Дискретный выбор

В экономике модели дискретного выбора или модели качественного выбора описывают, объясняют и прогнозируют выбор между двумя или более дискретными альтернативами, такими как выход или не выход на рынок труда или выбор между видами транспорта . Такой выбор контрастирует со стандартными моделями потребления, в которых количество каждого потребляемого товара считается непрерывной переменной . В непрерывном случае для определения оптимального выбранного количества можно использовать методы исчисления (например, условия первого порядка), а спрос можно смоделировать эмпирически с использованием регрессионного анализа . С другой стороны, анализ дискретного выбора исследует ситуации, в которых потенциальные результаты дискретны, так что оптимум не характеризуется стандартными условиями первого порядка. Таким образом, вместо того, чтобы исследовать «сколько», как в задачах с переменными непрерывного выбора, анализ дискретного выбора исследует «какой из них». Однако анализ дискретного выбора также можно использовать для изучения выбранной величины, когда необходимо выбрать только несколько различных величин, например, количество транспортных средств, которые домохозяйство решает иметь в собственности. и количество минут телекоммуникационных услуг, которые клиент решает приобрести. Такие методы, как логистическая регрессия и пробит-регрессия, можно использовать для эмпирического анализа дискретного выбора.

Модели дискретного выбора теоретически или эмпирически моделируют выбор, сделанный людьми среди конечного набора альтернатив. Модели использовались, например, для изучения выбора автомобиля для покупки. куда поступить в колледж, на каком виде транспорта (автомобиль, автобус, ж/д) ехать на работу среди множества других приложений. Модели дискретного выбора также используются для изучения выбора организаций, таких как фирмы или государственные учреждения. В приведенном ниже обсуждении предполагается, что единицей принятия решений является человек, хотя эти концепции применимы в более широком смысле. Дэниел Макфадден получил Нобелевскую премию в 2000 году за новаторскую работу по разработке теоретической основы дискретного выбора.

Модели дискретного выбора статистически связывают выбор, сделанный каждым человеком, со свойствами человека и атрибутами доступных ему альтернатив. Например, выбор автомобиля, который человек покупает, статистически связан с его доходом и возрастом, а также с ценой, топливной экономичностью , размером и другими характеристиками каждого доступного автомобиля. Модели оценивают вероятность того, что человек выберет ту или иную альтернативу. Модели часто используются для прогнозирования того, как изменится выбор людей при изменении демографии и/или характеристик альтернатив.

Модели дискретного выбора определяют вероятность того, что человек выберет вариант из множества альтернатив. Вероятностное описание поведения дискретного выбора не используется для отражения индивидуального поведения, которое считается по своей сути вероятностным. Скорее, именно недостаток информации заставляет нас описывать выбор вероятностным способом. На практике мы не можем знать все факторы, влияющие на решения об индивидуальном выборе, поскольку их определяющие факторы частично наблюдаются или несовершенно измеряются. Таким образом, модели дискретного выбора основаны на стохастических предположениях и спецификациях для учета ненаблюдаемых факторов, связанных с а) альтернативами выбора, б) вариациями вкусов среди людей (межличностная неоднородность) и с течением времени (динамика внутрииндивидуального выбора) и в) гетерогенными наборами вариантов выбора. . Различные формулировки были обобщены и классифицированы по группам моделей. Когда модель дискретного выбора объединяется с моделями структурных уравнений для интеграции психологических (скрытых) переменных, они называются моделями гибридного выбора .

Приложения

• Исследователи маркетинга используют модели дискретного выбора для изучения потребительского спроса и прогнозирования реакции бизнеса конкурентов, что позволяет разработчикам моделей выбора решать ряд бизнес-задач, таких как ценообразование , разработка продуктов и проблемы оценки спроса . В исследованиях рынка это обычно называется конджойнт-анализом .
• Планировщики транспорта используют модели дискретного выбора для прогнозирования спроса на запланированные транспортные системы, например, по какому маршруту выберет водитель и будет ли кто-то пользоваться скоростного транспорта . системами Первые применения моделей дискретного выбора были в транспортном планировании, и большая часть наиболее передовых исследований моделей дискретного выбора проводится исследователями транспорта.
• Специалисты по планированию стихийных бедствий и инженеры полагаются на модели дискретного выбора для прогнозирования решений, принимаемых домовладельцами или жильцами зданий при мелкомасштабной и крупномасштабной эвакуации, например, при пожарах в зданиях, лесных пожарах, ураганах и других. Эти модели помогают в разработке надежных планов борьбы со стихийными бедствиями и более безопасного проектирования застроенной среды .
• Специалисты по энергетическим прогнозам и политики используют модели дискретного выбора для выбора домохозяйствами и фирмами систем отопления, уровней эффективности приборов и уровня топливной эффективности транспортных средств.
• В экологических исследованиях используются модели дискретного выбора, чтобы изучить выбор рекреаторов, например, места для рыбалки или катания на лыжах, и сделать вывод о ценности удобств, таких как палаточные лагеря, рыбные запасы и хижины для обогрева, а также оценить ценность улучшения качества воды.
• Экономисты труда используют модели дискретного выбора для изучения участия в рабочей силе, выбора профессии, а также выбора колледжа и программ обучения.
• В экологических исследованиях используются модели дискретного выбора для изучения параметров, влияющих на выбор среды обитания у животных.

Общие черты моделей дискретного выбора

Модели дискретного выбора принимают разные формы, в том числе: двоичный логит, двоичный пробит, полиномиальный логит, условный логит, полиномиальный пробит, вложенный логит, обобщенные модели экстремальных значений, смешанный логит и развернутый логит. Все эти модели имеют общие характеристики, описанные ниже.

Набор выбора

Набор выбора – это набор альтернатив, доступных человеку. Для модели дискретного выбора набор выбора должен отвечать трем требованиям:

1. Набор альтернатив должен быть в совокупности исчерпывающим , то есть набор включает все возможные альтернативы. Это требование подразумевает, что человек обязательно выбирает альтернативу из множества.
2. Альтернативы должны быть взаимоисключающими , то есть выбор одной альтернативы означает отсутствие выбора других альтернатив. Это требование подразумевает, что человек выбирает только одну альтернативу из множества.
3. Множество должно содержать конечное число альтернатив. Это третье требование отличает анализ дискретного выбора от форм регрессионного анализа, в которых зависимая переменная может (теоретически) принимать бесконечное количество значений.

Например, набор выбора для человека, решающего, какой вид транспорта ехать на работу, включает в себя езду в одиночку, совместное использование автомобилей, автобус и т. д. Набор выбора усложняется тем фактом, что человек может использовать несколько видов транспорта для данной поездки. например, ехать на машине до вокзала, а затем ехать на поезде на работу. В этом случае набор выбора может включать каждую возможную комбинацию режимов. Альтернативно, выбор можно определить как выбор «основного» режима, причем набор состоит из автомобиля, автобуса, железной дороги и других (например, пешеходов, велосипедов и т. д.). Обратите внимание, что альтернатива «другое» включена для того, чтобы сделать набор вариантов исчерпывающим.

У разных людей могут быть разные наборы вариантов выбора, в зависимости от их обстоятельств. Например, автомобиль Scion не продавался в Канаде по состоянию на 2009 год, поэтому покупатели новых автомобилей в Канаде столкнулись с иным выбором, чем американские потребители. Такие соображения учитываются при формулировании моделей дискретного выбора.

Определение вероятностей выбора

Модель дискретного выбора определяет вероятность того, что человек выберет конкретную альтернативу, при этом вероятность выражается как функция наблюдаемых переменных, которые относятся к альтернативам и человеку. В своей общей форме вероятность того, что человек n выберет альтернативу i, выражается как:

$P_{ni}\equiv \Pr({\text{Person }}n{\text{ chooses alternative }}i)=G(x_{ni},\;x_{nj,j\neq i},\;s_{n},\;\beta ),$

где

$x_{ni}$ — вектор атрибутов альтернативы i, с которой сталкивается человек n ,

$x_{nj,j\neq i}$ — вектор атрибутов других альтернатив (кроме i ), с которыми сталкивается человек n ,

$s_{n}$ — вектор характеристик человека n , а

$\beta$ представляет собой набор параметров, определяющих влияние переменных на вероятности, которые оцениваются статистически.

В приведенном выше примере вида транспорта атрибуты видов транспорта ( x _ni ), такие как время и стоимость в пути, а также характеристики потребителя ( s _n ), такие как годовой доход, возраст и пол, могут использоваться для расчета выбора. вероятности. Атрибуты альтернатив могут различаться у разных людей; например, стоимость и время поездки на работу на машине, автобусе и поезде различны для каждого человека в зависимости от местоположения дома и работы этого человека.

Характеристики:

• Pni ₁ находится между 0 и
• $\forall n:\;\sum _{j=1}^{J}P_{nj}=1,$ где J — общее количество альтернатив.
• (Ожидаемая доля людей, выбравших i ) $={1 \over N}{\sum _{n=1}^{N}P_{ni}},$ где N — количество людей, сделавших выбор.

Разные модели (т. е. модели, использующие разные функции G) имеют разные свойства. Известные модели представлены ниже.

Потребительская полезность

Модели дискретного выбора могут быть выведены из теории полезности . Этот вывод полезен по трем причинам:

1. Это придает точный смысл вероятностям P _ni
2. , выбор функциональной формы для G. Он мотивирует и различает альтернативные спецификации модели, например
3. Он обеспечивает теоретическую основу для расчета изменений потребительского излишка (компенсирующего изменения) в зависимости от изменений свойств альтернатив.

U _ni — это полезность (или чистая выгода или благополучие), которую человек n получает от выбора альтернативы i . Поведение человека максимизирует полезность: человек n выбирает альтернативу, обеспечивающую наибольшую полезность. Выбор человека обозначается фиктивными переменными y _ni для каждой альтернативы:

$y_{ni}={\begin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}\quad \forall j\neq i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Рассмотрим теперь исследователя, который изучает этот выбор. Выбор человека зависит от многих факторов, некоторые из которых исследователь наблюдает, а некоторые нет. Полезность, которую человек получает от выбора альтернативы, разлагается на часть, зависящую от переменных, которые наблюдает исследователь, и часть, зависящую от переменных, которые исследователь не наблюдает. В линейном виде это разложение выражается как

$U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}$

где

• $z_{ni}$ - это вектор наблюдаемых переменных, относящихся к альтернативе i для человека n , который зависит от атрибутов альтернативы x _ni , возможно, взаимодействующих с атрибутами человека s _n , так что его можно выразить как $z_{ni}=z(x_{ni},s_{n})$ для некоторой числовой функции z ,
• $\beta$ – соответствующий вектор коэффициентов наблюдаемых переменных, а
• $\varepsilon _{ni}$ фиксирует влияние всех ненаблюдаемых факторов, влияющих на выбор человека.

Вероятность выбора тогда равна

${\begin{aligned}P_{ni}&=\Pr(y_{ni}=1)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\varepsilon _{nj}-\varepsilon _{ni}<\beta z_{ni}-\beta z_{nj},\right)\end{aligned}}$

Учитывая β , вероятность выбора — это вероятность того, что случайные члены ε _nj − ε _ni (которые являются случайными с точки зрения исследователя, поскольку исследователь их не наблюдает) ниже соответствующих величин. $\forall j\neq i:\beta z_{ni}-\beta z_{nj}.$ Различные модели выбора (т.е. разные спецификации G) возникают из-за разных распределений ε _ni для всех i и разных трактовок β .

Свойства моделей дискретного выбора, подразумеваемые теорией полезности

Только различия имеют значение

Вероятность того, что человек выберет конкретную альтернативу, определяется путем сравнения полезности выбора этой альтернативы с полезностью выбора других альтернатив:

$P_{ni}=\Pr(y_{ni}=1)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj}\right)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}-U_{nj}>0\right)$

Как показывает последний термин, вероятность выбора зависит только от разницы в полезностях между альтернативами, а не от абсолютного уровня полезностей. Аналогично, добавление константы к полезностям всех альтернатив не меняет вероятности выбора.

Масштаб должен быть нормализован.

Поскольку полезность не имеет единиц измерения, необходимо нормализовать масштаб полезности. Масштаб полезности часто определяется дисперсией ошибки в моделях дискретного выбора. Эта дисперсия может различаться в зависимости от характеристик набора данных, например от того, когда и где собираются данные. Таким образом, нормализация дисперсии влияет на интерпретацию параметров, оцененных по различным наборам данных.

Известные типы моделей дискретного выбора

Модели дискретного выбора можно сначала классифицировать по количеству доступных альтернатив.

* Модели биномиального выбора (дихотомические): 2 доступные альтернативы.

* Модели полиномиального выбора ( политомические ): 3 или более доступных альтернатив.

Модели полиномиального выбора можно дополнительно классифицировать в соответствии со спецификацией модели:

* Модели, такие как стандартная логит, которые предполагают отсутствие корреляции между ненаблюдаемыми факторами и альтернативами.

* Модели, позволяющие корреляцию ненаблюдаемых факторов между альтернативами.

Кроме того, доступны специальные формы моделей для изучения рейтингов альтернатив (т. е. первый выбор, второй выбор, третий выбор и т. д.) и для данных рейтингов.

Подробная информация о каждой модели представлена ​​в следующих разделах.

Бинарный выбор

Дополнительная информация: бинарная регрессия.

А. Логит с атрибутами личности, но без атрибутов альтернатив

Дополнительная информация: Логистическая регрессия.

Un _— это полезность (или чистая выгода), которую человек n получает от совершения действия (в отличие от несовершения действия). Полезность, которую человек получает от совершения действия, зависит от характеристик человека, некоторые из которых наблюдаются исследователем, а некоторые нет. Человек совершает действие y _n = 1 , если Un _n член ε _{ненаблюдаемый} > 0. Предполагается, что имеет логистическое распределение . Спецификация кратко записана так:

${\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Logistic}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta s_{n})}}$

Б. Пробит с атрибутами личности, но без атрибутов альтернатив

Дополнительная информация: Модель Пробит.

Описание модели такое же, как и у модели А , за исключением того, что ненаблюдаемые условия распределяются стандартно нормально, а не логистически .

${\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Standard normal}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}=\Phi (\beta s_{n}),$

где $\Phi$ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального значения .

C. Логит с переменными, которые различаются по альтернативам

U _ni — это полезность, которую человек n получает от выбора альтернативы i . Полезность каждой альтернативы зависит от атрибутов альтернатив, которые, возможно, взаимодействуют с атрибутами человека. Предполагается, что ненаблюдаемые члены имеют экстремальное распределение значений .

${\begin{cases}U_{n1}=\beta z_{n1}+\varepsilon _{n1}\\U_{n2}=\beta z_{n2}+\varepsilon _{n2}\\\varepsilon _{n1},\varepsilon _{n2}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {\exp(\beta z_{n1})}{\exp(\beta z_{n1})+\exp(\beta z_{n2})}}$

Мы можем связать эту спецификацию с приведенной выше моделью A , которая также является двоичной логит. В частности, P _{n 1} также можно выразить как

$P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta (z_{n1}-z_{n2}))}}$

Обратите внимание, что если два члена ошибки представляют собой iid экстремальное значение , их различие заключается в распределенной логистике , что является основой эквивалентности двух спецификаций.

D. Пробит с переменными, которые изменяются по альтернативам

Описание модели такое же, как и у модели C , за исключением того, что два ненаблюдаемых члена имеют стандартное нормальное распределение, а не логистическое .

Тогда вероятность совершения действия равна

$P_{n1}=\Phi (\beta (z_{n1}-z_{n2})),$

где Φ — кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения .

Полиномиальный выбор без корреляции между альтернативами

E. Логит с атрибутами личности, но без атрибутов альтернатив

Дополнительная информация: Полиномиальный логит.

Полезность для всех альтернатив зависит от одних и тех же переменных s _n , но коэффициенты для разных альтернатив различны:

• U _ni знак равно β _я s _n + ε _ni ,
• Поскольку имеют значение только различия в полезности, необходимо нормализовать $\beta _{i}=0$ за одну альтернативу. Предполагая $\beta _{1}=0$,
• ε _ni – iid экстремальное значение

Вероятность выбора принимает вид

$P_{ni}={\exp(\beta _{i}s_{n}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta _{j}s_{n})},$

где J — общее количество альтернатив.

F. Логит с переменными, которые варьируются в зависимости от альтернатив (также называемый условным логитом)

Полезность каждой альтернативы зависит от атрибутов этой альтернативы, возможно, взаимодействующих с атрибутами человека:

${\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{ni}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}={\exp(\beta z_{ni}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})},$

где J — общее количество альтернатив.

Обратите внимание, что модель E может быть выражена в той же форме, что и модель F, путем соответствующей переопределения переменных. Определять $w_{nj}^{k}=s_{n}\delta _{jk}$ где $\delta _{jk}$ – дельта Кронекера а sn _– из модели E. , Затем модель F получается с использованием

$z_{nj}=\left\{w_{nj}^{1},\cdots ,w_{nj}^{J}\right\}\quad {\text{and}}\quad \beta =\left\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{J}\right\},$

где J — общее количество альтернатив.

Полиномиальный выбор с корреляцией между альтернативами

Стандартная логит-модель не всегда подходит, поскольку предполагает отсутствие корреляции между ненаблюдаемыми факторами и альтернативами. Отсутствие корреляции приводит к определенной модели замещения альтернатив, которая не всегда может быть реалистичной в данной ситуации. Этот шаблон замены часто называют свойством независимости нерелевантных альтернатив (IIA) стандартных логит-моделей. Был предложен ряд моделей, позволяющих коррелировать альтернативы и более общие модели замещения:

• Вложенная логит-модель — фиксирует корреляции между альтернативами путем разделения набора вариантов на «гнезда».
  • Перекрестно-вложенная модель Logit (CNL) — Альтернативы могут принадлежать более чем одному гнезду.
  • Модель C-logit - Улавливает корреляции между альтернативами, используя «коэффициент общности».
  • Парная комбинаторная логит-модель - Подходит для решения задач выбора маршрута.
• Обобщенная модель экстремальных значений - Общий класс модели, полученный из модели случайной полезности. которому принадлежат полиномиальный логит и вложенный логит
• Условный пробит - Обеспечивает полную ковариацию между альтернативами, используя совместное нормальное распределение.
• Смешанный логит - Допускает любую форму шаблонов корреляции и замены. Когда смешанный логит имеет совместно нормальные случайные члены, модель иногда называют «мультиномиальной пробит-моделью с логит-ядром». Может применяться для выбора маршрута.

В следующих разделах подробно описаны модели Nested Logit, GEV, Probit и Mixed Logit.

G. Вложенные логит-модели и модели обобщенных экстремальных значений (GEV).

Модель аналогична модели F, за исключением того, что ненаблюдаемый компонент полезности коррелирует с альтернативами, а не является независимым от альтернатив.

• U _ni = bz _ni + e _ni ,
• Маргинальное распределение каждого ε _ni представляет собой экстремальное значение , но их совместное распределение допускает корреляцию между ними.
• Вероятность принимает множество форм в зависимости от заданной модели корреляции. См. Обобщенное экстремальное значение .

H. Полиномиальный пробит

Дополнительная информация: Полиномиальный пробит.

Модель аналогична модели G, за исключением того, что ненаблюдаемые члены распределяются нормально , что допускает любую модель корреляции и гетероскедастичности :

${\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{n}\equiv (\varepsilon _{n1},\cdots ,\varepsilon _{nJ})\sim N(0,\Omega )\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)=\int I\left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )\;d\varepsilon _{n},$

где $\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )$ - совместная нормальная плотность со средним нулем и ковариацией $\Omega$.

Интеграл для этой вероятности выбора не имеет замкнутой формы, поэтому вероятность аппроксимируется квадратурой или моделированием .

Когда $\Omega$ — это единичная матрица (такая, где нет корреляции или гетероскедастичности ), модель называется независимым пробитом.

I. Смешанная логит

Основная статья: Смешанная логит

Смешанные модели Logit становятся все более популярными в последние годы по нескольким причинам. Во-первых, модель позволяет $\beta$ быть случайным в дополнение к $\varepsilon$. Случайность в $\beta$ учитывает случайные вариации вкусов у людей и корреляцию между альтернативами, что создает гибкие модели замещения. Во-вторых, достижения в области моделирования сделали аппроксимацию модели довольно простой. Кроме того, Макфадден и Трейн показали, что любая модель истинного выбора может быть аппроксимирована с любой степенью точности смешанным логитом с соответствующей спецификацией объясняющих переменных и распределением коэффициентов.

• U _ni = bz _ni + e _ni ,
• $\beta \sim f(\beta |\theta )$ для любого дистрибутива ${\it {f}}$, где $\theta$ — это набор параметров распределения (например, среднего значения и дисперсии), которые необходимо оценить,
• ε _ni ~ iid экстремальное значение ,

Вероятность выбора равна

$P_{ni}=\int _{\beta }L_{ni}(\beta )f(\beta |\theta )\,d\beta ,$

где

$L_{ni}(\beta )={\exp(\beta z_{ni}) \over {\sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}$

логит-вероятность оценивается как $\beta ,$ с $J$ общее количество альтернатив.

Интеграл для этой вероятности выбора не имеет замкнутой формы, поэтому вероятность аппроксимируется путем моделирования.

Оценка по выбору

Модели дискретного выбора часто оцениваются с использованием оценки максимального правдоподобия . Логит-модели можно оценить с помощью логистической регрессии , а пробит-модели можно оценить с помощью пробит-регрессии . непараметрические методы, такие как оценка максимального балла . Были предложены Оценка таких моделей обычно выполняется с помощью параметрических, полупараметрических и непараметрических методов максимального правдоподобия. но это также можно сделать с помощью подхода моделирования пути частичных наименьших квадратов .

Оценка на основе рейтингов

Во многих ситуациях наблюдается рейтинг альтернатив человека, а не только выбранная им альтернатива. Например, человека, купившего новую машину, можно спросить, что бы он купил, если бы эту машину не предлагали, что дает информацию о втором выборе человека в дополнение к его первому выбору. Или, в опросе, респондента могут спросить:

Пример . Расположите следующие планы звонков на мобильный телефон от наиболее предпочтительного до наименее предпочтительного.

* 60 долларов США в месяц за неограниченное количество минут в любое время, двухлетний контракт с платой за досрочное расторжение в размере 100 долларов США.

* 30 долларов США в месяц за 400 минут в любое время, 3 цента за минуту после 400 минут, годовой контракт с платой за досрочное расторжение в размере 125 долларов США.

* 35 долларов США в месяц за 500 минут в любое время, 3 цента за минуту после 500 минут, без контракта или платы за досрочное прекращение

* 50 долларов США в месяц за 1000 минут в любое время, 5 центов за минуту после 1000 минут, двухлетний контракт с платой за досрочное расторжение в размере 75 долларов США.

Описанные выше модели можно адаптировать для учета рейтингов, выходящих за рамки первого выбора. Наиболее распространенной моделью данных рейтинга является развернутый логит и его смешанная версия.

J. Разобранная логит

При тех же предположениях, что и для стандартного логита ( модель F ), вероятность ранжирования альтернатив является произведением стандартных логитов. Модель называется «развернутой логит», потому что ситуация выбора, которая обычно представляется в виде одной логит-формулы для выбранной альтернативы, расширяется («в разобранном виде»), чтобы иметь отдельную логит-формулу для каждой ранжированной альтернативы. Разобранная логит-модель представляет собой продукт стандартных логит-моделей, в которых набор вариантов выбора уменьшается по мере ранжирования каждой альтернативы и оставляет набор доступных вариантов выбора при последующем выборе.

Без потери общности альтернативы можно переименовать, чтобы отобразить рейтинг человека, так что альтернатива 1 является первым выбором, альтернатива 2 - вторым выбором и т. д. Вероятность выбора ранжирования J альтернатив как 1, 2, ..., J равна затем

$\Pr({\text{ranking }}1,2,\ldots ,J)={\exp(\beta z_{1}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}{\exp(\beta z_{2}) \over \sum _{j=2}^{J}\exp(\beta z_{nj})}\ldots {\exp(\beta z_{J-1}) \over \sum _{j=J-1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}$

Как и в случае со стандартным логитом, модель разнесенного логита предполагает отсутствие корреляции между ненаблюдаемыми факторами и альтернативами. Развернутый логит можно обобщить так же, как обобщается стандартный логит, чтобы учесть корреляции между альтернативами и случайными вариациями вкуса. Модель «смешанная логит-развертка» получается на основе вероятности ранжирования, приведенного выше, для L _ni в модели смешанной логит-модели ( модель I ).

Эта модель также известна в эконометрике как упорядоченная логит-модель и была представлена ​​в этой области Беггсом, Карделлом и Хаусманом в 1981 году. Одним из приложений является Combes et al. документ, объясняющий рейтинг кандидатов на должность профессора. она также известна как модель Плакетта – Люса . В биомедицинской литературе

Заказанные модели

Дополнительная информация: порядковая регрессия.

В опросах респондентов часто просят дать оценки, например:

Пример : Пожалуйста, дайте свою оценку тому, насколько хорошо дела у президента.

1: Очень плохо

2: Плохо

3: Хорошо

4: Ну

5: Очень хорошо

Или,

Пример : насколько вы согласны со следующим утверждением по шкале от 1 до 5, где 1 означает полное несогласие, а 5 — полное согласие. «Федеральное правительство должно делать больше, чтобы помочь людям, которым грозит лишение права выкупа своих домов».

Полиномиальная модель дискретного выбора может исследовать ответы на эти вопросы ( модель G , модель H , модель I ). Однако эти модели построены на основе концепции, согласно которой респондент получает некоторую полезность для каждого возможного ответа и дает ответ, который обеспечивает наибольшую полезность. Возможно, более естественно было бы думать, что у респондента есть некая скрытая мера или индекс, связанный с вопросом и ответами в ответ на то, насколько высока эта мера. В рамках этой концепции выводятся упорядоченные логит- и упорядоченные пробит-модели.

К. Упорядоченный логит

Основная статья: Упорядоченный логит

Пусть U _n представляет силу чувств или мнения респондента по n предмету опроса. Предположим, что существуют ограничения уровня мнения при выборе конкретного ответа. Например, в примере помощи людям, столкнувшимся с потерей права выкупа, человек выбирает

• 1, если U _n < a
• 2, если a < U _n < b
• 3, если b < U _n < c
• 4, если c < U _n < d
• 5, если Un _> d,

для некоторых действительных чисел a , b , c , d .

Определение $U_{n}=\beta z_{n}+\varepsilon ,\;\varepsilon \sim$ Logistic , то вероятность каждого возможного ответа равна:

${\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Pr(U_{n}<a)=\Pr(\varepsilon <a-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Pr(a<U_{n}<b)=\Pr(a-\beta z_{n}<\varepsilon <b-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(b-\beta z_{n}))}-{1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\&\cdots \\\Pr({\text{choosing }}5)&=\Pr(U_{n}>d)=\Pr(\varepsilon >d-\beta z_{n})=1-{1 \over 1+\exp(-(d-\beta z_{n}))}\end{aligned}}$

Параметрами модели являются коэффициенты β и точки отсечки a − d , одна из которых должна быть нормализована для идентификации. Когда есть только два возможных ответа, упорядоченный логит аналогичен двоичному логиту ( модель A ) с одной точкой отсечки, нормализованной к нулю.

L. Заказанный пробит

Основная статья: Заказанный пробит

Описание модели такое же, как и у модели K , за исключением того, что ненаблюдаемые условия имеют нормальное распределение вместо логистического .

Вероятности выбора: ( $\Phi$ – кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения):

${\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Phi (a-\beta z_{n})\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Phi (b-\beta z_{n})-\Phi (a-\beta z_{n})\\&\cdots \end{aligned}}$

См. также

• Бинарная регрессия
• Динамический дискретный выбор

Дальнейшее чтение

• Андерсон С., А. де Пальма и Ж.-Ф. Thisse (1992), Теория дискретного выбора дифференциации продуктов , MIT Press,
• Бен-Акива, М.; Лерман, С. (1985). Анализ дискретного выбора: теория и применение к спросу на поездки . МТИ Пресс.
• Грин, Уильям Х. (2012). Эконометрический анализ (Седьмое изд.). Река Аппер-Седл: Пирсон Прентис-Холл. стр. 770–862 . ISBN  978-0-13-600383-0 .
• Хеншер, Д.; Роуз, Дж.; Грин, В. (2005). Прикладной анализ выбора: учебник для начинающих . Издательство Кембриджского университета.
• Маддала, Г. (1983). Ограниченно-зависимые и качественные переменные в эконометрике . Издательство Кембриджского университета.
• Макфадден, Дэниел Л. (1984). Эконометрический анализ моделей качественного реагирования . Справочник по эконометрике, том II. Том. Глава 24. Elsevier Science Publishers BV.
• Трейн, К. (2009) [2003]. Методы дискретного выбора с моделированием . Издательство Кембриджского университета.