алгебра Лейбница
В математике , (справа) алгебра Лейбница названная в честь Готфрида Вильгельма Лейбница , иногда называемая алгеброй Лоде , в честь Жана-Луи Лоде , представляет собой модуль L над коммутативным кольцом R с билинейным произведением [_, _], удовлетворяющим тождеству Лейбница .
![{\displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]+[[a,c],b].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abd08048239d488970159d6c46f1126044ba63cd)
Другими словами, правое умножение на любой элемент c является производным . Если, кроме того, скобка знакопеременная ([ a , a ] = 0), то алгебра Лейбница является алгеброй Ли . Действительно, в этом случае [ a , b ] = −[ b , a ] и тождество Лейбница эквивалентно тождеству Якоби ([ a , [ b , c ]] + [ c , [ a , b ]] + [ b , [ с , а ]] = 0). Обратно, любая алгебра Ли, очевидно, является алгеброй Лейбница.
В этом смысле алгебры Лейбница можно рассматривать как некоммутативное обобщение алгебр Ли. Исследование того, какие теоремы и свойства алгебр Ли остаются справедливыми для Алгебры Лейбница — постоянная тема в литературе. [1] Например, было показано, что теорема Энгеля остается верной для алгебр Лейбница. [2] [3] и что справедлива и более слабая версия теоремы Леви-Мальцева. [4]
Тензорный модуль T ( V ) любого векторного пространства V можно превратить в алгебру Лоде такую, что
![{\displaystyle [a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n},x]=a_{1}\otimes \cdots a_{n}\otimes x\quad {\text{for }}a_{1} ,\ldots ,a_{n},x\in V.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad5b2b67152da5c8c6e2e3c0c7a1708f18126927)
Это свободная алгебра Лоде V. над
Алгебры Лейбница были открыты в 1965 А. Бло, который назвал их D-алгебрами. Они вызвали интерес после того, как Жан-Луи Лоде заметил, что классическое граничное отображение Шевалле–Эйленберга во внешнем модуле алгебры Ли можно поднять до тензорного модуля, что дает новый цепной комплекс. Фактически этот комплекс корректно определен для любой алгебры Лейбница. Гомологии HL ( L ) этого цепного комплекса известны как гомологии Лейбница . Если L — алгебра Ли (бесконечных) матриц над ассоциативной R -алгеброй A, то гомологии ЛейбницаL является тензорной алгеброй над Хохшильда A гомологиями .
Алгебра Зинбиля — это понятие Кошуля, двойственное к алгебре Лейбница. В качестве определяющей идентичности он имеет:
Примечания
[ редактировать ]- ^ Барнс, Дональд В. (июль 2011 г.). «Некоторые теоремы об алгебрах Лейбница». Связь в алгебре . 39 (7): 2463–2472. дои : 10.1080/00927872.2010.489529 .
- ^ Пацуракос, Александрос (26 ноября 2007 г.). «О нильпотентных свойствах алгебр Лейбница». Связь в алгебре . 35 (12): 3828–3834. дои : 10.1080/00927870701509099 .
- ^ Ш. А. Аюпов; Б.А. Омиров (1998). «Об алгебрах Лейбница». В Хакимджанове Ю.; Гозе, М.; Аюпов, Ш. (ред.). Алгебра и теория операторов. Материалы коллоквиума в Ташкенте, 1997 . Дордрехт: Спрингер. стр. 1–13. ISBN 9789401150729 .
- ^ Барнс, Дональд В. (30 ноября 2011 г.). «О теореме Леви для алгебр Лейбница». Бюллетень Австралийского математического общества . 86 (2): 184–185. arXiv : 1109.1060 . дои : 10.1017/s0004972711002954 .
Ссылки
[ редактировать ]- Косманн-Шварцбах, Иветт (1996). «От алгебр Пуассона к алгебрам Герстенхабера» . Анналы института Фурье . 46 (5): 1243–1274. дои : 10.5802/aif.1547 .
- Лоде, Жан-Луи (1993). «Некоммутативная версия алгебр Ли: алгебры Лейбница» (PDF) . Учите. Математика . Серия 2. 39 (3–4): 269–293.
- Лоде, Жан-Луи и Теймураз, Пирашвили (1993). «Универсальные обертывающие алгебры алгебр Лейбница и (ко) гомологии». Математические Аннален . 296 (1): 139–158. CiteSeerX 10.1.1.298.1142 . дои : 10.1007/BF01445099 . S2CID 16865683 .
- Бло, А. (1965). «Об одном обобщении понятия алгебры Ли». Докл. Акад. Наук СССР . 165 : 471–3.
- Бло, А. (1967). «Теория гомологии Картана-Эйленберга для обобщенного класса алгебр Ли». Докл. Акад. Наук СССР . 175 (8): 824–6.
- Джумадильдаев А.С.; Туленбаев, К.М. (2005). «Нильпотентность алгебр Цинбиля». Дж. Дин. Система управления . 11 (2): 195–213. дои : 10.1007/s10883-005-4170-1 . S2CID 121944962 .
- Ginzburg, V. ; Kapranov, M. (1994). "Koszul duality for operads". Duke Math. J . 76 : 203–273. arXiv : 0709.1228 . doi : 10.1215/s0012-7094-94-07608-4 . S2CID 115166937 .