» . Журнал многомерного анализа . 65 (2): 139–165. дои : 10.1006/jmva.1998.1741 .

[22] Ли, Тонг (2002). «Надежная и последовательная оценка нелинейных моделей ошибок в переменных». Журнал эконометрики . 110 (1): 1–26. дои : 10.1016/S0304-4076(02)00120-3 .

[23] Шеннах, Сюзанна М. (2004). «Оценка нелинейных моделей с ошибкой измерения». Эконометрика . 72 (1): 33–75. дои : 10.1111/j.1468-0262.2004.00477.x . JSTOR 3598849 .

[24] Шеннах, Сюзанна М. (2004). «Непараметрическая регрессия при наличии ошибки измерения». Эконометрическая теория . 20 (6): 1046–1093. дои : 10.1017/S0266466604206028 . S2CID 123036368 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]