Эрмит кольцо

В алгебре термин «кольцо Эрмита» (в честь Чарльза Эрмита ) применялся к трем различным объектам.

Согласно Капланскому (1949) (стр. 465), кольцо является правоэрмитовым , если для каждых двух элементов a и b кольца существует элемент d кольца и обратимая 2 × 2 матрица M над кольцом такая, что что ( a b ) M = ( d 0), и термин левый эрмит определяется аналогично. Матрицы над таким кольцом можно привести в нормальную форму Эрмита умножением справа на квадратную обратимую матрицу ( Капланский (1949) , стр. 468.) Лам (2006) (приложение к §I.4) называет это свойство К-эрмитовым , вместо этого используйте Hermite в смысле, указанном ниже.

Согласно Ламу (1978) (§I.4, стр. 26), кольцо является правоэрмитовым, если любой конечно порожденный стабильно свободный правый модуль над кольцом свободен . Это эквивалентно требованию, чтобы любой вектор-строка ( b ₁ ,..., b _n ) элементов кольца, порождающих его как правый модуль (т. е. b ₁ R + ... + b _n R = R ), мог быть завершено до (не обязательно квадратного) ^{[ нужны разъяснения ]}) обратимую матрицу путем добавления некоторого количества строк. критерий левого Эрмита Аналогично можно определить . Лисснер (1965) (стр. 528) ранее назвал коммутативное кольцо с этим свойством H-кольцом .

Согласно Кону (2006) (§0.4), кольцо является эрмитовым , если в дополнение к тому, что каждый стабильно свободный (левый) модуль является свободным, оно имеет инвариантный базисный номер .

Все коммутативные кольца, эрмитовые по Капланскому, также являются эрмитовыми по Ламу, но обратное не обязательно верно. Все области Безу являются эрмитовыми в смысле Капланского, а коммутативное кольцо, которое является эрмитовым в смысле Капланского, также является кольцом Безу ( Lam (2006) , стр. 39-40).

Гипотеза о эрмитовом кольце , выдвинутая Ламом (1978) (стр. xi), утверждает, что если R — коммутативное эрмитовое кольцо, то кольцо многочленов R [ x ] также является эрмитовым кольцом.

Ссылки

Кон, премьер-министр (2000), «От колец Эрмита к доменам Сильвестра», Proceedings of the American Mathematical Society , 128 (7): 1899–1904, doi : 10.1090/S0002-9939-99-05189-8 , ISSN 0002-9939 , МР 1646314
Кон, премьер-министр (2006), Свободные идеальные кольца и локализация в общих кольцах , Cambridge University Press, ISBN 9780521853378
Капланский, Ирвинг (1949), «Элементарные делители и модули», Труды Американского математического общества , 66 (2): 464–491, doi : 10.2307/1990591 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1990591 , MR 0031470
Лам, Тай (1978), Гипотеза Серра , Конспект лекций по математике, том. 635, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0068340 , ISBN. 978-3-540-08657-4 , МР 0485842
Лам, Тай (2006), Проблема Серра о проективных модулях , Монографии Springer по математике, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-34575-6 , ISBN 978-3-540-23317-6
Лисснер, Дэвид (1965), «Внешние кольца произведений», Transactions of the American Mathematical Society , 116 : 526–535, doi : 10.2307/1994132 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994132 , MR 0186687

Эта алгеброй статья, связанная с , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .