j -линия

Не путать с линией J (значения) .

При изучении арифметики эллиптических кривых над j -линия кольцом R представляет собой грубую схему модулей, прикрепленную к проблеме модулей, отправляющей кольцо $R$ множеству классов изоморфизма эллиптических кривых над $R$. Поскольку эллиптические кривые над комплексными числами изоморфны (над алгебраическим замыканием), тогда и только тогда, когда их $j$-инварианты согласны, аффинное пространство $\mathbb {A} _{j}^{1}$ параметризация j-инвариантов эллиптических кривых дает грубое пространство модулей . Однако это не может быть тонким пространством модулей из-за наличия эллиптических кривых с автоморфизмами, что приводит к необходимости построения стека модулей эллиптических кривых .

Это связано с подгруппой конгруэнтности $\Gamma (1)$ следующим образом:

$M([\Gamma (1)])=\mathrm {Spec} (R[j])$

Здесь j -инвариант нормирован так, что $j=0$ имеет комплексное умножение на $\mathbb {Z} [\zeta _{3}]$, и $j=1728$ имеет комплексное умножение на $\mathbb {Z} [i]$.

Линию j можно рассматривать как координату классической модульной кривой уровня 1: $X_{0}(1)$, изоморфный комплексной проективной прямой $\mathbb {P} _{/\mathbb {C} }^{1}$.