Полиномиальный пробит

Эта статья посвящена моделированию одного события с несколькими исходами. Для моделирования нескольких коррелирующих бинарных результатов см. многомерную пробит-модель .

В статистике и эконометрике полиномиальная пробит-модель представляет собой обобщение пробит-модели, используемой, когда существует несколько возможных категорий, в которые зависимая переменная может попасть . По сути, это альтернатива полиномиальной логит- модели как одному из методов многоклассовой классификации . Ее не следует путать с многомерной пробит-моделью , которая используется для моделирования коррелированных бинарных результатов для более чем одной независимой переменной.

Общая спецификация

Предполагается, что у нас есть серия наблюдений Y _i для i = 1... n результатов многостороннего выбора из категориального распределения размера m (существует m возможных вариантов). Наряду с каждым наблюдением Y _i представляет собой набор из k наблюдаемых значений x _1,i , ..., x _k,i объясняющих переменных (также известных как независимые переменные , переменные-предикторы, признаки и т. д.). Несколько примеров:

• Наблюдаемые исходы могут быть такими: «имеет болезнь А, имеет болезнь В, имеет болезнь С, не имеет ни одного из заболеваний» для набора редких заболеваний со схожими симптомами, а объясняющими переменными могут быть характеристики пациентов, которые считаются соответствующими (пол раса, возраст, артериальное давление , индекс массы тела , наличие или отсутствие различных симптомов и т. д.).
• Наблюдаемые результаты — это голоса людей за данную партию или кандидата на многосторонних выборах, а объясняющие переменные — это демографические характеристики каждого человека (например, пол, раса, возраст, доход и т. д.).

Полиномиальная пробит-модель — это статистическая модель , которую можно использовать для прогнозирования вероятного результата ненаблюдаемого многостороннего исследования с учетом соответствующих объясняющих переменных. При этом модель пытается объяснить относительное влияние различных объясняющих переменных на разные результаты.

Формально результаты Y _i описываются как категориально распределенные данные, где каждое значение результата h для наблюдения i встречается с ненаблюдаемой вероятностью p _i,h , которая специфична для данного наблюдения i, поскольку она определяется значениями объясняющие переменные, связанные с этим наблюдением. То есть:

$Y_{i}|x_{1,i},\ldots ,x_{k,i}\ \sim \operatorname {Categorical} (p_{i,1},\ldots ,p_{i,m}),{\text{ for }}i=1,\dots ,n$

или эквивалентно

$\Pr[Y_{i}=h|x_{1,i},\ldots ,x_{k,i}]=p_{i,h},{\text{ for }}i=1,\dots ,n,$

для каждого из m возможных значений h .

Модель скрытой переменной

Полиномиальный пробит часто записывается в терминах модели скрытой переменной :

${\begin{aligned}Y_{i}^{1\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{1}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{1}\,\\Y_{i}^{2\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{2}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{2}\,\\\ldots &\ldots \\Y_{i}^{m\ast }&={\boldsymbol {\beta }}_{m}\cdot \mathbf {X} _{i}+\varepsilon _{m}\,\\\end{aligned}}$

где

${\boldsymbol {\varepsilon }}\sim {\mathcal {N}}(0,{\boldsymbol {\Sigma }})$

Затем

$Y_{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}Y_{i}^{1\ast }>Y_{i}^{2\ast },\ldots ,Y_{i}^{m\ast }\\2&{\text{if }}Y_{i}^{2\ast }>Y_{i}^{1\ast },Y_{i}^{3\ast },\ldots ,Y_{i}^{m\ast }\\\ldots &\ldots \\m&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

То есть,

$Y_{i}=\arg \max _{h=1}^{m}Y_{i}^{h\ast }$

Обратите внимание, что эта модель допускает произвольную корреляцию между переменными ошибок , поэтому она не обязательно учитывает независимость нерелевантных альтернатив .

Когда $\scriptstyle {\boldsymbol {\Sigma }}$ — это единичная матрица (такая, где нет корреляции или гетероскедастичности ), модель называется независимым пробитом .

Оценка

Подробности о том, как оцениваются уравнения, см. в статье Модель пробита .

Ссылки

• Грин, Уильям Х. (2012). Эконометрический анализ (Седьмое изд.). Бостон: Pearson Education. стр. 810–811. ISBN  978-0-273-75356-8 .